探究高中數學中利用導函數解答單調性問題的技巧

◇ 廣西 農 燕

從近幾年高考數學全國卷來看,導數解答題主要考查導數在研究函數性質中的應用,涉及知識點有單調性、極值、最值、零點、不等式等．函數的單調性是研究其他性質的基礎,能準確地討論一個新函數的單調性是學生得分的關鍵,因此本文以導函數為例,探討導函數問題的解答技巧．

1 思維導圖在規范答題中的應用

導數解答題一般以考查函數單調性為基礎,拓展考查其他性質．在做導數解答題時,學生常常感覺會做但是得分不高,主要原因是高考中的導數題常常含有參數,學生不知道怎樣討論參數,書寫的過程中涂涂擦擦,改了又改,這些就是沒有規范解題思路帶來的后果．

2 分層與例題解析

我們將訓練分為3個層次：

1)不含參數的函數單調性問題,這個訓練的主要目的是讓學生規范解題思路,為解決后面含參數的單調性問題打下基礎．

2)對含參數的三次函數單調性問題進行訓練．三次函數的導數是二次函數,多數高考題考查的函數在求導化簡后都可歸結為二次函數問題．因此熟練掌握三次函數的單調性問題是解決含參數單調性問題的本質所在．

3)高考真題訓練．這就要求學生不但會而且要規范解答．會而不對,令人惋惜；對而不全,得分不高．表述不規范、字跡不工整是造成高考中因非智力因素失分的一大原因．

例1求f(x)＝x2＋1－lnx的單調區間．

解析

函數的定義域為x∈(0,＋∞),f′(x)＝．令f(x)＝0,即2x2－1＝0,解得故易知當．時,(),f′x＜0函數單調遞減；當時,()f′x＞0,函數f(x)單調遞增．

綜上所述,函數f(x)在上單調遞減,在上單調遞增．

解析

很多學生求解原函數單調區間時會考慮求解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0,但是教材對求解高次分式不等式不作要求,因此很多學生不能正確求解．對于含有參數的函數單調性問題,在保持以上解答步驟不變的情況下要增加對參數的討論．

對導數f′(x)中參數a的討論往往考慮幾個方面：1)方程f′(x)＝0的根是否存在；2)比較根的大小；3)f′(x)＝0的根是否在定義域內；4)遇到導數為二次函數時,還要考慮二次函數圖象的開口方向．

例2已知a∈R,討論函數f(x)＝x2(x－a)在區間[0,2]上的單調性．

解析

f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a),f′(x)＝0,解得

當3≤a時．當x∈[0,2]時,f′(x)≤0,則f(x)在[0,2]上單調遞減．

當0＜a＜3時,當時,f′(x)≤0,函數f(x)在上單調遞減；當時,f′(x)≥0,函數f(x)在上單調遞增．

當a＝0時,則x1＝x2,當x∈[0,2]時,f′(x)≥0,則f(x)在[0,2]上單調遞增．

當a＜0時,x2＜x1≤0,當x∈[0,2]時,f′(x)≥0,則f(x)在[0,2]上單調遞增．

綜上所述,當a≤0時,則f(x)在區間[0,2]上單調遞增；當0＜a＜3時,函數在上單調遞減,在上單調遞增；當a≥3時,f(x)在[0,2]上單調遞減．

點評

學生遇到含參數問題時常常會出現考慮不全、分類討論的標準不清楚等現象．教師在講解時要注意兩點：1)求單調區間的過程要始終貫穿數形結合的思想,因為有圖象在心里學生才明白分類討論的含義；2)讓學生牢記分類討論的要點和討論的標準,這樣學生解題時才能完整地對參數進行討論．