基于COMSOL的非牛頓流體在管道中的流動特性研究＊

李亞飛，周 懿，胡 鉞，高 政

（船舶動力工程技術交通行業重點實驗室，湖北 武漢430063；武漢理工大學 能源與動力工程學院，湖北 武漢430063）

1687年牛頓提出，作一維剪切流動的水，其剪切應變速率與剪切應力的大小成正比，這個規律就是后來著名的牛頓內摩擦定律。在流變學中，流變性符合這一規律的流體被稱作牛頓流體；反之，則為非牛頓流體。相比于牛頓流體，非牛頓流體在工農業生產乃至醫學研究中出現得更為廣泛，比如石油鉆井采出液的集輸處理、聚合物塑料制品加工、人體血液在血管中的流動等。上述這些情形都涉及非牛頓流體在管道內的流動問題，因此非牛頓流體在各種管道環境下的流動機理具有充分的研究價值。1867年，J.C.麥克斯韋提出線性黏彈性方程，開始了非牛頓流體力學的研究。但由于黏彈性流體問題具有的復雜性，一直到20世紀50年代后相關研究領域才得到較為迅速的發展，并逐漸成為一門獨立的學科[1]。相比牛頓流體在管道流動領域已較為成熟的研究成果，關于非牛頓流體的研究還有很大的發展空間。針對非牛頓流體的研究方法主要包括實驗法、解析解法與數值解法。實驗法最為直接，可檢驗其他方法的正確性，但是成本較高且實驗結果的普遍性不佳。解析解法是理論上最為準確理想的研究方法，通過建立合適的微分方程組，使用純數學方法得出方程的精確解；但對于非牛頓流體復雜的流動情況來說，求解的難度過大。數值解法則是應用計算機將物理場離散化，之后將流體微分方程組轉化為代數方程并求出各個節點上的參數值，屬于一種近似解法[2]。由于數值解法容易獲得且能保證足夠的求解精度，其已經成為研究非牛頓流體問題最為常用的方法。

國外學者對非牛頓流體的研究開始最早。在圓管道方面，CHEBBI[3]使用積分邊界層方法，分析了冪律流體層流在圓管入口段與充分發展區的流動特性，獲得了與實驗數據吻合度較高的結果。對于非圓管道，GUCKES[4]使用有限差分法求解冪律流體和賓漢流體，給出了2種流體在偏心圓環管中流動的平均體積流率。MITSUISHI等人[5]使用高聚合物非牛頓流體作為實驗材料，給出了偏心圓環管中非牛頓流體流速與壓降之間的關系。

國內對于非牛頓流體管內流動的研究起步較晚，成果也較國外少。姜篤志[6]分析了非牛頓流體在管道內流變性的一般規律并建立模型。楊旭等人[7]分析了非牛頓流體的本構及流動規律，基于空間分數階微積分方法，建立了分數階非牛頓流體本構模型，使用分數階的階數大小來反映非牛頓流體流動的空間記憶性強弱。

經過以上分析可以看出，中國對非牛頓流體管內流動這一研究領域的研究不太成熟，大多數停留在對非牛頓流體管內流動進行基本的數值模擬這一階段，而缺少對于模擬條件的多樣化拓展以及對結果數據之間關系更加詳盡的討論。關于非牛頓納米流體管內流動這一新興領域更是空白。又考慮到非牛頓流體管內流動在工業上的廣泛應用，進一步進行相關方面的數值研究是很有必要的。

本文使用COM SOL Multiphysics這一軟件作為計算平臺，采用有限元分析法對非牛頓流體流經不同管道時體現出的流動特性進行數值模擬研究。

1 數學模型與數值模擬方法

1.1 控制方程組

一切的流體流動過程，都以以下3個基本的物理學原理為基礎：質量守恒定律，牛頓第二定律與能量守恒定律。將這些物理學用于構建流動模型，將會導出一組方程，即連續性方程、動量方程與能量方程。這些方程是上述物理學原理的數學描述，本文不討論傳熱，所以不引入能量守恒方程，質量守恒定律（連續性方程）：

式（1）表示的是瞬態三維可壓流體流動的連續性方程，本文所分析的流體流動處于穩態且不可壓縮，密度ρ不會隨著時間的變化而改變，所以，流體流動的數學描述為：

式（3）（4）（5）是對于任何流體都成立的動量守恒方程，是微元體內流體動量對于事件的變化率等于外界作用于該微元體上的各種力的和。簡稱動量方程，也稱納維斯托克斯（N-S）方程。

1.2 本構方程

本構方程是反映物料宏觀性質的數學模型，又被稱為流變狀態方程或是流變方程。在流變學中，本構方程是在某些假定條件下，對流體或彈性體的材料力學行為的數學描述，可以用來區分流體類型。前述的牛頓內摩擦定律即最簡單的流體本構方程。本構方程與連續性方程、運動方程一起構成封閉的方程組，用于求解流體的流動特性。

在本文仿真中使用的冪律流體的本構方程式為：

式（6）中：m為黏稠系數，Pa·sn，表示物料的黏稠程度；n為冪律流變指數（簡稱冪律指數），為無量綱量，表示非牛頓流體的流動特性偏離牛頓流體的程度（n=1時為牛頓流體）。

1.3 非牛頓流體管道流動模型

1.3.1 流體切應力

對于圓形管道內的流體流動，非管壁處流體剪應力?與管壁處剪應力?w的取值滿足下列均勻流動方程式：

式（7）（8）中：Δp為管道壓降；r為圓柱坐標系中的r方向坐標位置；L為管道長度；R為管道半徑。

1.3.2 剪切應變速率

剪切應變速率描述的是流體的剪切流動，定義為單位時間的剪切應變變化：此選用的是COMSOL Multiphysics中的Laminar flow求解器模塊。這個模塊內置了許多流動的基本物理參數，可以在這些參數的基礎上結合前文所述的數學模型定義更多仿真所需要的變量。

式（9）中：γ為剪切應變。

值得注意的是，剪切應變速率常與速度梯度混淆。實際上二者是不同的概念。速度梯度是流體的速度對空間坐標的導數，用du/dy來表示。在數學上，二者的數值有時相等，這是因為一般速度梯度符合：

但二者的物理意義并不相同，且數值上有時并不相等（如流體在同軸圓筒之間的流動，此時有角速度的影響）。

1.3.3 廣義雷諾數

對于圓管內非牛頓流體流動的雷諾數Re計算，目前多是仿照牛頓流體，近似按照黏度或者對比牛頓流體壓降的公式計算其廣義雷諾數Re′：

式（11）中：D為圓管直徑；n為流變指數，不同流體二者的取值不同；k為流變系數。

對于牛頓流體來說，n′=1，k′=μ。所以，牛頓流體雷諾數為：

1.4 求解器介紹

本次模擬使用的COM SOL Multiphysics是一款功能強大的多物理場仿真軟件，可以對多個領域的物理過程進行模擬計算。本文研究的是非牛頓流體在管道內的流動特性，因上述均勻流動方程式的推導并沒有涉及流體的性質與流動狀態，所以該方程式適用于所有的流體與流動狀態。

1.5 數值計算方法

本文涉及的數值計算使用的是有限元分析法（Finite elementmethod，FEM）。它的基本思路為：一個物體或系統被分解為由多個相互聯結的、簡單、獨立的點組成的幾何模型。在這種方法中這些獨立的點的數量是有限的，因此被稱為有限元。由實際的物理模型中推導出來的平衡方程式被使用到每個點上，由此產生了一個方程組，這個方程組可以用線性代數的方法求解。

1.6 網格局部加密與獨立性驗證

在數值仿真過程中，網格的數量與大小與仿真結果的精度密切相關。更多的網格數目雖然能夠提高結果的精度，但是也意味著要耗費更多的計算機算力資源。經衡量，使用COMSOLMultiphysics中的Meshrefine功能對模型的關鍵計算區域進行局部網格加密，模型的其他部分則保持相對較大的網格密度。

局部加密效果如圖1所示。

圖1 網格局部加密效果圖

此外，為了保證求解結果的精度，每組仿真計算時都需要多次調整網格的數量，檢查計算結果是否因為網格密度不同而出現較大的誤差。經過調整，確認每組仿真的網格數量保持在200萬～400萬之間為宜，這時求解精度已經足夠。

2 仿真結果及分析

2.1 物理模型

2.1.1 幾何模型

本組仿真選用了2種不同截面的長直管道，分別為圓形截面、矩形截面管道。這2種截面管道的形狀示意與幾何尺寸數據如圖2和表1所示，管道整體如圖3所示。

圖2 管道截面形狀與尺寸示意圖

表1 管道幾何尺寸數據

圖3 管道整體示意圖

非牛頓流體從管道的一端流入，在管道內進行流動過程后，從另一端流出。

此后的時間里，王施凱仿佛突然被打通了任督二脈，開始發憤圖強，努力學習……過了一個春·天一個夏天后，期末考試他竟真的考到了班級中游。王施凱本人的說法是有天晚上起夜，發現老爸在看他小時候的照片和獎狀，一時間激發了奮斗的意志。當然，大老爺們半夜抹眼淚這種事情他是不會告訴趙明月的。趙明月也沒多問，心照不宣地繼續為他講題。

2.1.2 流體性質

本組仿真選用的非牛頓流體為冪律流體（冪律指數n≠1），其黏度與剪切應變速率的關系遵循下式：

其余的流動特性參數列如表2所示。

表2 不同截面管仿真中非牛頓流體的流動特性參數值

2.2 邊界條件

選用如下邊界條件：①進口邊界條件。進口速度uin，取值固定為0.15m/s；進口溫度Tin為293.15K（20℃）。②出口邊界條件。出口壓力為0。③壁面邊界條件。無滑移邊界條件，即壁面處的流體速度為0；常壁溫邊界，壁面溫度TW為333.15K（60℃）。④其他。流體不可壓縮，所有管道區域內流體處于層流狀態。

2.3 冪律指數對非牛頓流體管道流動的影響

對于冪律流體，當冪律指數n＜1時，流體表現出剪切稀化效應；當冪律指數n＞1時，流體表現出剪切增稠效應。為了探究冪律指數n對冪律流體在管道中流動特性的影響，控制進口速度uin=0.15m/s，管截面當量直徑de=0.1m，管長l=0.8m，參數相同，冪律流體n取0.6～1.4，對圓形截面管道內的非牛頓冪律流體進行流動特性的仿真。不同冪律指數下非牛頓冪律流體的速度場分布如圖4所示。

圖4展示了不同冪律指數條件下冪律流體在管道各個橫截面上的速度場分布。觀察靠近管道入口段的速度場橫截面，可以發現隨著n的增大，流體的速度入口段長度越來越短。這是因為當冪律指數n＞1時，流體表現出剪切增稠效應，而且該效應會隨著n的增大而得到強化（剪切稀化效應同理）。剪切增稠效應下的流體流動性降低，速度梯度小，更容易達到充分發展狀態；反之，剪切稀化效應下的流體流動性提高，速度梯度大，速度入口段長。

此外，冪律指數也對流體充分發展區最大速度有一定影響，兩者呈正相關關系。上述結論均可以從MUKHERJEE的研究中得到驗證。

圖4 不同冪律指數下非牛頓冪律流體的速度場分布（單位：m/s）

2.4 截面形狀對非牛頓流體管道流動的影響

保持進口速度uin=0.15m/s，冪律指數n=0.6，管截面當量直徑de=0.1m，管長l=0.8m，參數相同，對不同截面管道內的非牛頓流體進行流動特性仿真。

2.4.1 截面形狀對速度入口段長度的影響

在本組仿真中，在各管道的軸向中心截面上繪制速度云圖，觀察非牛頓流體在不同截面管道中的速度入口段長度。不同截面形狀管道軸向中心截面速度云圖如圖5所示，從圖5可以看出，流體在管道入口段形成速度邊界層，邊界層逐漸向截面中心流動匯集，最后消失形成穩定的流態。矩形形狀的管道內非牛頓流體的速度入口段長度比圓形管道的長。這說明速度入口段的長度與管道截面形狀有關。截面為圓形的管道內的非牛頓流體更早到達充分發展階段，流態更為穩定。

圖5 不同截面形狀管道軸向中心截面速度云圖（單位：m/s）

2.4.2 截面形狀對速度場分布的影響

為了更直觀地觀察出管道內的速度場分布情況，重新選取數個沿管道軸向等距分布的管道橫截面來繪制速度云圖。通過觀察每個截面云圖的變化過程，可以得出非牛頓流體的速度沿徑向與軸向發展的情況。兩種截面形狀管道的橫截面速度場分布如圖6所示，從圖6可以看出，流體在管壁處速度為0，最大速度中心位于各管道的橫截面幾何中心區域，但并不是一開始就在中心區域達到最大速度。在2種管道靠近入口段的截面，可看到速度最大值區域分散在截面的幾何中心周圍。對于矩形截面管道來說這種現象更為明顯，云圖中能夠看到入口段截面形成兩三個速度中心區域，由此可見，速度最大區域首先出現在靠近管道截面角區的位置，之后在向軸向發展的同時向徑向截面幾何中心合并，最終在中間達到流動速度峰值。

3 結論

本文通過COMSOLMultiphysics平臺，使用有限元法與局部優化網格技術建立了非牛頓流體在不同橫截面管道中的流動模型。

圖6 兩種截面形狀管道的橫截面速度場分布（單位：m/s）

通過以上數值模型，分析了非牛頓流體在管道內的速度分布，并討論了流體流動特性參數之間的關系，以及管道截面形狀和冪律指數對流體流動性能的影響。具體總結如下：對于冪律流體，更高的冪律指數n值將使流體更多表現出剪切增稠效應，進一步使得速度入口段長度逐步減短；反之，則表現出剪切稀化效應，增長速度入口段的長度。在相同的邊界條件下，橫截面為矩形的管道中流體的速度入口段長度最長，隨后為圓形截面管道；管道內流體流動的發展從接近截面角區的位置開始，之后再向管道截面幾何中心處發展。