溫克爾地基對簡支梁后屈曲行為的影響

陳 偉 年

(甘肅省武威市涼州區西關小學，甘肅 武威 733000)

0 引言

溫克爾模型是捷克工程師Winkler于1867年在計算鐵路路軌時提出的一個地基模型。該地基模型的特點是把土體視為由一些彼此獨立的彈簧組成，其變形具有彈簧變形的特點。

梁、板結構的穩定性問題作為建筑結構領域的基本問題之一,其力學行為一直受到學者和科技工作者的重視[1-4]。溫克爾地基梁是工程中的一種常見結構，研究彈性地基梁的問題具有現實的工程背景。楊學祥[5]研究了溫克爾彈性地基懸臂梁在均布橫向壓力下的非線性彎曲問題。文獻[6]根據疊加原理給出了任意分布載荷作用在溫克爾地基梁的沉降以及彎矩等分布計算方法。文獻[7]分析了溫克爾地基懸臂梁在均布載荷作用下的非線性彎曲問題。張曉玲[8]介紹了基于Winkler地基模型和Boussinesq地基模型彈性地基梁的一些計算方法,指出彈性地基梁的理論分析和計算方法的重要性。

由上述文獻知，溫克爾地基對梁彎曲行為的研究較多，而對梁后屈曲行為的影響研究比較有限。因此，本文研究溫克爾彈性地基對簡支梁后屈曲行為的影響問題。建立溫克爾地基簡支梁后屈曲問題的控制微分方程，采用打靶法[8]技術數值求解，分析不同地基系數對梁后屈曲行為的影響。

1 數學模型

考慮圖1a)所示，放置在溫克爾地基上的長為l，寬為b，高為h的矩形截面簡支梁，受均勻分布荷載q作用，梁的變形示意圖見圖1b)。

溫克爾地基模型通常表述為任意點壓力強度與變形成正比:

p=kw

(1)

其中,k為地基剛度系數。

1.1 非線性幾何方程

(2)

(3)

(4)

其中，x為變形前梁軸線上任意物質點的坐標;u為物質點在軸線方向的位移;w為物質點在橫向方向的位移;θ為梁變形以后沿軸線切線與x軸正向的夾角;R為軸線的伸長率。

1.2 物理方程

N=Ebh(R-1)

(5)

(6)

1.3 平衡方程

(7)

其中,P1,P2分別為橫截面內沿x和y方向的內力分量;P3為彎矩。

軸線伸長率為:

R=1-(P1cosθ+P2sinθ)/Ebh

(8)

2 無量綱控制方程和邊界條件

引入如下無量綱量變換：

(X,S,U,W)=(x,s,u,w)/l，K=12kl4/Ebh3；

(H,V,M)=12l(P1l,P2l,P3)/Ebh3。

將其代入公式，可得到以下無量綱控制方程：

(9)

相應的無量綱邊界條件為:

S(0)=W(0)=H(0)=0

(10)

U(1)=W(1)=M(0)=0

(11)

3 數值計算與討論

采用數值計算方法打靶法求解。打靶法的具體實施過程可參考文獻[9]。

圖2～圖5分別給出了不同彈性地基系數K下，無量綱臨界載荷Q和左端轉角、水平位移、鉛垂內力以及右端彎矩之間的關系曲線。從圖中不難發現，隨著K的增加，梁發生屈曲的臨界載荷隨著增加，說明彈性地基可以提高梁的穩定性，這是因為增加彈性地基，相當于增加了梁的約束。由圖2～圖5知，后屈曲變形過程中，隨著載荷的增加，變形也開始增加，增加到某一極值后變形開始減小。

從圖2可以看出，左端轉角小于120°時，隨K增加，變形增加，超過120°時，隨K增加，變形卻減小。

4 結語

研究了分布壓力下，溫克爾地基簡支梁的后屈曲問題。研究結果表明:

1)隨著彈性地基系數的增加，梁的臨界載荷增加。

2)屈曲后，一個載荷對應兩個平衡路徑不說明，平衡路徑不是載荷的單調函數和單值函數。