虛軸上具有重極點(diǎn)的拉普拉斯變換與傅里葉變換相互計(jì)算的方法*

陳紹榮，何 健，朱行濤，劉郁林

（1.陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400035；2.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室，四川 成都 610041；3.重慶市經(jīng)信委，重慶 400015）

0 引言

在國(guó)內(nèi)外《信號(hào)與系統(tǒng)》著作[1-2]中，針對(duì)信號(hào)的CTFT 與LT 的互相表出問題，僅給出了信號(hào)LT 的收斂域包含s 平面虛軸時(shí)或信號(hào)的CTFT 在s平面虛軸上解析時(shí)，信號(hào)的CTFT 與LT 的相互代換關(guān)系。然而，這種簡(jiǎn)單的相互代換關(guān)系，并不是在任何信號(hào)情況下均是成立的。本文在著作[3]的基礎(chǔ)上，將虛軸上具有重極點(diǎn)的LT 分解成虛軸上含極點(diǎn)和不含極點(diǎn)兩部分之和，將信號(hào)的CTFT 分解成解析部分與不解析部分之和，研究了信號(hào)的CTFT 與LT 之間的關(guān)系，圓滿地解決了虛軸上具有重極點(diǎn)的LT 與CTFT 的相互計(jì)算問題。

1 由信號(hào)的LT 確定其CTFT

設(shè)雙邊信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換為：

從逆LT 的計(jì)算可知，若雙邊信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換F(s)的收斂域?yàn)棣粒鸡遥鸡拢瑒t雙邊信號(hào)f(t)中，相應(yīng)的因果信號(hào)對(duì)應(yīng)F(s)的區(qū)左極點(diǎn)si(i=1，2，…，p)（即Re(si)≤α的極點(diǎn)），相應(yīng)的反因果信號(hào)對(duì)應(yīng)F(s)的 區(qū) 右 極 點(diǎn)se(e=1，2，…，q)（即Re(se)≥β的極點(diǎn)）。

1.1 若滿足條件α＜0＜β

考慮到α＜0＜β，則雙邊信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換F(s)的收斂域α＜σ＜β包含s平面上的虛軸（σ=0的軸），那么復(fù)變量s可在虛軸上取值，即可令s=jΩ，于是從雙邊信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換F(s)，獲得了雙邊信號(hào)f(t)的傅里葉變換（CTFT），即：

1.2 若F(s)在s 平面虛軸上存在極點(diǎn)

F(s)在s平面虛軸上存在極點(diǎn)，涉及兩種情況0＜σ＜β和α＜σ＜0，首先通過部分分式展開，將F(s)在s平面虛軸上的極點(diǎn)分離出來(lái)，再進(jìn)行分析和研究。

（1）若0＜σ＜β，則F(s)可寫成：

由式（3）可知，將F(s)在s平面虛軸上的極點(diǎn)分離出來(lái)，使F1(s)的收斂域擴(kuò)大，并且包含s平面的虛軸s=jΩ；F2(s)僅存在區(qū)左極點(diǎn)si(i=1，2，…，p1)，并且分布在s平面的虛軸上，即滿足Re(si)=0(i=1，2，…，p1)。顯然，若F(s)有p個(gè)區(qū)左極點(diǎn)，則F2(s)的p1(p1≤p) 個(gè)區(qū)左極點(diǎn)也是F(s)的區(qū)左極點(diǎn)，并且F2(s)對(duì)應(yīng)的信號(hào)f2(t)為因果信號(hào)。

①若F(s)在s平面虛軸上僅存在區(qū)左單極點(diǎn)s=jΩi(i=1，2，…，p1)，則（3）可寫成：

式中，系數(shù)Ai(i=1，2，…，p1) 可利用留數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即：

在式（4）中，將s用jΩ代換，則有：

對(duì)式（4）兩邊取逆LT，可得：

式中，ε(t)為單位階躍信號(hào)。

由于：

對(duì)式（7）兩邊取CTFT，并考慮到式（8）、CTFT 的頻移性質(zhì)及式（6），則有：

式中，系數(shù)Ai(i=1，2，…，p1)利用式（5）進(jìn)行計(jì)算。

②若F(s)在s平面虛軸上僅存在區(qū)左n(n≥2)重極點(diǎn)sl=jΩl，則式（3）可寫成：

式中的系數(shù)Bk(k=1，2，…，n)可利用式（11）進(jìn)行計(jì)算，即：

在式（10）中，將s用jΩ代換，則有：

對(duì)式（10）兩邊取逆LT，可得：

考慮到式（8）及CTFT 的頻域微分性質(zhì)，則有：

同理，可得：

對(duì)式（15）進(jìn)行推廣，并考慮到CTFT 的頻移性質(zhì)，可得LT 在s平面虛軸上具有n+1 重極點(diǎn)的因果信t號(hào)的頻譜計(jì)算公式，即：

對(duì)式（13）兩邊取CTFT，并考慮到式（16）及F式（12），可得：

式中，系數(shù)Bk(k=1，2，…，n) 利用式（11）進(jìn)行計(jì)算。

③若F(s)在s平面虛軸上既存在區(qū)左單極點(diǎn)si=jΩi(i=1，2，…，p1)，又存在區(qū)左n(n≥2)重極點(diǎn)sl=jΩl，則式（3）可寫成：

同理，由式（18）可導(dǎo)出式（19），即：

式中，系數(shù)Ai(i=1，2，…，p1) 及Bk(k=1，2，…，n)分別利用式（5）及式（11）進(jìn)行計(jì)算。（2）若α＜σ＜0，則F(s)可寫成：

由式（20）可知，將F(s)在s平面虛軸上的極點(diǎn)分離出來(lái)，使F1(s)的收斂域擴(kuò)大，并且包含s平面的虛軸s=jΩ；F2(s)僅存在區(qū)右極點(diǎn)se(e=1，2，…，q1)，并且分布在s平面的虛軸上，即滿足Re(se)=0(e=1，2，…，q1)。顯然，若F(s)有q個(gè)區(qū)右極點(diǎn)，則F2(s)的q1(q1≤q) 個(gè)區(qū)右極點(diǎn)也是F(s)的區(qū)右極點(diǎn)，并且F2(s)對(duì)應(yīng)的信號(hào)f2(t)為反因果信號(hào)。

若F(s)在s平面虛軸上既存在區(qū)右單極點(diǎn)se=jΩe(e=1，2，…，q1)，又存在區(qū)右n(n≥2)重極點(diǎn)sr=jΩr，則式（20）可寫成：

同理，由式（21）可導(dǎo)出式（22），即：

式中，系數(shù)Ae(e=1，2，…，q1)及Bm(m=1，2，…，n)分別用式（23）及式（24）進(jìn)行計(jì)算，即：

1.3 若滿足條件0＜α＜σ＜β

考慮到0＜α＜σ＜β，將F(s)展成部分分式時(shí)，則F1(s)中至少存在一項(xiàng)，其極點(diǎn)si成為F(s)的區(qū)左極點(diǎn)，并且滿足Re[si]=σi=α＞0。考慮到Fi(s)對(duì)應(yīng)的因果信號(hào)為fi(t)=Miesitε(t)，則有：

由式（25）表明，因果信號(hào)fi(t)不滿足絕對(duì)可積條件。若令s=jΩ，則有：

由式（26）可知，F(xiàn)i(jΩ)不存在，因此，F(xiàn)(jΩ)不存在。

1.4 若滿足條件α＜σ＜β＜0

考慮到α＜σ＜β＜0，將F(s)展成部分分式時(shí)，則F2(s)中至少存在一項(xiàng)，其極點(diǎn)se成為F1(s)的區(qū)右極點(diǎn)，并且滿足Re[se]=σe=β＜0。考慮到Fe(s)對(duì)應(yīng)的反因果信號(hào)為，則有：

由式（27）表明，反因果信號(hào)fe(t)不滿足絕對(duì)可積條件。若令s=jΩ，則有：

由式（28）可知，F(xiàn)e(jΩ)不存在，因此，F(xiàn)(jΩ)不存在。

結(jié)論1：

若信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換F(s)的收斂域，不包含s平面上的虛軸，并且虛軸也不是收斂域的邊界，則信號(hào)f(t)的傅里葉變換F(jΩ)不存在。

2 由信號(hào)的CTFT 確定其LT

2.1 若F(jΩ)在s 平面虛軸s=jΩ 上解析

函數(shù)F(jΩ)在s平面虛軸s=jΩ上解析，表明了函數(shù)F(jΩ)在s平面虛軸s=jΩ上處處可導(dǎo)，并且函數(shù)F(jΩ)的導(dǎo)函數(shù)滿足。因此，函數(shù)F(jΩ)在s平面虛軸s=jΩ上解析，意味著s平面上的虛軸s=jΩ應(yīng)位于F(s)的收斂域α＜σ＜β之內(nèi)，即α及β應(yīng)滿足α＜0＜β，當(dāng)然可以直接將jΩ換成s，即：

當(dāng)獲得F(s)后，其收斂域，可用一個(gè)與虛軸重合，但能左右移動(dòng)的直線搜索決定：往左碰到F(s)的第一個(gè)極點(diǎn)，就是收斂域的左邊界σ=α，往右碰到F(s)的第一個(gè)極點(diǎn)，就是收斂域的右邊界σ=β。

2.2 若F(jΩ)在s 平面虛軸s=jΩ 上不解析

因?yàn)楹瘮?shù)F(jΩ)在s平面虛軸s=jΩ上 不 解析，所以虛軸s=jΩ應(yīng)在F(s)的收斂域之外，不能直接將jΩ換成s。雙邊拉普拉斯變換F(s)有可能不存在，也可能存在，即使存在，虛軸s=jΩ將會(huì)是收斂域的邊界，F(xiàn)(s)的收斂域可能形式為0＜σ＜β或α＜σ＜0。否則，連F(jΩ)都不存在。

首先通過部分分式展開，將F(jΩ)分成在s平面虛軸s=jΩ上解析的F3(jΩ)及在s平面虛軸s=jΩ上不解析的F4(jΩ)兩部分，再進(jìn)行分析和研究，即：

（1）若s平面虛軸s=jΩ上不解析的部分F4(jΩ)是由沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成

①當(dāng)s平面虛軸s=jΩ上不解析的部分F4(jΩ)具有式（19）的形式時(shí)，則有：

②當(dāng)s平面虛軸s=jΩ上不解析的部分F4(jΩ)具有式（22）的形式時(shí)，則有：

（2）若F(jΩ)僅存在s平面虛軸s=jΩ上不解析的部分，即F(jΩ)=F4(jΩ)，則F(s)不存在。

結(jié)論2：

由于直流信號(hào)、無(wú)時(shí)限復(fù)指數(shù)信號(hào)、周期信號(hào)、符號(hào)函數(shù)、San(Ωct)信號(hào)（其中，n為正整數(shù)）的傅里葉變換F(jΩ)，僅存在s平面虛軸s=jΩ上不解析的部分，即F(jΩ)=F4(jΩ)，因此，這些信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換F(s)不存在。

3 應(yīng)用舉例

例3.1 已知信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換為：

試求傅里葉變換F(jΩ)。

利用式（5）計(jì)算F(s)部分分式展開式中，區(qū)左單極點(diǎn)si(i=0，±1，±2，…)的系數(shù)Ai(i=0，±1，±2，…)，可得：

利用式（11）計(jì)算F(s)部分分式展開式中，區(qū)左n(n=4)重極點(diǎn)sl=0 的系數(shù)Bk(k=1，2，3，4)，即：

考慮到式（35），則有：

由式（34）可知，系數(shù)Ai(i=0，±1，±2，…)的下標(biāo)取值范圍為i=0，±1，±2，…，因此，需要對(duì)式（19）中的系數(shù)Ai(i=1，2，…，p1)的下標(biāo)取值范圍加以修正，即：

將式（33），系數(shù)Ai(i=0，±1，±2，…)、系數(shù)Bi(i=1，2，3，4) 及n=4 代入式（40），可得：

例3.2 已知信號(hào)f(t)的拉普拉斯變換為：

試求傅里葉變換F(jΩ)。

解 在式（42）中，令(s2+1)(s2+4)2=0，得到F(s)的區(qū)右單極點(diǎn)s1=j，s2=-j 和區(qū)右n(n=2) 重極點(diǎn)sr=2j，sk=-2j。

利用式（23）計(jì)算F(s)部分分式展開式中，區(qū)右單極點(diǎn)se(e=1，2)的系數(shù)Ae(e=1，2)，可得：

利用式（24）計(jì)算F(s)部分分式展開式中，區(qū)右n(n=2) 重極點(diǎn)sr=2j 的系數(shù)Bm(m=1，2)，即：

利用式（24）計(jì)算F(s)部分分式展開式中，區(qū)右n(n=2)重極點(diǎn)sk=jΩk=-2j 的系數(shù)Cm(m=1，2)，即：

考慮到式（48），則有：

考慮到sr=2j 和sk=-2j 均為F(s)的區(qū)右n(n=2) 重極點(diǎn)，對(duì)式（22）加以修正，則有：

將式（42），系數(shù)Ae(e=1，2)、系數(shù)Bm(m=1，2) 和系數(shù)Cm(m=1，2) 代入式（51），可得：

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于分解的基本思路，將虛軸上具有重極點(diǎn)的LT 分解成虛軸上含極點(diǎn)和不含極點(diǎn)兩部分之和，針對(duì)虛軸上含極點(diǎn)的LT 部分，分區(qū)左極點(diǎn)和區(qū)右極點(diǎn)兩種情況，進(jìn)行了深入研究，揭示了虛軸上僅存在區(qū)左重極點(diǎn)的因果信號(hào)的頻譜計(jì)算公式；將信號(hào)的CTFT 分解成解析部分與不解析部分之和，對(duì)其不解析部分進(jìn)行了詳細(xì)討論。不僅解決了虛軸上具有重極點(diǎn)的LT 與CTFT 的相互計(jì)算問題，而且還得到了一些有益的結(jié)論。