一類半線性拋物方程解的初值問題研究

陸求賜 張宋傳 王學彬

(武夷學院 a.人文與教師教育學院；b.數計學院，福建 武夷山 354300)

半線性拋物方程其解可用于描述解釋一些自然現象：如質量擴散、能量傳輸、大氣流動等。Kaplan[1]，Fujita[2]開創性工作之后，很多的數學學者開始對半線性拋物方程解的爆破現象、解的整體存在性以及熄滅性等方面的性質進行了大量的研究并得到了大量成果。受Fujita、Kaplan等研究工作的啟發，考慮如下半線性拋物方程的初邊值問題：

1 預備知識

為了下文需要，這里需要先介紹幾個函數空間，還有爆破的定義和一個嵌入定理與一個不等式。

由以上幾個空間的定義，可以得到如下嵌入定理：

嵌入定理(Sobolev嵌入定理)：

格林公式利用分部積分很容易推導出。

2 解的存在性與爆破

結合上面幾個空間的定義與解的爆破定義，本部分證明方程(1)在一定條件下，其解在有限時刻爆破。

3 解的漸進狀態

解的漸進狀態是指當時間項t時解的變化狀態，解的漸進性態一般與非線性項f(u)的形式有關。下面研究一下當方程(1)滿足一定條件時其解的漸進行為。

4 結語

處理半線性拋物方程常見的方法有上下解方法、能量方法、凸性方法等。本文主要借助能量方法和格林公式等處理了一類半線性拋物方程解的爆破性質和漸進性質。