兩級串聯超前校正網絡飛行器控制系統設計

李瑀馨

（武漢理工大學 自動化學院，湖北 武漢430070）

1 任務要求

已知一飛行器控制系統開環傳遞函數為：

控制系統性能指標：調節時間小于0.01s，單位斜坡輸入的穩態誤差小于0.0005，相角裕度大于80°。

本文首先分析校正前系統的穩定性、動態特性等，對系統狀況有了初步的了解。根據實際情況選擇合適的校正裝置，使得校正后的裝置滿足設計要求，并對校正前后系統進行對比分析。

2 校正前系統性能分析

2.1 校正前系統的穩定性分析

一般情況下，確定線性系統穩定性的方法分為基于經典控制理論和基于現代控制理論的方法。

經典控制論中，以傳遞函數或頻率特性的形式來描述控制系統，穩定判據有：勞斯穩定判據、根軌跡法和奈奎斯特穩定判據等。

本文基于經典控制理論的穩定性判據，以確定特征根所在區域為目的，由此判斷系統的穩定性[1-2]。

2.1.1 勞斯穩定判據

勞斯判據法可根據系統特征方程式系數判斷系統的穩定性。這種方法比較簡單，但只能判斷系統是否穩定，不能判斷系統的穩定程度。它可以用于飛行器控制系統設計階段，判斷所設計的飛行器控制系統穩定性。

針對給定的飛行器控制系統的開環傳遞函數，由系統的開環傳函可知此系統為一個二階系統。因此，可求得飛行器控制系統的系統特征方程為：

列出勞斯表如表1所示。

表1 飛行器控制系統的勞斯表

通過表1可以看到，要使系統穩定，即第一列為正，則K必須大于0。

2.1.2 系統根軌跡判定

根軌跡是分析和設計線性定常控制系統的圖解方法，使用十分簡便，特別在進行多回路系統的分析時，應用根軌跡法比用其他方法更為方便，因此在工程實踐中獲得了廣泛應用[3]。本文利用Matlab進行編程[4]，繪制出飛行器控制系統開環傳遞函數隨K變化的根軌跡圖。

由根軌跡圖可知當K＞0，根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，因此這個系統對所有的K值都是穩定的。當0＜K＜7.25時，閉環極點位于實軸上，系統為過阻尼系統；當K=7.25時，閉環極點重合，系統為臨界阻尼系統，響應速度較0＜K＜7.25情況快；當K＞7.25時，閉環極點為復數極點，系統為欠阻尼系統，超調量隨K的增大而增大，但調節時間的變化不顯著。

2.1 .3 奈奎斯特穩定判據

奈奎斯特穩定判據對系統穩定性進行判別時根據系統的開環頻率特性。P為開環傳遞函數在右半s平面上的極點數。N為軌跡沿逆時針方向包圍實軸上點（-1，j0）的次數。閉環控制系統正實部極點數：Z=P-R。奈奎斯特穩定判據指出Z=0時，閉環控制系統穩定；Z≠0時，閉環控制系統不穩定。

利用Matlab繪制未校正系統的奈奎斯特曲線，并進行判斷。可知R=0，P=0，由Z=P-R可得，Z=0，說明K＞0時系統一直處于穩定狀態，與上述勞斯穩定判據、根軌跡判定結果一致。

2.2 系統伯德圖與系統幅值裕度、相角裕量

利用伯德圖可以看出在不同頻率下系統增益的大小及相位，也可以看出增益大小及相位隨頻率變化的趨勢，還可以對系統的穩定性進行判斷。

本文利用Matlab編程仿真[5]繪制了系統的伯德圖。通過觀察繪制的伯德圖可以看出未校正前控制系統的相角裕度隨K值的增大而增大，且未校正前控制系統的幅值裕度和相角裕度均為正值，進而可得未校正前控制系統為穩定系統，與上述論證結果一致。

2.3 單位階躍輸入狀態下的系統響應

為了進一步觀察系統的動態性能，本文利用Matlab編程仿真，觀察未校正系統在單位階躍輸入和單位斜坡輸入下的響應情況。單位階躍輸入分為過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼狀態，以此研究系統的動態性能。求得的3種狀態下的動態性能指標如表2所示。

表2 3種狀態下動態性能指標

由表2可以觀察到過阻尼狀態系統調節時間和上升時間隨K的增大而縮短，臨界阻尼系統響應速度較過阻尼情況快；欠阻尼峰值時間和上升時間隨K的增大而縮短，且超調量將隨K的增大而增大，但調節時間的變化不太顯著，并且可以清楚地看出系統處于穩定狀態，與前述分析結果一致。

3 飛行器控制系統的校正

3.1 系統K值的確定

系統要求單位斜坡輸入的穩態誤差小于等于0.0005，根據單位斜坡輸入的穩態誤差定義可做出如下計算。

由前面分析可知此系統處于欠阻尼狀態，峰值時間和上升時間隨K的增大而縮短，且超調量將隨K的增大而增大，但調節時間的變化不顯著。因此，方便計算綜合可取K=161。

可計算得到系統的調節時間ts=0.199s（△=±2%），wc=813.72rad/s，相角裕度γ=23.94°。

3.2 兩級串聯超前校正網絡設計

要將待校正系統的相角裕度提高到大于80°。由于串聯校正a不能過大，想要達到目標相角裕度，至少選用兩級串聯超前網絡。

根據上述設計步驟，本文針對給出的控制系統和相應的性能指標要求等，設計對應的串聯超前校正裝置，具體參數計算與設計過程如下所示[6-7]。

3.2.1 設計第一級串聯超前校正網絡[7]

根據穩態性能要求，確定開環增益K=724500。

求出未校正系統的截止頻率wc0=813.72rad/s，相角裕度γ0=23.94°。

利用超前校正網絡將相位裕度校正到γ1=60°，計算需要產生的最大超前角φm=γ1-γ0+（5°～10°）=60-23.94+（5°～10°）≈45°。

令校正后wc=wm。

確定校正裝置的傳遞函數：

3.2.2 設計第二級串聯超前校正網絡

求出第一級校正后系統的截止頻率wc1=1217.9rad/s，相位裕度γ1=61.09°。

利用超前校正網絡將相位裕度校正到γ2＞80°，計算需要產生的最大超前角φm=γ2-γ1+（5°～10°）≈25°。

根據所需要最大超前角求出a=2.47。

校驗已校正系統的各項性能指標，求得截止頻率wc1=1217rad/s，相位裕度γ1=81.21°，調節時間ts=0.0049s。單位斜坡輸入的穩態誤差為0.00049855。綜上所述，校正后系統滿足題目設計要求。

4 校正后系統性能分析

4.1 校正后系統根軌跡

繪制校正后系統根軌跡如圖1所示。由圖1可知根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，因此這個系統對所有的K值都是穩定的。

圖1 校正后系統根軌跡

4.2 校正后奈奎斯特穩定判據判穩

繪制校正后系統奈奎斯特曲線如圖2所示。通過奈奎斯特曲線可以得出R=0，P=0，所以根據Z=P-R可得Z=0，說明沒有閉環極點位于右半s平面，所以系統處于穩定狀態，與上述根軌跡判定結果一致。

圖2 校正后系統奈奎斯特曲線

4.3 系統伯德圖與系統幅值裕度、相角裕度

繪制校正前后系統的伯德圖，求出的幅值裕量和相角裕量如表3所示。

表3 幅值裕度和相角裕度

可以看出校正前后控制系統的幅值裕度和相角裕度均為正值，進而可得校正前后控制系統為穩定系統，且校正后系統滿足設計要求。

4.4 校正后系統單位階躍輸入狀態下的系統響應

為了進一步觀察系統的動態性能，本文利用Matlab編程仿真，觀察校正前后系統在單位階躍輸入下的響應情況，具體的仿真結果如圖3所示，可見系統可較好地跟蹤上階躍信號，且比原系統跟蹤信號的能力顯著提高。計算出系統動態性能指標，如表4所示。

圖3 單位階躍輸入下系統響應

表4 系統動態性能指標

由表4可知，校正后調節時間顯著縮短，峰值時間和上升時間基本不變，超調量顯著減小，可見校正后系統的性能顯著提升。

本文設計的兩級串聯超前校正裝置很好地滿足了設計要求，而且校正后系統快速性、穩定性、跟蹤信號能力方面都有顯著提升。