正、余弦函數概念教學反思與重構

程仕然

[摘要]從數學核心素養視角對正、余弦函數概念課堂教學存在的問題進行反思與重構，并給出正、余弦函數概念教學的有效策略。

[關鍵詞]正弦函數;余弦函數;課堂教學;反思;重構

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）05-0004-02

正、余弦函數是解決“按一定規律周而復始”問題的重要函數模型，它們是基本初等函數，它們上承函數，下啟三角，外聯向量、解析幾何等內容，對學生構建三角函數體系，發展函數思想，形成初步的幾何（三角形）問題代數化（直角坐標系下變量關系）的解析幾何意識都有很大幫助，研究正、余弦函數概念教學策略具有很好的現實意義。

一、存在的問題

在本節內容的課堂教學中，常出現如下情形，

情形一：初、高中銜接不暢，教師對學生初中學習的內容和掌握程度不了解，對學生能力的預設偏高，學生也因為初中學習過銳角三角函數，從而對高中新概念的認識和學習缺少熱情和理性。

情形二：概念給出直白，缺少概念產生過程的建構，學生不能領會概念背后蘊含的數學思想，發揮不出本節概念的核心和根基作用。

情形三：缺少數學文化的滲透，概念一帶而過，大部分課堂時間用在講解例題和練習上。

情形四：個別教師對正、余弦函數概念本身理解有偏差，對正、余弦都是角理的函數理解和表述不清。

高質量的數學課堂教學，需要我們在核心素養視角下，以概念的有效教學為突破口，在反思中研究，在重構中升華課堂教學。

二、數學核心素養視角下課程目標分析

1.數學建模，發現和提出問題

從“周而復始”的生活現象抽象出“圓周上一點的運動”這一簡單數學模型，是進行數學建模的最好契機，提出點與角之間關系的數學問題，能夠讓學生感悟到數學與現實的關聯，學會用數學的眼光觀察世界。

2.邏輯推理與直觀想象，分析問題

從初中的直角三角形邊的比定義的三角函數，類比出高中坐標系上坐標比的銳角三角函數定義，再推廣到一般的三角函數，這是通過數學運算從特殊到一般的推理，是邏輯推理的體現，通過直觀想象，建立了形（終邊上點P（x，y））與數（角α的正弦函數、余弦函數）間的聯系。

3.數據分析、數學運算、數學抽象，解決問題

在整個概念形成的過程中，從角α的“直角三角形中邊的比，坐標系中的坐標比”的圖形問題到角α的“正弦、余弦”數量問題，從數量（正弦，余弦）到數量（正弦函數，余弦函數）抽象出正、余弦函數的數學概念，始終貫穿著數學抽象，從銳角三角函數到任意角的三角函數，從直角三角形中“邊的比”研究三角函數到坐標系下任意角的終邊上點的“坐標比”，一步步抽象出任意角的三角函數概念，這是從特殊到一般的思考問題的方式，是培養學生把握事物本質，運用數學抽象思維方式思考并解決問題的有效途徑，也是提高學生分析問題和解決問題的能力。

三、反思與重構

1.精準對接，從“角度變量說”過渡到“實數對應說”

表1是蘇教版教材（義務教育教科書數學八年級上冊、九年級下冊，普通高中課程標準實驗教科書數學必修1、必修4）該節相關內容的初、高中呈現形式，

2.問題驅動，從數學建模角度重塑正、余弦函數概念

初中的三角函數是解決氣球有多高、壩底有多寬等平面幾何問題，以直角三角形的銳角（角度制）為自變量的函數模型，這些初中學習的知識，是學習高中知識的基礎，但也使得多數師生對高中新學習的內容重視不夠，對新概念的認識缺少研究的熱情和建模的理性。

從學生的生活經驗出發，提出問題：自然界中有許多“按一定規律周而復始”的現象……一個簡單又基本的例子便是“圓周上一點的運動”……用（r，a）與用坐標（x，y）均可表示圓周上點……用怎樣的數學模型刻畫（x，y）與（r，a）之間的關系？從“周而復始”的生活現象抽象出“圓周上一點的運動”這一簡單數學模型，提出點與角之間關系的數學問題，進一步研究正、余弦函數是以弧度制下任意角（實數）與正、余弦值對應的函數，建立解決“按一定規律周而復始”問題的函數模型——正、余弦函數。

3.文化滲透，從概念產生的歷史中尋找研究模型的思路和方法

三角函數的發展有著漫長的歷史，最初是以幾何形式表現出來的，只是靜態地研究三角形問題，后來，歐拉把三角函數定義為一種函數線與圓半徑的比值，再令圓的半徑為單位長度后，三角函數可以簡化為一種與角相對應的函數值，他把三角量看作為函數，使得三角學進入現代時代。

三角學相關概念的產生和完善過程恰好符合學習者的認知規律，正好解決了學生從初中注重“幾何形式”的銳角三角函數問題升級到注重“代數形式”的任意角三角函數問題，重塑概念產生歷程，適當地滲透相應的數學文化知識，讓學生知其然又知其所以然，會讓學生找到知識的生發點，為新知識的學習和研究提供思路和方向，為概念的抽象搭建舞臺，提高學生的學習興趣和欲望。

4.適時簡化，從模型中抽象出函數概念及數學符號表示形式

綜上，正、余弦函數概念的有效課堂教學策略：建模激趣，文化滲透，精準對接，適時簡化，重視抽象，重塑概念產生歷程，在概念構建過程中培養和發展學生數學學科素養。