復(fù)合函數(shù)在一點的極限與連續(xù)性的解析

呂勝利 李靜鉑

【摘要】 復(fù)合函數(shù)在一點的極限與連續(xù)性與構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)及外層函數(shù)在同一點的屬性有直接的關(guān)系，本文舉例分析由兩個函數(shù)所構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)在一點的極限與連續(xù)性與這兩個函數(shù)各自在同一點的極限與連續(xù)性的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】 復(fù)合函數(shù);函數(shù)的連續(xù)性;函數(shù)在一點的極限

1 引言

函數(shù)極限與連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)的基本概念，函數(shù)的極限運算也是中學(xué)數(shù)學(xué)要求掌握的一種基本的運算能力，而連續(xù)性的意義對于中學(xué)生也是直觀顯見的.本文從高等數(shù)學(xué)的基本理論出發(fā)，分析復(fù)合函數(shù)在一點的極限與連續(xù)性的不同情況.根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)的定義，一個函數(shù)在一點有極限是函數(shù)在該點連續(xù)的必要但非充分條件，而如果一個函數(shù)在一點連續(xù)，則這個函數(shù)在這一點的極限等于該點的函數(shù)值.對于復(fù)合函數(shù)，根據(jù)內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)連續(xù)性的不同情況，復(fù)合函數(shù)在一點是否有極限、極限的計算以及是否連續(xù)也有各種不同的情況.本文對這些情況給出具體的舉例分析，希望對中學(xué)數(shù)學(xué)及大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)提供一些直觀的素材.下面給出函數(shù)在一點的極限及函數(shù)的連續(xù)性的基本概念與相關(guān)定理.

2 基本概念與定理

4 結(jié)語

根據(jù)以上分析可以看到，復(fù)合函數(shù)在一點的極限值與內(nèi)層函數(shù)及外層函數(shù)的連續(xù)性有直接關(guān)系.我們可以給出以下結(jié)論：對于復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]，有U°（x0）Df。g， 且g（x0）=u0，若復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在x=x0處不連續(xù)，則函數(shù)u=g（x）在x=x0處不連續(xù)或函數(shù)y=f（u）在u=u0處不連續(xù).這一結(jié)論可以看作定理3的逆否命題.另外，從不同情況的分析可以看到，若函數(shù)在一點連續(xù)，在求函數(shù)在該點的極限時，極限符號與函數(shù)符號可以交換.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]楊傳翔.如何理解極限的定義 [J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2010（2）： 102-103.

[4]李衛(wèi)峰.復(fù)合函數(shù)極限法則的一個注記 [J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014（6）： 87-88.

[5]馬建清，向彩容，喻敏.關(guān)于求極限的幾種方法 [J].高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版），2006（6）： 35-36.