核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)習(xí)題講評(píng)課教學(xué)中的滲透

上海市奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué) 顧 軍

高中數(shù)學(xué)試題講評(píng)課是不可缺少的一個(gè)重要教學(xué)活動(dòng)，是有效落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育途徑。教師通過(guò)學(xué)生的作業(yè)或測(cè)評(píng)，遴選出新穎、實(shí)用、典型的問(wèn)題進(jìn)行講評(píng)，對(duì)于高頻出錯(cuò)題應(yīng)該準(zhǔn)確去判斷問(wèn)題的根源，學(xué)生已經(jīng)具備基本解題能力，在講評(píng)中以此為基礎(chǔ)，參照層層推進(jìn)、步步為營(yíng)的原則，進(jìn)行有效的分析，使學(xué)科的認(rèn)知要求盡快并詳細(xì)落實(shí)到學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，從而使學(xué)生在學(xué)科學(xué)習(xí)中形成學(xué)習(xí)能力。習(xí)題講評(píng)課的宗旨在于對(duì)錯(cuò)誤問(wèn)題的剖析及反思，大力拓展學(xué)生的解題思路、綜合解題方法，對(duì)核心素養(yǎng)的逐步培育落地會(huì)起到積極的作用。

現(xiàn)階段，高中數(shù)學(xué)習(xí)題講評(píng)課所反映的較大弊端是教師在課上拼命講，就題論題，不會(huì)取舍，一節(jié)課內(nèi)一張?jiān)嚲頉](méi)講完，總感覺(jué)沒(méi)有完成教學(xué)任務(wù)。新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念和目標(biāo)就是改變滿堂灌的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與積極思考，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等能力。為此，如何“以小見(jiàn)大，就題拓展”，如何講出思路、凸顯出關(guān)鍵，如何舉一反三、觸類(lèi)旁通，成為值得研究解決的問(wèn)題。筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)歷舉數(shù)例加以說(shuō)明。

一、厘清思路，夯實(shí)通性通法

學(xué)生在解題時(shí)的首要任務(wù)是先確定考慮的方向，也就是找到思路。好比一艘行駛在大海里的船，只有定好方向才能順利到達(dá)。人可以睜開(kāi)眼走千步萬(wàn)步，但卻很難閉上眼走十步，未知和不習(xí)慣會(huì)導(dǎo)致我們?nèi)狈Π踩校瑑?nèi)心的顧慮總是引領(lǐng)我們必須按習(xí)慣的思維——通性通法來(lái)做、來(lái)思考。

試題中的題干涉及解題方法，是以課本中推導(dǎo)數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法為背景，學(xué)生對(duì)于知識(shí)的遷移、轉(zhuǎn)化能力有所欠缺，根本癥結(jié)在于學(xué)生沒(méi)有真正領(lǐng)會(huì)倒序相加法的實(shí)質(zhì)。

為了讓學(xué)生更好地掌握本題所考查的求和通法之一 ——倒序相加法，教師可提出拓展性問(wèn)題：

例2：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°。

通過(guò)以上3 個(gè)例題，可見(jiàn)倒序相加法不僅是數(shù)列求和的基本方法，而且可以在三角、函數(shù)等各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用，其應(yīng)用的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用“首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等”，然后構(gòu)造相應(yīng)的等式倒序相加后求得結(jié)果。

我們?cè)倩仡^看“倒序相加法”，它來(lái)源于課本，又高于課本，近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中都有課本的例題影子。因此，要掌握好課本中典型例題的解題思路，要改變學(xué)生復(fù)習(xí)“不讀書(shū)”的習(xí)慣，回歸書(shū)本并不只是就書(shū)上的例題重新演練，而更應(yīng)是體驗(yàn)其背后的思考問(wèn)題的思維方式方法。培養(yǎng)學(xué)生從理解的角度看待教材，從掌握的角度發(fā)散教材，從綜合的角度活用教材，深刻領(lǐng)會(huì)教材中重要的數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)質(zhì)，體會(huì)教材編寫(xiě)者選取這些典型例題的良苦用心。

二、詳講錯(cuò)因、明辨事物本質(zhì)

學(xué)生在解題時(shí)的狀態(tài)、思路等價(jià)于從題目中獲取相關(guān)條件與大腦記憶中等價(jià)類(lèi)型的習(xí)題結(jié)合，然后進(jìn)行匹配與生成的過(guò)程。習(xí)題講評(píng)中，在學(xué)生解題錯(cuò)誤的“重災(zāi)區(qū)”給予恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，以說(shuō)明產(chǎn)生錯(cuò)誤的根源，同時(shí)可效仿“兵教兵”講評(píng)模式，這樣興許能起到事半功倍的效果。

學(xué)生解題錯(cuò)誤的主要原因大致可分為以下3 種：

1.審題粗略致錯(cuò)

分析：其實(shí)這道題并不難，但大多數(shù)學(xué)生看完題目，馬上得出答案為-2＜a＜2。其考慮過(guò)程如下：

但事實(shí)恰恰相反。

我們還可以從圖像上清楚觀察：

根據(jù)函數(shù)我們可以清楚地看到它是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，所以我們畫(huà)了4 張圖，進(jìn)行比較分析。

圖（1）代表函數(shù)y=lgu。圖（2）（3）（4）代表函數(shù)u（x）=x2-ax+1 的三類(lèi)情況。

從這三張圖我們就可以判定同學(xué)之所以解錯(cuò)，只是反映出圖（3）這類(lèi)情況，而并沒(méi)有完全讀懂題目的條件“值域?yàn)镽”，也就意味著u＞0 也必須要求圖（2）（4）這兩種情況缺一不可。

這一題的出錯(cuò)原因主要是沒(méi)有正確理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與值域的要義。

有學(xué)生受了這一道習(xí)題的干擾：

認(rèn)為這一習(xí)題曾經(jīng)練習(xí)過(guò)，沒(méi)有認(rèn)真閱讀就解題，其實(shí)條件發(fā)生改變了，將“定義域?yàn)镽”變式為“值域?yàn)镽”，從而產(chǎn)生了錯(cuò)解。

教學(xué)反思：解題不完整、條件考慮不周全是常犯錯(cuò)的原因之一，是以某一局部條件的個(gè)別現(xiàn)象做出對(duì)全局的判斷，不懂得從多方位、多角度去尋找突破口。題組學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生由“厭學(xué)”變?yōu)椤耙獙W(xué)”，在學(xué)習(xí)中積極開(kāi)展對(duì)話與交流，學(xué)會(huì)接受、理解和恰當(dāng)反饋同伴的信息，調(diào)整和轉(zhuǎn)化自己的表現(xiàn)行為。

2.思考不嚴(yán)謹(jǐn)致錯(cuò)

∵直線與拋物線y2=x只有一個(gè)公共點(diǎn)，

看似很完美的解答，老師沒(méi)有急于下結(jié)論，而是稍微停留了片刻，提出另外一個(gè)問(wèn)題：“解析幾何的本質(zhì)是什么？”

馬上有同學(xué)談到“函數(shù)與圖像”，沒(méi)過(guò)幾分鐘，講臺(tái)下發(fā)出了質(zhì)疑聲：“解答不對(duì)，還有幾條直線。”

學(xué)生提出了兩種方案：

方案1：借助圖像發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。符合題意的直線應(yīng)該共有3 條。前面的解法中只提到了一條，遺漏了y=1，x=0 這兩條直線。

方案2：在方程中尋找破綻，重新考慮思維的嚴(yán)密性。

學(xué)生設(shè)定直線方程后，其實(shí)是已默認(rèn)直線斜率k的存在，從而也就忽略了直線斜率k不存在的時(shí)候，即直線為x=0，也就是y軸。

對(duì)于以上這樣精彩的教學(xué)片段，教師不能只停留在表面上為學(xué)生糾正錯(cuò)誤，應(yīng)該及時(shí)對(duì)于學(xué)生生成的案例將錯(cuò)“糾”錯(cuò)，因勢(shì)利導(dǎo)，來(lái)一個(gè)“順?biāo)浦邸保寣W(xué)生通過(guò)反復(fù)推敲，不斷探究，找出錯(cuò)誤之處，在此基礎(chǔ)上對(duì)于解析幾何中的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可以等價(jià)于交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)處理。今天見(jiàn)識(shí)了錯(cuò)誤的成因，明天才知正確的模樣。

教學(xué)反思：大部分學(xué)生基本掌握通過(guò)已知條件聯(lián)立直線與圓錐曲線方程的通法，利用Δ=0 這一條件求直線斜率，而學(xué)生往往忽略了已知點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系，在解答過(guò)程中，學(xué)生為了求出直線方程，設(shè)定了點(diǎn)斜式直線方程，點(diǎn)斜式直線方程的設(shè)定應(yīng)該先考慮直線斜率不存在時(shí)的分類(lèi)情況。在反思講解中可運(yùn)用直線的點(diǎn)法向式方程的設(shè)定，類(lèi)比兩者的優(yōu)劣勢(shì)，突顯方程各自的形式在實(shí)際解決問(wèn)題時(shí)給予學(xué)生的直觀想象，從而順利將知識(shí)建構(gòu)聯(lián)網(wǎng)，掌握、應(yīng)用。

3.忽視隱含條件致錯(cuò)

學(xué)生解法：由題意可得

教學(xué)反思：習(xí)題按“以錯(cuò)養(yǎng)錯(cuò)”這樣的方式去講評(píng)，可以讓學(xué)生找到錯(cuò)誤的源頭，從而追根“糾”源，激發(fā)出糾錯(cuò)的欲望，引導(dǎo)學(xué)生更注重直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等深層次的潛在能力，建立相應(yīng)解決這類(lèi)問(wèn)題的新途徑。

三、凝成綜合，梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

高考數(shù)學(xué)作為選拔性考試，注重考查學(xué)生能力。數(shù)學(xué)講評(píng)課中，不能忽視基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)回歸教材，運(yùn)用教材，細(xì)心體會(huì)課本上的定理、公式，其演繹的過(guò)程我們可以引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)角度綜合思考，仔細(xì)研究例題與習(xí)題間的內(nèi)在聯(lián)系，從而積累并總結(jié)出一類(lèi)問(wèn)題的解決通法，實(shí)現(xiàn)“點(diǎn)——線——面”的橫向聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)。若我們深入淺出地認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，簡(jiǎn)單淺顯的知識(shí)點(diǎn)、解題步驟便自然顯現(xiàn)，當(dāng)我將題目進(jìn)行剖析時(shí)，學(xué)生就能欣然接受，同時(shí)達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的效果，許多本來(lái)要復(fù)習(xí)的知識(shí)就可以連接成網(wǎng)絡(luò)狀。

分析：僅通過(guò)平面向量知識(shí)無(wú)法直接解決，綜合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線與圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離、不等式求解等知識(shí)點(diǎn)。

平面向量這一知識(shí)點(diǎn)在高考中的背景簡(jiǎn)單，但它涉及的板塊廣泛，包括三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、線性規(guī)劃等。通過(guò)數(shù)學(xué)習(xí)題講評(píng)課這個(gè)重要載體，除了讓學(xué)生建立基本數(shù)學(xué)模型、掌握解決一類(lèi)問(wèn)題的通性通法，還可嘗試模塊復(fù)習(xí)、微專(zhuān)題形式來(lái)進(jìn)行，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，讓學(xué)生初步具有成就感，在此基礎(chǔ)上逐步拓展。

數(shù)學(xué)習(xí)題講評(píng)課教學(xué)的目的并不是給學(xué)生演練試卷上一道又一道題的解法，也不囿于教給學(xué)生多種不同解法，而是要通過(guò)對(duì)不同習(xí)題的分析或者對(duì)同一道習(xí)題不同方法的探究，幫助學(xué)生形成各種觀念或意識(shí)。通過(guò)習(xí)題的講解去逐步有效落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思想去思考問(wèn)題，讓學(xué)生具備能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所必需的品格和關(guān)鍵能力，這個(gè)使命是當(dāng)下教育工作者不斷前進(jìn)的根本動(dòng)力。