變式教學:從面積法到體積法

(重慶三峽學院，智能信息處理與控制重慶高校市級重點實驗室 重慶 萬州 404100；重慶三峽學院，物聯(lián)網(wǎng)與智能控制技術重慶市工程研究中心 重慶 萬州 404100)

一、前言

華人的數(shù)學學習給人的印象是，缺乏主動性，主要靠記憶、模仿和刻意練習、題海戰(zhàn)術。然而，在國際數(shù)學教育測試PISA中，華人地區(qū)的學生的數(shù)學成績卻十分優(yōu)異。這個現(xiàn)象被稱為“中國學習者悖論”。國際研究者總結華人地區(qū)數(shù)學教育的優(yōu)勢時，提出了變式教學理論。1981年，顧泠沅系統(tǒng)綜合了變式教學的概念，形成了概念性變式和過程性變式的變式教學理論。以面積法和體積法為研究對象，從過程性變式的角度來解釋，兩種方法的變式教學過程以及學習心理優(yōu)勢，希望得到一定的借鑒和交流，促進教學改革水平的提升。

二、過程性變式

過程性變式是在數(shù)學教學活動中，按照層次有序推進。我們知道，數(shù)學教學活動中有兩種知識，一種是陳述性知識(概念)，還有一種是程序性知識(過程)。由于程序性知識是動態(tài)的，涉及到學習問題解決和元認知策略，掌握起來比較困難。然而，數(shù)學活動過程一般是具有層次性的，它包含為解決問題而采用的一系列不同步驟和策略，采用過程性變式，可以促進概念的形成、問題解決的鋪墊、構建數(shù)學經(jīng)驗體系[1]。

三、面積法

面積法這個概念是需要通過一系列的過程促進發(fā)展形成的，教師可以從過程性變式來建立面積法的概念。

原 題

已知等腰三角形ΔABC的高AD,從點D分別作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求證：DE=DF。

解法分析

用三角形全等也可以證明，假如能夠發(fā)現(xiàn)等腰的高分等腰三角形為兩個面積相等的直角三角形。DE,DF分別是這兩個直角三角形斜邊上的高，根據(jù)面積法，可證明。

DE=DF。

變式1

已知等邊三角形ΔABC內(nèi)有一點P,從P點分別向AB,BC,CA作垂線，垂足分別為D,E,F,求證：PD+PE+PF為定值。

解題分析

h1+h2+h3=h(定值)

理論層面，現(xiàn)有研究對國際輿論態(tài)勢的基本判斷仍是“英語霸權”“西強東弱”。國際傳播的信息流亦呈現(xiàn)從西向東、由北到南、從發(fā)達國家流向發(fā)展中國家的狀態(tài)。[11]在“一帶一路”背景下，在國際輿論的話語實踐中，中國需要調(diào)整以往在國際傳播中的邊緣心態(tài)，增強主動傳播的意識，從被動的對媒介帝國主義的抵抗，轉向積極地具有傳播主體意識的議題建構，[12]從而形成“融通中外的話語體系”。培養(yǎng)合作傳播思維，通過媒介合作共同打造話語空間，與周邊國家和發(fā)展中國家構建話語共同體。未來的國際傳播格局同樣需要合作、融合、共贏的思維。相應地，未來的研究應關注如何通過媒介合作提高我國在國際傳播中的主體地位問題。

變式2

已知等邊三角形ΔABC，邊長為a，求內(nèi)切圓的半徑r。

解題分析

變式3

已知直角ΔABC的兩個直角邊長為a,b,求它的內(nèi)切圓的半徑。

解題分析

四、體積法

已知四面體S-ABC,SA=SB=SC,底面ΔABC為等邊三角形，求證：ΔABC的中心O到三個側面的距離相等。

解題分析

從體積法的角度理解，可以發(fā)現(xiàn)這個四面體的對稱性,可以做輔助線，將四面體分解為三個體積相等的四面體，即可證明結論。

變式1

已知正四面體S-ABC，各邊長分別為a，內(nèi)部有一點P,到每個面的距離分別為h1,h2,h3,h4，求證：h1+h2+h3+h4為定值。

解題分析

h1+h2+h3+h4=h(定值)

變式2

已知四面體S-ABC，SA，SB，SC兩兩相互垂直且長度相等為a，求頂點S到底面三角形ABC的距離。

解題分析

變式3

已知四面體S-ABC，SA，SB，SC兩兩相互垂直且長度相等為a，求這個四面體的內(nèi)切球的半徑。

解題分析

五、教后反思：變式教學的解釋

教師實施變式教學，設計過程性變式。從一系列變式1,2,3，可以讓學生理解到數(shù)學問題解決的一個基本思路，把沒有解決的問題轉化為已經(jīng)解決的問題，逐步化規(guī)設置路徑。設計過程性變式的目的是增加活動的多樣性以及活動的層次性。這些變式就形成了一個劃歸或探索的步驟和策略，這與教學策略中的“腳手架理論”不謀而合，這些變式就形成了學習者的一個經(jīng)驗策略系統(tǒng)，成為學習心理優(yōu)勢的一個重要部分[1]。雖然沒有定義面積法、體積法，過程性變式的教學策略使得學生產(chǎn)生了有意義的學習，幫助學生建立了知識之間的聯(lián)系，促進了學生的身心和能力的發(fā)展[1]。教師作為一個反思型實踐者，可以在日常的教學去設計變式教學的案例，促進學生數(shù)學學習[2，3]。