基于落點預(yù)測的高旋火箭彈彈道修正算法

楊泗智，龔春林，郝波，吳蔚楠，谷良賢,*

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072 2. 上海航天技術(shù)研究院，上海 201109

高旋修正火箭彈由彈道修正組件和火箭彈兩部分組成，屬于雙旋體結(jié)構(gòu)，采用軸承連接實現(xiàn)轉(zhuǎn)速隔離。火箭彈起飛時靠發(fā)動機斜置噴管推力賦旋高速旋轉(zhuǎn)，修正組件在氣動力作用下繞彈軸反向低速旋轉(zhuǎn)，修正組件根據(jù)制導(dǎo)指令將執(zhí)行舵懸停在預(yù)定方位角產(chǎn)生控制力實現(xiàn)對高旋彈的修正控制[1]。由于高旋火箭彈的陀螺進動和馬格努斯效應(yīng)使火箭彈的動力學(xué)非線性耦合比較嚴重，目前國內(nèi)外學(xué)者在該領(lǐng)域的研究主要集中在彈道修正組件的概念分析[2-4]，飛行動力學(xué)建模[5-8]、控制力作用下的等效力分析[9-10]、偏流效應(yīng)和穩(wěn)定性分析[11-14]等方面。而在高旋類修正彈的制導(dǎo)控制方面缺乏有效的制導(dǎo)控制算法。目前二維彈道修正領(lǐng)域常見的制導(dǎo)控制算法有：落點預(yù)測(Impact Point Prediction,IPP)、彈道跟蹤(Trajectory Tracking,TT)制導(dǎo)和修正比例導(dǎo)航(Modified Proportional Navigation, MPN)控制等算法[15]。

落點預(yù)測(IPP)制導(dǎo)是以每一時刻彈丸所處的空間位置為起點，根據(jù)位置、速度等信息計算火箭彈無控條件下的落點位置，并與目標點進行對比，利用偏差量來確定控制力的方位角，實現(xiàn)修正控制[16]。彈道跟蹤制導(dǎo)采用一條標稱彈道，該標稱彈道無偏差命中目標，彈起飛后根據(jù)時間插值求出彈的實際位置與標稱彈道位置偏差，根據(jù)位置偏差確定控制力的方位角；修正比例導(dǎo)航(MPN)控制是利用彈目間的相對位置偏差和相對速度信息解算出剩余飛行時間,計算修正火箭彈在射程和方位的偏差量所需要的過載，利用需用過載確定控制力的方位角[11,15]。

上述幾種算法均是采用縱、橫向的偏差(修正)量的比例關(guān)系來確定控制力的方位角，即偏差量控制。該控制模式對于低旋彈或非旋轉(zhuǎn)彈是可行的[16-19]，而對于高旋穩(wěn)定火箭彈,由于彈體動力學(xué)的非線性耦合效應(yīng)，使得控制過程中等效力的大小和方向不斷變化，導(dǎo)致實際控制力與需要控制力之間存在偏差，控制持續(xù)的時間越長偏差越大，造成控制的終端出現(xiàn)一定的脫靶量。

針對該問題，本文分析了控制力與等效力的關(guān)系。采用彈道落點預(yù)測模型實時預(yù)測落點與目標的偏差量，通過小擾動法構(gòu)建彈道修正敏感系數(shù)矩陣，利用彈目偏差量與修正敏感系數(shù)矩陣解算出需用修正量，并利用修正前后的速度矢量關(guān)系解算出修正量的大小、方位角及控制周期。在控制周期內(nèi)按照方位角調(diào)整控制力方向，實現(xiàn)對火箭彈的修正控制，該算法以修正終點為目標，解決了高旋火箭彈的非線性強耦合導(dǎo)致的實際控制力與需要的控制力不一致的問題。

1 動力學(xué)模型

1.1 控制力及其產(chǎn)生的等效力分析

高旋修正火箭彈控制力方向如圖1所示。圖中：FR為執(zhí)行舵產(chǎn)生的控制力；LCF為控制力到質(zhì)心的距離；φf為控制力與準彈體系η1軸的夾角；CG為彈體質(zhì)心的位置。在準彈體系下控制力可以表示為

(1)

式中：FRη1和FRζ1分別為執(zhí)行舵產(chǎn)生的控制力在準彈體系η1軸和ζ1軸上的分量。

為了建立控制力與等效力之間的關(guān)系，需要引入控制力作用下的角運動方程，由控制力和角運動確定等效力，因此，需要引入以下符號

圖1 制導(dǎo)火箭彈的控制力

(2)

式中：ρ為空氣密度；S為參考面積；m為彈體質(zhì)量；d為彈體直徑；L為參考長度；Jz為修正火箭彈的赤道轉(zhuǎn)動慣量；Cx為阻力系數(shù)；C′y為升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)；C″z為馬氏力系數(shù)導(dǎo)數(shù)；m′z為彈體俯仰力矩系數(shù)；m′zz為阻尼力矩系數(shù)；m″y為馬氏力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)。

由于火箭發(fā)動機工作時間短，控制段不受發(fā)動機推力的影響，按照彈道學(xué)理論，采用弧長s為自變量得到攻角運動方程為[20-23]

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=

(3)

火箭彈的攻角主要由初始擾動攻角Δ0、重力引起的動力平衡角ΔG和控制力產(chǎn)生的附加攻角ΔFR組成，即Δ=Δ0+ΔG+ΔFR。火箭彈的運動是穩(wěn)定的，初始擾動快速收斂，穩(wěn)態(tài)時可認為Δ0=0。重力對攻角的影響是火箭彈產(chǎn)生偏流效應(yīng)的主要因素，通過常數(shù)變易法可以得到動力平衡攻角為

(4)

式中：δ1p、δ2p為縱向和橫向的動力平衡攻角。

因此，重力引起的動力平衡攻角可表示為

ΔG=δ1p+iδ2p

(5)

控制力產(chǎn)生的附加攻角由控制力的大小和方向決定，即控制力作用下的附加攻角為

Δ″FR+(H-iP)Δ′FR-(M+iPT)ΔFR=

[LCF/(Jzv2)-(kzz-iP)/(mv2)]FReiφf

(6)

控制力產(chǎn)生的附加攻角的穩(wěn)態(tài)值為

(7)

附加攻角穩(wěn)態(tài)值的大小和方向為

(8)

φn=φf+arctan(-PJz/(Jzkzz-mLCF))-

arctan(PT/M)

(9)

由附加攻角產(chǎn)生的升力FLΔFR和馬格努斯力FMΔFR為

(10)

(11)

由于kzz和T均為小量，其對攻角的影響可忽略不計，可以得到附加攻角的幅值和相角為

(12)

φn=φf+π+arctan(PJz/(mLCF))

(13)

控制力產(chǎn)生的附加攻角與控制力的大小成正比，方向與控制力的方向接近相反。

由附加攻角產(chǎn)生的“升力”和“馬格努斯力”為

(14)

(15)

1.2 控制力對火箭彈運動的影響

控制力對火箭彈運動的影響主要包括[1]：

1) 控制力對火箭彈的直接作用。

2) 控制力矩引起的附加攻角產(chǎn)生的升力和馬格努斯力對火箭彈的作用。

因此，控制過程中的等效力為

Fc=FLΔFR+FMΔFR+FReiφf

(16)

由于|FMΔFR|?|FLΔFR|，可忽略馬格努斯力的影響，得到控制作用下產(chǎn)生的等效力為

(17)

當(dāng)(-C′yLCG/Lm′z)+1>0時，附加攻角產(chǎn)生的升力大于控制力，等效力主要受附加攻角產(chǎn)生升力的影響，當(dāng)(-C′yLCG/Lm′z)+1<0時則附加攻角產(chǎn)生的升力小于控制力，等效力主要受控制力的影響。

1.3 彈道模型建立

根據(jù)雙旋體的動力學(xué)模型可以得到修正火箭彈的7自由度模型動力學(xué)為[5,18]

(18)

式中：Fp、Fa、Fc分別為發(fā)動機推力、氣動力和控制作用下的等效力；Mf為修正組件受到的氣動導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩；Ma為彈體受到氣動力矩；Mafx和Mfax分別為彈與固定舵之間的作用力矩；H*為火箭彈前后體的合動量矩。

2 制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計

2.1 彈道落點預(yù)測模型設(shè)計

高旋火箭彈存在嚴重的偏流效應(yīng)，彈道落點預(yù)測不能采用簡單的質(zhì)點彈道模型。這里在無控7自由度模型的基礎(chǔ)上簡化處理得到的修正彈道，在簡化過程中不考慮彈體姿態(tài)運動，彈軸以動力平衡軸代替[23]。氣動力受動力平衡攻角的影響，由式(4)知動力平衡攻角不僅與速度有關(guān)還與轉(zhuǎn)速有關(guān)，轉(zhuǎn)速沿彈道是衰減的。因此，為了準確計算動力平衡角，需要保留滾轉(zhuǎn)方向的動力學(xué)方程，得到修正的4自由度預(yù)測模型為

(19)

為驗證預(yù)測模型的準確性，以火箭彈起飛后15 s啟控彈道預(yù)測與7自由度模型仿真結(jié)果對比如圖2所示。

由圖2可以看出：采用彈道落點預(yù)測模型能夠較好地逼近修正火箭彈的7自由度彈道模型，其落點誤差不超過1 m，并且隨著火箭彈不斷接近目標，其精度也越來越高，能夠保證制導(dǎo)系統(tǒng)的落點預(yù)測精度。

圖2 彈道預(yù)測與7自由度模型仿真結(jié)果對比

2.2 制導(dǎo)算法設(shè)計

由于高旋火箭彈動力學(xué)是非線性的，控制力與修正量無法建立直接關(guān)系式，這里采用宗量法。根據(jù)7自由度模型可知：射程與射偏是速度、彈道傾角、彈道偏角、位置等的泛函，即

(20)

射程與射偏是其宗量函數(shù)的連續(xù)函數(shù)，由于制導(dǎo)控制段不帶動力飛行，速度是無法改變的，但通過等效控制力可以改變火箭彈的運動方向，因此，以彈道傾角和彈道偏角作為控制對象，利用變分原理得到射程和射偏偏差量的宗量函數(shù)為

(21)

為計算需用修正控制量，這里采用小擾動法對火箭彈的傾角和偏角分別增加單位角度，引起射程和射偏的變化來計算敏感系數(shù)矩陣。通過敏感系數(shù)矩陣與射程和射偏的變化量即可確定彈道傾角和彈道偏角的修正控制量，即

(22)

修正控制量為

(23)

得到需用控制量的合偏角為

(24)

2.3 控制算法設(shè)計

為得到等效力方位角φn和控制周期Tp。合偏角可以按式(24)表示成矢量和的形式在控制前后速度矢量的位置關(guān)系如圖3所示。

圖3 修正前后速度矢量的位置關(guān)系

第1種途徑是先在攻角平面內(nèi)將單位矢量投影到oxv軸和oy″v上，再將oy″v上的分量投影到oyv和ozv軸上，得到單位矢量在oxvyvzv坐標系上的投影矩陣為[cosΔΣ,sinΔΣcosφn,sinΔΣsinφn]T。

兩投影的元素對應(yīng)相等，得到合偏角ΔΣ和方位角φn為

(25)

方位角所在的象限可由δθ和δψ的符號確定

(26)

通過φn即等效力的方位角，結(jié)合式(13)可確定控制力的控制角度φf。

等效力引起彈道傾角變化的角速度為

(27)

因此，得到控制周期Tp為

(28)

由于火箭彈采用固定鴨舵的控制,為評估執(zhí)行舵的修正控制能力，這里對不同舵偏角，以控制方位角15°間隔懸停對火箭彈進行控制，得到火箭彈控制力作用下的覆蓋區(qū)域如圖4所示。

由圖4可以看出火箭彈的修正能力與舵偏角成正比，且隨著固定舵舵偏角的增大，右旋彈左側(cè)的修正能力比右側(cè)的修正能力更大。為確保修正能力覆蓋火箭彈的散布，這里用8°舵偏角。

圖4 不同固定鴨舵偏角的修正能力

3 仿真分析

為了驗證制導(dǎo)控制算法，這里對某型轉(zhuǎn)速為24 000 r/min的高旋火箭彈進行了仿真，采用彈道落點預(yù)測修正控制算法實時解算出控制力的方位角進行修正控制。高旋火箭彈的特征參數(shù)見表1。

表1 火箭彈的特征參數(shù)

火箭彈48°射角落點坐標為(10 735 m，0 m，581 m)，火箭彈的縱、橫向散布為射程的1/120和1/80，設(shè)定目標點的坐標為(10 850 m，0 m，750 m)，彈道落點預(yù)測的啟控時間設(shè)為15 s，仿真結(jié)果如圖5～圖9所示。

圖5 控制力的控制角度

圖6 修正控制和偏差量控制縱向和橫向的修正量

圖7 修正控制和無控彈道的姿態(tài)角及姿態(tài)角速度

由圖5可以看出在按照給定的目標位置通過修正控制算法解算出控制力的角位置，控制力的控制方向在177°～186°之間，控制范圍在10°內(nèi)，有利于控制系統(tǒng)的響應(yīng)和收斂；圖6通過對比修正控制與偏差量控制可以看出火箭彈采用修正控制收斂較快，控制落點與目標的偏差為(0.32 m，0.28 m)，而采用偏差量控制算法控制過程一直在震蕩中往目標接近，且得到的落點與目標的偏差為(34.75 m，0.49 m)，說明對于非線性動力學(xué)系統(tǒng)采用修正控制算法得到的控制力的方向能夠同時滿足橫向和縱向的控制精度要求，而偏差量控制則不能滿足該要求，修正控制優(yōu)于偏差量控制；圖7為修正控制引起的俯仰、偏航角及其角速度的變化和無控彈道的對比，可以看出對于修正控制除了在彈道頂點有波動外其余控制段均快速收斂；圖8為彈道傾角和彈道偏角的變化與無控彈對比，圖9為修正控制的三維彈道與無控彈對比，說明修正火箭按照目標方位進行修正控制，結(jié)合圖6修正控制的修正量，驗證了修正控制算法在修正能力范圍內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)高旋火箭彈的精確打擊，且控制過程收斂，證明修正控制算法適合高旋火箭彈的制導(dǎo)控制。

圖8 修正控制和無控彈道傾角和彈道偏角曲線對比

圖9 修正控制和無控彈道曲線

4 結(jié) 論

1) 在考慮陀螺和馬格努斯效應(yīng)的基礎(chǔ)上分析了控制力對彈體的作用及角運動的影響，得到了修正等效控制力，建立了控制力與修正等效控制力之間的對應(yīng)關(guān)系。

2) 建立了修正火箭彈的彈道落點預(yù)測模型，實時精確預(yù)測火箭彈的落點與目標的偏差量。利用小擾動法構(gòu)造偏差量對控制量的敏感系數(shù)矩陣，根據(jù)偏差量解算出修正控制量，通過修正前后的坐標關(guān)系建立修正控制量的合矢量、方位角及控制周期。在控制周期內(nèi)利用等效力與控制力之間的關(guān)系計算出控制力的方位角，實現(xiàn)修正火箭彈的修正控制系統(tǒng)閉環(huán)設(shè)計。

3) 該算法以修正終點為目標，解決了高旋火箭彈的非線性強耦合導(dǎo)致的實際控制力與需要的控制力不一致的問題，并通過對某型高旋修正控制的仿真分析，并與偏差量控制算法在縱向和橫向的修正能力方面進行對比，驗證該算法具有收斂速度快、控制精度高等特點，能夠?qū)崿F(xiàn)高旋火箭彈精確控制，具有一定的工程應(yīng)用價值。