通過(guò)數(shù)學(xué)模型分析大流行病的特征并建立預(yù)警方案

陳加英 鄧浩 龍杰

西華大學(xué)，四川 成都

摘 要 通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，找出對(duì)流行與大流行的定量條件，設(shè)計(jì)抽樣病毒檢測(cè)方案、分布預(yù)測(cè)模型和應(yīng)對(duì)方案。針對(duì)問(wèn)題一：把指數(shù)模型與SIR模型相結(jié)合，利用回歸思想，求出界定條件。針對(duì)問(wèn)題二：通過(guò)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)思想，給出了分布預(yù)測(cè)模型和應(yīng)對(duì)方案。針對(duì)問(wèn)題三：在問(wèn)題一模型和問(wèn)題模型二的基礎(chǔ)上，提出了防控建議和降低風(fēng)險(xiǎn)的方案。

關(guān)鍵詞 指數(shù)模型 SIR模型 回歸思想

中圖分類(lèi)號(hào)：R18 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-0745（2020）03-0029-04

1 問(wèn)題重述

問(wèn)題一建立數(shù)學(xué)模型，綜合考慮人口數(shù)、感染數(shù)量、病死人數(shù)、疫情持續(xù)時(shí)間、經(jīng)濟(jì)狀況、醫(yī)療條件、人口密度、防疫政策等因素，給出一個(gè)合理的界定“流行”（Epidemic）和“大流行”（Pandemic）病的定量條件。

問(wèn)題二考慮到無(wú)癥狀感染者具有一定的傳染性，且不容易發(fā)現(xiàn)，但全民進(jìn)行病毒檢測(cè)又成本太高，且時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，不利于復(fù)工復(fù)產(chǎn)，我們?cè)噲D尋找一種更為有效的方法來(lái)最大限度地降低無(wú)癥狀感染者的傳播風(fēng)險(xiǎn)，比如對(duì)一個(gè)地區(qū)進(jìn)行抽樣病毒檢測(cè)來(lái)評(píng)估該地區(qū)的無(wú)癥狀感染者的分布情況，再制定不同的隔離和檢測(cè)措施。請(qǐng)結(jié)合問(wèn)題一的模型，針對(duì)一兩個(gè)國(guó)家（或地區(qū)），給出切實(shí)可行的病毒檢測(cè)抽樣方案，并給出無(wú)癥狀感染者分布預(yù)測(cè)模型和針對(duì)相應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果的應(yīng)對(duì)方案。

問(wèn)題三給世界衛(wèi)生組織寫(xiě)一封信，闡述你的團(tuán)隊(duì)對(duì)于疫情情況的判斷，并給出一些防控建議和降低風(fēng)險(xiǎn)的思路。

2 問(wèn)題分析

2.1 問(wèn)題1的分析

（1）問(wèn)題1的實(shí)質(zhì)是結(jié)合各種人口指標(biāo)和治理水平來(lái)找到界定流行病與大流行病的相關(guān)定量條件以此來(lái)真實(shí)反映出病毒的傳播情況，并能夠?qū)τ谝咔榍闆r給出有效的量化指標(biāo)，使得疫情能在最佳時(shí)間得到良好的控制。為什么要找出這個(gè)量化指標(biāo)呢？首先是為了避免造成不必要的恐慌，因此必須在公布疫情定性標(biāo)準(zhǔn)前，需要對(duì)疫情的傳播范圍、傳播速率進(jìn)行合理的分析。其次量化指標(biāo)的建立有利于各個(gè)國(guó)家加強(qiáng)對(duì)本國(guó)的防護(hù)意識(shí)，以免疫情的控制大于某個(gè)給定的閾值，而發(fā)展到不可控或難控的階段。

（2）各影響因素之間的關(guān)系分析。總?cè)丝跀?shù)，其包含了：感染者、易感染者、排出者（因得病死亡或被治愈）。對(duì)于感染者的數(shù)量，在疫情初期，由于防疫意識(shí)沒(méi)有完全建立，防疫政策沒(méi)有迅速頒布，其會(huì)隨著疫情的持續(xù)時(shí)間迅速上升并達(dá)到一個(gè)峰值。“經(jīng)濟(jì)狀況、醫(yī)療條件、人口密度、防疫政策”這些因素從客觀來(lái)講共同決定了疫情的感染率，因此可利用現(xiàn)有的統(tǒng)計(jì)資料和回歸方程得出感染率的變化數(shù)據(jù)依次來(lái)找出最佳控制時(shí)間段。

（3）流行與大流行的分析。大流行是指某疾病的發(fā)病蔓延迅速，涉及地域廣，人口比例大，在短時(shí)間內(nèi)可以越過(guò)省界甚至洲界形成世界性流行疾病。因此我們?cè)诮缍ù罅餍泻土餍械亩織l件，可將以上因素作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，利用微分方程和相頻線的分析進(jìn)行進(jìn)一步判別。

3 模型假設(shè)

在病毒傳播期內(nèi)該地區(qū)不考慮人口的變化即總?cè)丝跀?shù)不變;得病后被治愈的人或身亡的人不影響病毒的感染率;假設(shè)初期，被感染人數(shù)隨疫情的發(fā)展成指數(shù)形式上升;處于潛伏期的患者在一定時(shí)間后會(huì)出現(xiàn)患病特征成為患病者;新冠肺炎對(duì)不同年齡組的感染率略有不同，對(duì)健康人的感染率一樣;問(wèn)題二的模型在問(wèn)題一的模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以問(wèn)題一的模型假設(shè)，問(wèn)題二的模型都滿足;以中國(guó)為研究國(guó)家，在疫情得到控制這段時(shí)間內(nèi)，某地感染者流向其他地區(qū)的比例不變，之后近似為與時(shí)間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系;無(wú)癥狀患者和所有的患者的傳染率是一樣的;境外輸入病歷人員的傳染率和國(guó)內(nèi)感染者傳染率相同;由于每天境外輸入人數(shù)沒(méi)有太多規(guī)律，每天境外輸入病歷人數(shù)按平均值計(jì)算;境外輸入病歷流向某地的比例也按總體數(shù)據(jù)計(jì)算;我國(guó)的境外輸入病歷是從2月26號(hào)開(kāi)始的，為了方便，我們以下計(jì)算都以2月26號(hào)為起點(diǎn)計(jì)算;各個(gè)省份日均治愈率相同。

4 定義與符號(hào)說(shuō)明

5 模型的建立與求解

5.1 問(wèn)題一的模型

以我國(guó)為例，從1月28號(hào)開(kāi)始，第一例病人出現(xiàn)到2月20達(dá)到了峰值，這里我們?nèi)=0.5960，來(lái)帶入i（t）=i0（1+K）?——①（n為t次方）進(jìn)行計(jì)算，算出累計(jì)的確診人數(shù)與實(shí)際的患者人數(shù)進(jìn)行比較如圖1所示。

從圖形中，我們可以看出從1月28日起到2月20日，前22天病人的累計(jì)數(shù)和我們所用的K=0.5960來(lái)代入的數(shù)學(xué)模型基本上是穩(wěn)合的，因此我們認(rèn)為i（t）=i0（1+K）?（n為t次方）是合理的。

在此基礎(chǔ)上因?yàn)樵谝咔槌跗谡叩念C布還未下達(dá)，人民對(duì)疫情的防范意識(shí)還不夠，因此使得疫情的傳播速率極其的快。而后期政府采取了有力的措施，人民的防患意識(shí)增強(qiáng)，疫情便會(huì)過(guò)渡到緩和，其感染率也會(huì)逐漸下降，這個(gè)時(shí)候確診人數(shù)會(huì)呈下降趨勢(shì)，然而一個(gè)新的問(wèn)題便出現(xiàn)了，那就是處于潛伏期的患者可能會(huì)造成二次波峰。因此我們采取微分方程的模型對(duì)該疫情做出更進(jìn)一部的分析。

在前一個(gè)模型的基礎(chǔ)上我們可以令出K=0.5960，u= 0.4，i（0）=0.001，s（0）=0.999，代入方程2利用matlab編程軟件得出“病人、康復(fù)者、處潛伏期的人”的變化情況。

若> ，則（）>0，因此i（t）會(huì)逐漸減少并趨近于0，若 ≤，則（）<0，也會(huì)逐漸減小直到，如圖示感染者與健康者的相關(guān)軌跡線可以看出，如果當(dāng)疫情持續(xù)了一定的時(shí)間后才開(kāi)始進(jìn)行整治的話，其便成為了一個(gè)閾值，當(dāng)易感染者的初使比例如果與相比，如果超過(guò)了那么產(chǎn)染病將會(huì)蔓延下去，此時(shí)已經(jīng)過(guò)了最佳的管控時(shí)間，需要付出更高力度去處理。因?yàn)樽畛蹩烧J(rèn)為健康者所占比例近似為=1。并且由作圖分析，假如當(dāng)>，隨著我們的衛(wèi)生水平的提高以及政府的管理制度的加強(qiáng)等……各種有利因素的介入我們可根據(jù)已確診病例累計(jì)進(jìn)行分析計(jì)算，得出感染率K是一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)，我們可以通過(guò)回歸方程法計(jì)算出K=7.1E13t6-4.2E10t5+8.1E08t4-1.2E05t3+0.0016t2-0.0391t+0.2525——⑥均方差R?≈0.7012。可知隨著時(shí)間的增加，傳染率K值為減少，因?yàn)棣?Ku，K與u成反比，因此日治愈率u會(huì)逐漸提高。最終疫情會(huì)得到控制。令H=K*u*——⑦[1]

但是如果K*u*的值>1，那么疫情將會(huì)持續(xù)下去，傳播范圍也就越來(lái)越大。因此可分析H隨時(shí)間的關(guān)系圖，最終確定疫情傳播范圍的廣泛程度。

5.2 問(wèn)題二的模型

5.2.1 模型建立

以中國(guó)為例，本國(guó)的感染者分為本地感染者和境外輸入病歷，而本地病歷最先在武漢發(fā)現(xiàn)。根據(jù)資料顯示，境外輸入病歷超過(guò)百分之七十在隔離期發(fā)現(xiàn)，固這部分人中最多只有百分之三十會(huì)流向國(guó)內(nèi)。

再根據(jù)資料，我們可以算出每天境外輸入病歷的平均人數(shù)a約=30，（從2月26日境外首次輸入病歷，至4月18日止計(jì)算結(jié)果，境外輸入總?cè)藬?shù)參考高校疫情防控平臺(tái)發(fā)布數(shù)據(jù)），由問(wèn)題1的模型得u約為0.02。當(dāng)k值取0.15時(shí)與問(wèn)題一模型得出的結(jié)果基本相同。當(dāng)j值取0.012時(shí)，得出的無(wú)癥狀感染者與實(shí)際無(wú)癥狀感染者數(shù)量基本相同，以此類(lèi)推，再計(jì)算出其他省份的無(wú)癥狀感染者人數(shù)。

5.2.2 與實(shí)際分布對(duì)比分析

模型得到的分布圖大題上與實(shí)際的數(shù)據(jù)分布圖相同，證明了該模型具有一定的預(yù)測(cè)能力，并可以預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間無(wú)癥狀感染者的數(shù)量走向，可以為決策者采取措施提供一些參考。

5.2.3 針對(duì)相應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果的應(yīng)對(duì)方案

政府要求發(fā)現(xiàn)無(wú)癥狀陽(yáng)性檢測(cè)者時(shí)，在2小時(shí)內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)報(bào)告，并進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)。各級(jí)疾控部門(mén)接到轄區(qū)內(nèi)無(wú)癥狀感染者報(bào)告時(shí)，要求按照新冠肺炎確診病例調(diào)查要求，24小時(shí)內(nèi)完成流行病學(xué)調(diào)查和密切接觸者判定，所有密切接觸者一律在所在地集中隔離醫(yī)學(xué)觀察14天，管理要求與確診病例密切接觸者相同。

同時(shí)，國(guó)內(nèi)限制出入境的條件。如醫(yī)務(wù)人員之類(lèi)的工作人員和取得通行證并報(bào)備的人員可以放行，其他無(wú)特殊情況不予以通行。對(duì)境外人員，持續(xù)開(kāi)展拉網(wǎng)式全面的摸底排查，在各個(gè)入境關(guān)道設(shè)置檢測(cè)點(diǎn)，對(duì)排查出的境外人員一律開(kāi)展核酸檢測(cè)。特殊的，加強(qiáng)對(duì)湖北入境人員的健康管理，對(duì)湖北人員統(tǒng)一納入社區(qū)管理，及時(shí)進(jìn)行核酸檢測(cè)。

政府要求發(fā)現(xiàn)無(wú)癥狀陽(yáng)性檢測(cè)者時(shí)，在2小時(shí)內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)報(bào)告，并進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)。各級(jí)疾控部門(mén)接到轄區(qū)內(nèi)無(wú)癥狀感染者報(bào)告時(shí)，要求按照新冠肺炎確診病例調(diào)查要求，24小時(shí)內(nèi)完成流行病學(xué)調(diào)查和密切接觸者判定，所有密切接觸者一律在所在地集中隔離醫(yī)學(xué)觀察14天，管理要求與確診病例密切接觸者相同。

同時(shí)，國(guó)內(nèi)限制出入境的條件。如醫(yī)務(wù)人員之類(lèi)的工作人員和取得通行證并報(bào)備的人員可以放行，其他無(wú)特殊情況不予以通行。對(duì)境外人員，持續(xù)開(kāi)展拉網(wǎng)式全面的摸底排查，在各個(gè)入境關(guān)道設(shè)置檢測(cè)點(diǎn)，對(duì)排查出的境外人員一律開(kāi)展核酸檢測(cè)。特殊的，加強(qiáng)對(duì)湖北入境人員的健康管理，對(duì)湖北人員統(tǒng)一納入社區(qū)管理，及時(shí)進(jìn)行核酸檢測(cè)。

6 結(jié)果分析

6.1 問(wèn)題一的結(jié)果以及模型檢驗(yàn)

新冠狀病毒在2020年1月中下旬開(kāi)始在我國(guó)爆發(fā)，之后在3月4號(hào)其它國(guó)家如美國(guó)、英國(guó)、意大利等地也出現(xiàn)了新冠患者，并瘋狂的增加，在4月1號(hào)達(dá)到了一個(gè)峰值，并后續(xù)在峰值上下波動(dòng)著。目前已累計(jì)確診215萬(wàn)人，現(xiàn)有確診人數(shù)還有151萬(wàn)人，死亡人數(shù)達(dá)到了49萬(wàn)人已經(jīng)遠(yuǎn)超2009年的新型流感所造成的危害。根有關(guān)部門(mén)的記錄，把疫情期間人流量的登記（并假設(shè)境外輸入病例算入一個(gè)國(guó)家最開(kāi)始的已有患病人數(shù)i0）。因此可利用SIR模型：

根據(jù)H=K*u*s0與1之比找出界定流行與大流行的定量條件。并可算出最佳的處理時(shí)間。通過(guò)計(jì)算出新冠病毒從2月17號(hào)（全球正式開(kāi)始嚴(yán)肅對(duì)待）開(kāi)始（計(jì)為0）也是外國(guó)病例的初有時(shí)期，傳染范圍指數(shù)在不同醫(yī)療情況、社會(huì)重視程度等……經(jīng)濟(jì)條件，隨時(shí)間的變化趨勢(shì)如下：與世界到達(dá)的到達(dá)時(shí)間基本相符，且擴(kuò)大范圍H超過(guò)了1，因此確立為大流行病，模型驗(yàn)證完畢。

6.2 問(wèn)題二的結(jié)果及模型分析

6.2.1 抽樣方案

（1）是對(duì)新型冠狀病毒肺炎病例的密切接觸者開(kāi)展醫(yī)學(xué)觀察期間的主動(dòng)檢測(cè);

（2）是在聚集性疫情調(diào)查中開(kāi)展的主動(dòng)檢測(cè);

（3）是在新型冠狀病毒肺炎病例的傳染源追蹤過(guò)程中對(duì)暴露人群主動(dòng)檢測(cè);

（4）是對(duì)部分有境內(nèi)外新型冠狀病毒肺炎病例持續(xù)傳播地區(qū)的旅行史和居住史人員開(kāi)展主動(dòng)檢測(cè)。

無(wú)癥狀感染者主要是來(lái)自于境外輸入病例，所以在抽樣調(diào)查時(shí)著重以對(duì)輸入人員進(jìn)行檢測(cè)。

6.2.2 分布預(yù)測(cè)模型

以中國(guó)為例，本國(guó)的感染者分為本地感染者和境外輸入病歷，而本地病歷最先在武漢發(fā)現(xiàn)。根據(jù)資料顯示，境外輸入病歷超過(guò)百分之七十在隔離期發(fā)現(xiàn)，固這部分人中最多只有百分之三十會(huì)流向國(guó)內(nèi)。則湖北的感染人數(shù)：

再根據(jù)資料，我們可以算出每天境外輸入病歷的平均人數(shù)a約=30，（從2月26日境外首次輸入病歷，至4月18日止計(jì)算結(jié)果，境外輸入總?cè)藬?shù)參考高校疫情防控平臺(tái)發(fā)布數(shù)據(jù)），由問(wèn)題1的模型得u約為0.02。當(dāng)k值取時(shí)0.15，與問(wèn)題一模型得出的結(jié)果基本相同。當(dāng)j值取0.012時(shí)，得出的無(wú)癥狀感染者與實(shí)際無(wú)癥狀感染者數(shù)量基本相同，以此類(lèi)推，再計(jì)算出其他省份的無(wú)癥狀感染者人數(shù)。[2]

6.2.3 應(yīng)對(duì)方案

政府要求發(fā)現(xiàn)無(wú)癥狀陽(yáng)性檢測(cè)者時(shí)，在2小時(shí)內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)報(bào)告，并進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)。各級(jí)疾控部門(mén)接到轄區(qū)內(nèi)無(wú)癥狀感染者報(bào)告時(shí)，要求按照新冠肺炎確診病例調(diào)查要求，24小時(shí)內(nèi)完成流行病學(xué)調(diào)查和密切接觸者判定，所有密切接觸者一律在所在地集中隔離醫(yī)學(xué)觀察14天，管理要求與確診病例密切接觸者相同。

同時(shí)，國(guó)內(nèi)限制出入境的條件。如醫(yī)務(wù)人員之類(lèi)的工作人員和取得通行證并報(bào)備的人員可以放行，其他無(wú)特殊情況不予以通行。對(duì)境外人員，持續(xù)開(kāi)展拉網(wǎng)式全面的摸底排查，在各個(gè)入境關(guān)道設(shè)置檢測(cè)點(diǎn)，對(duì)排查出的境外人員一律開(kāi)展核酸檢測(cè)。特殊的，加強(qiáng)對(duì)湖北入境人員的健康管理，對(duì)湖北人員統(tǒng)一納入社區(qū)管理，及時(shí)進(jìn)行核酸檢測(cè)。

7 模型評(píng)價(jià)與推廣

7.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）在建模過(guò)程中，模型一巧妙的運(yùn)用了指數(shù)模型和SIR模型及回歸思想，簡(jiǎn)便的給出了流行與大流行的界定條件;

（2）模型二通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型成功預(yù)測(cè)了無(wú)癥狀患者在全國(guó)的分布情況;

（3）兩個(gè)模型在建立上，充分結(jié)合疫情的發(fā)展趨勢(shì)，結(jié)果都十分接近真實(shí)數(shù)據(jù);

（4）對(duì)問(wèn)題中的影響因素進(jìn)行了深入探討，考慮了各種因素的相互關(guān)系;

（5）模型二充分利用模型一的結(jié)論，并且與模型一相結(jié)合，結(jié)構(gòu)緊湊，邏輯清晰。

7.2 模型的缺點(diǎn)

（1）模型一的數(shù)據(jù)是主要是以國(guó)內(nèi)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)推測(cè)全國(guó)，國(guó)外數(shù)據(jù)難以獲得，使得模型一有一定的局限性。

（2）模型二的結(jié)果是通過(guò)平均值來(lái)計(jì)算的，因?yàn)闊o(wú)癥狀患者的數(shù)據(jù)無(wú)法得到，所以數(shù)據(jù)不太準(zhǔn)確，擬合的結(jié)果不夠精確。

7.3 模型的改進(jìn)

（1）根據(jù)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)狀況，醫(yī)療條件，政治思想，多去結(jié)合國(guó)外疫情的發(fā)展情況，使得結(jié)果具有普遍性，適用性更強(qiáng)。

（2）利用無(wú)癥狀患者的準(zhǔn)確輸入人數(shù)，繪制無(wú)癥狀患者分布圖，得到準(zhǔn)確的輸入率，使結(jié)果更加準(zhǔn)確。

（3）可對(duì)模型一和模型二進(jìn)行優(yōu)化，使擬合精度更高。

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