一類具有飽和發生率和恢復率的生態流行病模型

馮宇星，雒志學，胡永亮，梁麗宇

(蘭州交通大學 數理學院，蘭州 730070)

1 模型的建立

建立具有飽和發生率、恢復率和HollingⅡ功能反應函數的生態流行病模型：

(1)

其中：S表示易感食餌；I表示染病食餌；Y表示捕食者；r表示內稟增長率；k表示環境容納量；β表示傳染率系數；α是抑制系數；γ表示庇護系數；c1,c2分別表示捕食者對染病食餌和易感食餌的捕食率系數；d1,d2分別表示染病食餌和捕食者的死亡率；δ表示染病食餌的恢復率；e(0

2 系統解的有界性

證明：定義函數N(t)

N(t)=S(t)+I(t)+Y(t).

該方程沿系統(1)的解關于時間t的導數是

即:

由于

0d2,

故

定義方程

當t>T時，由比較定理得

3 平衡點的存在性和穩定性

通過解下面方程組：

易求得系統(1)有以下平衡點：

定理3.1系統(1)的零平衡點E0不穩定.

證明：系統(1)的線性化系統在點E0處的Jaccobi矩陣為

對于零平衡點E0，其Jaccobi矩陣的特征方程為

(λ-r)(λ+d1+δ)(λ+d2)=0.

顯然，該特征方程存在兩個負實根和一個正實根，故E0是一個鞍點，且不穩定.

證明：系統(1)的線性化系統在邊界平衡點EK處的Jaccobi矩陣為

對于邊界平衡點EK，其Jaccobi矩陣的特征方程為

由此可得特征根為

當R0<1，R1<1時，邊界平衡點EK將局部漸近穩定，而當R0>1或R1>1時，邊界平衡點EK不穩定.

定理3.3當R0<1，R1<1時，邊界平衡點EK全局漸近穩定.

證明：構造Liapunov函數V=eI+Y沿著系統(1)的軌線關于t求導得

且系統(1)在E中存在最大的不變集M=E={I=0,Y=0}再由LaSalle不變集原理可知，對于系統(1)的一切解均有

證明：模型(1)的線性化系統在點E*處的Jaccobi矩陣為

對于無病平衡點E*，其Jaccobi矩陣的特征方程為

證明：構造Liapunov函數V=I沿著系統(1)的軌線關于t求導得

(2)

令t=(m+(1-γ)S)τ，則系統(2)化為

取Dulac函數B(S,Y)=S-1Yn-1，則有

現在只需要證明存在實數n，使得φ(S,n)≤0即Δ<0，即

再令

(λ-a33)(λ2-(a11+a22)λ+a11a22-a12a21)=0,

下面證明該平衡點的全局漸進穩定性.

構造Liapunov函數V=Y沿著系統(1)的軌線關于t求導得

(3)

則

4 系統的一致續存

證明：考慮平均Liapunov函數V(S,I,Y)=Sα1Iα2Yα3(α1,α2,α3>0)則