“當(dāng)”字型問題的解題邏輯

段雄東

【摘要】“當(dāng)”字型問題是初中數(shù)學(xué)常見的一類題型.由于其提問方式具有一定的特殊性，解題過程中容易出現(xiàn)兩種邏輯錯(cuò)誤：1.把“求證的結(jié)論”當(dāng)作“已知條件”;2.把結(jié)論的必要條件當(dāng)作充要條件.本文以兩道題為例，通過對(duì)比錯(cuò)誤的解法與正確的解法，分析出錯(cuò)的原因，并總結(jié)正確解法的表述方式.

【關(guān)鍵詞】邏輯;分析過程;證明過程

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的一類問題：當(dāng)為何值時(shí)，可以得到給定的結(jié)論.我們姑且把這種形式的問題稱為“當(dāng)”字型問題.在解這類問題時(shí)，學(xué)生很容易出現(xiàn)以下兩種不同的邏輯錯(cuò)誤.

一、把“求證的結(jié)論”當(dāng)作“已知條件”

學(xué)生在解“當(dāng)”字型問題時(shí)，往往會(huì)搞不清楚題目中的已知到底是什么，要求或要證的又是什么.那么在解題過程中就會(huì)把“求證的結(jié)論”當(dāng)作“已知條件”.下面我們一起來看一道例題.

例1 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以1 cm/s的速度沿CA勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以2 cm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s.當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上？

顯然這兩個(gè)問題的“求證的結(jié)論”與“已知條件”是剛好顛倒的.問題1是：已知“點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上”，要求“t的值”;問題2是：已知“t的值（這個(gè)值是多少也是我們?nèi)フ遥保C“點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上”.

那么上面的解法一應(yīng)該是對(duì)問題1的解答.解法二才是此題的正確解法.

可能有人會(huì)想：?jiǎn)栴}2是要通過“t的值”，證明“點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上”.但“t的值”是多少，又是未知的，那不就相當(dāng)于在未知的條件下去證明給出的結(jié)論.正因?yàn)槿绱耍@類題目的解法，先要有一個(gè)分析的過程，得出“t的值”，然后在“t值”條件下再有一個(gè)證明過程，證明“點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上”.

其實(shí)解法一與解法二的表述唯一的不同就在“∵點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，∴BQ=BP”與“當(dāng)BQ=BP時(shí)，點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上”.也正是這兩句的不同才體現(xiàn)兩種解法邏輯的不同.由于“點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上”的充要條件是由“BQ=BP”一個(gè)條件構(gòu)成的，我們才可以在解法二中把分析過程和證明過程合在一起，所以解法一與解法二的差別看起來并不是很大.

如果給定結(jié)論的充要條件是由兩個(gè)或多個(gè)條件構(gòu)成的，就能更好地體現(xiàn)分析過程和證明過程不同的作用.

二、把結(jié)論的“必要條件”當(dāng)作“充要條件”

下面我們?cè)賮砜蠢?的三種解法.

例2 兩個(gè)全等的直角三角板ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=4 cm.固定△ABC不動(dòng)，將△DEF進(jìn)行如下操作：

三種解法得出的結(jié)果都是一樣的，當(dāng)x=4時(shí)，四邊形CDBF為菱形，但是只有解法三是規(guī)范的.解法一是針對(duì)問題“當(dāng)四邊形CDBF為菱形時(shí)，x為何值？”，出現(xiàn)了把“求證的結(jié)論”當(dāng)作“已知條件”的邏輯錯(cuò)誤.解法二和解法三，雖然都沒有顛倒“求證的結(jié)論”與“已知條件”，但是解法三只有分析過程，與解法三相比，少了證明過程.

因?yàn)椤皸l件CD=CF”是“四邊形CDBF為菱形”的必要不充分條件，所以由“要使四邊形CDBF為菱形，則必須CD=CF”分析得到必要條件“CD=CF”，從而得出x=4.那也就是說當(dāng)x=4時(shí)，只有必要條件“CD=CF”成立，在此條件下，四邊形CDBF只是有可能為菱形.所以說解法二只有分析過程，分析x=4是怎么得出來的，并不能確定四邊形CDBF一定為菱形.

要判定四邊形CDBF為菱形，后面還必須要有證明過程.例如解法三，通過x=4這個(gè)條件，得出DB=CF，再結(jié)合DB∥CF，得到四邊形CDBF為平行四邊形，這樣才得到“四邊形CDBF為菱形”的充要條件“CD=CF，四邊形CDBF為平行四邊形”，那么根據(jù)菱形的概念“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，我們才可以證明四邊形CDBF為菱形.

“四邊形CDBF為菱形”的充要條件是由兩個(gè)條件“條件①：CD=CF”和“條件②：四邊形CDBF為平行四邊形”構(gòu)成的，解法二錯(cuò)把必要條件“條件①：CD=CF”當(dāng)成了充要條件.雖然得出的結(jié)果都是x=4，但是作為解答題，解法二是不完整的，是不規(guī)范的.如果沒有理解這里錯(cuò)誤的原因，那么學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)犯同樣的錯(cuò)誤.

就像曹建全老師說的，“解題過程實(shí)際上是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程.”在轉(zhuǎn)化過程中，一般都要求進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即不斷尋求已知條件的充要條件，這樣才能使所求得的解不至于擴(kuò)大或縮小.

三、中考中的“當(dāng)”字型問題

“當(dāng)”字型問題的題目還是比較多的，也是中考中的“常客”，像例3，它是2019年廣東省中考數(shù)學(xué)卷的壓軸題，其中的第（3）問也是“當(dāng)”字型問題.

例3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=38x2+334x-738與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點(diǎn)F，△CAD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，點(diǎn)A恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F，連接BE.

（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo);

（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形;

（3）過頂點(diǎn)D作DD1⊥x軸于點(diǎn)D1，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，點(diǎn)M為垂足，使得△PAM與△D D1A相似（不含全等）.

①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo);

②直接回答這樣的點(diǎn)P共有幾個(gè)？

分析 第（3）問雖然沒有出現(xiàn)“當(dāng)”字，但是跟“當(dāng)”字型問題一樣，我們可以把此問理解為“當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是多少時(shí)，△PAM與△DD1A相似（不含全等）”.這題的邏輯還是比較簡(jiǎn)單的.在∠DD1A=∠PMA=90°的條件下，要使得△PAM與△DD1A相似，只要補(bǔ)充兩角對(duì)應(yīng)夾邊的比相等就行，又因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系的不確定，所以要用分類思想.也就是說雖然△PAM與△DD1A相似的充要條件是兩個(gè)條件組成的，但是有一個(gè)是已知的，所以解題過程中只要說明另一個(gè)就行，我們也就可以把分析過程和證明合二為一.如下：

四、總結(jié)

數(shù)學(xué)解題最核心的邏輯是：已知是什么、求解或求證的是什么.像這種的“當(dāng)”字型問題的解題過程中經(jīng)常把“求證的結(jié)論”當(dāng)作“已知條件”，或者把結(jié)論的必要條件當(dāng)作充要條件，究其原因主要有兩個(gè)：一是已知條件中的數(shù)值也是未知的，需要我們通過分析才能得到;二是得到了已知條件中的數(shù)值，還要進(jìn)行證明，得到結(jié)論的充要條件.

要做好“當(dāng)”字型問題的題型，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)怎樣表述解題過程，總結(jié)如下：“當(dāng)”字型問題的解法概括起來分兩種情況.一、若給定結(jié)論的充要條件只有一個(gè)時(shí)，則分析過程和證明過程就可以用形如“當(dāng)在這個(gè)條件（直接寫）時(shí)，有給定的結(jié)論”的邏輯語合二為一，然后再通過這個(gè)條件推算出我們要的值，如例1解法二;二、若給定結(jié)論的充要條件是由兩個(gè)或多個(gè)條件構(gòu)成時(shí)，則分析過程和證明過程就一定要分開.分析過程就用形如“要有給定的結(jié)論，則必須有條件①”的邏輯語，在這個(gè)條件下推算出我們要的數(shù)值，再在這個(gè)數(shù)值的條件下去證明條件②等剩下的其他條件也成立（證明過程），從而說明了“當(dāng)在這個(gè)數(shù)值時(shí)，有給定的結(jié)論”，如例2解法三.

數(shù)學(xué)是一門具有嚴(yán)密邏輯系統(tǒng)的科學(xué).要想學(xué)好數(shù)學(xué)必須具備三大能力，即運(yùn)算能力、空間想象能力和邏輯思維能力，其中邏輯思維能力是核心，因此，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力就成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的之一.如果我們解題時(shí)只重視最后的答案而輕視解題過程的邏輯，就失掉了教學(xué)的本意.

【參考文獻(xiàn)】

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