考慮線性傭金率和保留價的拍賣模型

●楊衛星

經典的拍賣理論研究中，保留價受到了足夠的重視①②③。代表性的結論如下：Samulson①給出了一級價格密封拍賣中賣者的最優保留價滿足的必要條件。McAfee②用更簡便的方法得到了與Samulson①相同的結論，而且給出了最優保留價應該滿足的充分條件。

相比保留價的研究，拍賣傭金的研究成果并不多。與文章密切相關的文獻評述如下：王彥④把傭金率引入傳統的一級和二級密封式拍賣中，研究了傭金率對拍賣結果的影響,但他們只考慮了常數傭金率的情況。Wang⑤引進了線性傭金率，并與文獻④中傭金率為固定比例的情況做了對比。美中不足的是，文獻⑤中只對均勻分布的特殊情形做了證明。楊衛星等⑥在文獻⑤的基礎上繼續研究帶有線性傭金率的拍賣模型，給出并證明了一般分布下的一級和二級密封式拍賣的投標策略，彌補了文獻⑤的不足。

以上的文獻④⑤⑥雖然充分重視了傭金的作用，但是又忽略了保留價的影響。劉樹林等⑦進一步將傭金率內生化，研究了一類同時帶有保留價和傭金率的密封式拍賣模型，首次考慮了拍賣行的最優傭金率問題，并且給出了最優傭金率滿足的必要條件和充分條件。冉茂盛等⑧建立了帶有傭金率以及保留價的一口價拍賣模型，研究了賣者的最優一口價和最優保留價，并且討論了拍賣行的最優傭金率問題。

通過以上的文獻綜述發現，一個好的拍賣模型應該同時考慮傭金率和保留價這兩個因素，才能更加貼合實際。文章在前人的研究基礎上，假設收取的傭金與成交價成線性關系，研究同時帶有線性傭金率和保留價的密封拍賣模型。在估值服從一般分布時，得到了投標人的均衡投標策略，并求出投標人、賣者以及拍賣行的預期收益。進一步分析線性傭金率的兩個系數對拍賣參與各方的影響。

一、模型及假設

假設投標者i 對賣品的估價為νi，νi獨立同分布，分布函數為F（ν）,ν∈[ν,]。

本模型中，拍賣行設定線性傭金率k=k0- k1b，其中k1＞0，b≥0，b 為報價，0≤k≤k0，k0表示法規允許的最大傭金率。賣方設定保留價r,保留價的設定使得拍品的成交價不低于r，因此，對于參與和不參與拍賣無差別的最低估價v·滿足π（ν*，b（ν*））=0（其中π（ν，b） 表示受益函數），即：ν*- b（ν*）（1+k0- k1b（ν*））=0，可以得到ν*=r（1+k0- k1r）。

二、投標人的投標策略

（一）一級價格密閉式拍賣

定理1：在同時帶有線性傭金率k=k0- k1b 和保留價r 的拍賣模型中(以下簡稱本模型),若采用一級價格密封式拍賣的方式,均衡報價策略為：

證明：假設投標人有遞增的均衡投標函數b1（ν），當某投標人的私人估價為ν 而報價為A 時，他的預期收益是：

在貝葉斯- 納什均衡中，當A=b1（ν）時投標者獲得最大的預期收益，因此有由包絡定理可以得到：

把微分方程(3)兩邊同時求積分得：

又因為π（ν，，b1（ν，））=0，以及

令B=（ν）=（1+k0-k1b1（ν））b1（ν），由上面兩式(4)和(5)可解出：

其中B（ν）和Samulson[1]的結論一致，即和只考慮保留價，不考慮傭金時的投標策略一致。進而有（1+k0）b1（ν）-k1b12（ν）=B以及

當△=（1+k0）2-4k1B（ν）≥0 時，即（1+k0）2≥4k1B（ν）時，方程（7）的解為

得到下面的推論1 。

推論1：在本模型中，截距項k0越小，投標人報價越高；斜率項k1越小，投標人報價越低；保留價r 與報價呈正相關關系。

（二）二級價格密閉式拍賣

定理2：在本模型中，若采用二級價格密封式拍賣，均衡報價策略為：

證明：類似王彥等人④的證明。

三、收益比較

（一）賣方的收益比較

定理3：收益等價定理在本模型中不成立，如果投標人數比較多，應該選擇第二價格拍賣。

證明：賣者在一價拍賣中的預期收益為：

其中ν[1，n]表示ν1，ν2，……νn中的最高次序統計量，f1,n（ν）為ν[1，n]的密度函數。

賣者在二價拍賣中的預期收益為：

其中ν[2,n]為ν1,ν2,…νn中的次高次序統計量，f2，n（ν）為ν[2,n]的密度函數。

下面做比較靜態分析，前面的討論已經得出：得到下面的推論2。

推論2：在一價和二價拍賣模型中，賣方的預期收益和保留價r 正相關，和k0負相關，但和k1正相關。

（二）拍賣行的收益比較

定理4：本模型與不考慮傭金時的情形相比較，賣方的預期收益減少，減少的部分是拍賣行的預期收益。

證明：在一價拍賣中，拍賣行的預期收益為：

同理，在二級價格密封式拍賣中，拍賣行的預期收益為：

下面做比較靜態分析，同樣因為

得到下面的推論3。

推論3：在一級和二級價格密封式拍賣中，拍賣行的預期收益和k0正相關，但和k1負相關。

（三）投標人的收益比較

定理5：在本模型中，就一級和二級密封式拍賣兩種方式相比較，投標人在一級拍賣中獲得更多的預期收益；二者均和k0成反比，和k1成正比，和r 也成反比。

證明：可以求出，在一級價格拍賣中，投標人的預期收益是：

（21）從（20）式得到，π1與ν*成反比，所以，π1和r 成反比，和k0成反比，和k1成正比。

四、結論

文章考慮了一類帶有線性傭金率k=k0-k1b 和保留價r 的拍賣模型。主要結論如下：

（1）收益等價定理在本模型中不成立，如果投標人數比較多，應該選擇第二價格拍賣。賣者的預期收益和傭金系數k0負相關，但和k1正相關，和保留價r 也正相關。

（2）本模型與不考慮傭金時的情形相比較，賣者的預期收益變少了，而且,減少的部分是拍賣行的預期收益。拍賣行的預期收益和k0正相關，但和k1負相關。

（3）在本模型中，投標人在一級價格拍賣中獲得更多的預期收益；二者均和k0成反比，和k1成正比，和r 成反比。

注釋：

①Riley J G, Samuelson W F. Optimal auctions[J].American Economic Review, 1981, (3): 381- 392

②McAfee R P, McMillan J. Auctions and bidding [J]. Journal of Economic Literature, 1987, (2): 699- 738

③McAfee R P, McMillan J. Bidding rings [J]. American Economic Review, 1992, (3):579- 599

④王彥,畢志偉,李楚霖.傭金收取對拍賣結果的影響[J].管理科學學報,2004,(4):44- 48

⑤Wang Y, Commission strategy of the auction house[J]. Wuhan University Journal of Natural Sciences, 2006,(11):507- 510

⑥楊衛星，劉樹林.帶有線性傭金率的密閉式拍賣模型研究[J].統計與決策，2011(13):35- 38

⑦劉樹林，楊衛星.第一價格密封拍賣中的最優保留價和最優傭金率研究[J].經濟研究，2011,(11):145- 156

⑧冉茂盛，黃俊，李文洲.考慮傭金率的一口價拍賣模型[J].系統工程理論與實踐，2016,(9):2276- 2283