數學物理方法中熱傳導方程的COMSOL 教學應用

王鵬，王清亮，左旭東，張冬梅

（1.忻州師范學院 物理系，山西 忻州 034000；2.江蘇理工學院 數理學院，江蘇 常州 213001；3.大連理工大學 物理學院，遼寧 大連 116024）

數學物理方法是物理學以及部分工科專業本科生必修的一門重要科目，旨在豐富學生的知識技能儲備以及培養學生利用數學技能解決物理問題的能力.因此，這門課程不僅物理內容較多，而且涉及大量的高等數學知識，如復變函數、微積分和級數等，學生普遍反映學習難度較大，學習積極性不高.繁瑣的數學推導也使得學生更關注“數學”技能的提高而忽略了“物理”內涵的理解；另外，數學物理方法課程還存在考核方式單一、教學時效性不強等不足[1].

目前，數學物理方法課程的教學方式仍以課堂講授為主.無論是以往的板書教學還是如今的多媒體教學，都能夠較好地做到數學公式的推導和數學思想的傳達；但是如何讓學生更直觀地獲得物理圖像仍力有未逮，尤其在傳統的板書教學過程中較難實現.即使是采用多媒體教學方式，也很難找到或者繪制貼合教材的相關素材用于直觀展示物理圖像，如果采用板書教學的方法繪圖則更加不易，要想進一步實現學生自主深入學習、拓展思路、發散思維的目標就更難了.因此，如何在教學過程中實現“數學方法”與“物理圖像”的有機結合成為提高教學效果必須要解決的問題.

計算機仿真是一種能夠實現物理圖像展示的有效手段，已經被廣泛使用于大學教學中.宋彥琦[2]等人利用Matlab 軟件編程實現了復變函數方程以及波動方程定解問題的求解.但是編程方法不易掌握，對學生直觀理解物理問題也并無明顯益處.相比之下，COMSOL Multiphysics 軟件是一款大型多物理場數值仿真軟件，具有上手較快、操作便捷和可視性強的特點，能夠根據實際需求建立物理模型，并將數學方程的數值求解結果以曲線圖、分布圖等圖像的形式直觀展示出來，體現了“數形結合”的思想.另外，COMSOL 軟件涵蓋了物理、化學、工程等多個科學領域的計算模塊，能夠滿足教學和科研的需要.目前，已有不少學科的本科專業課使用這一軟件輔助教學，如物理專業的電磁學[3-6]、模擬電子技術[7]等課程，甚至部分研究生的課程教學也采用這一軟件[8-16]，取得了較好的成果.

本文針對數學物理方法課程在教學過程中存在的重“數學”而輕“物理”的問題，利用COMSOL 軟件求解一個空心圓柱體熱傳導模型，明確熱傳導方程的物理含義和3 類邊界條件的物理概念，展示數學方程中隱藏的物理圖像.結合COMSOL 軟件開展教學可以激發學生的自主學習動力并提高學生的思維發散能力和探索能力，實現探究性學習和翻轉課堂的教學模式，提高學習效果.

1 空心圓柱體的熱傳導方程及邊界條件

本文以一個空心圓柱的熱傳導模型（見圖1）為例來展開說明.空心圓柱體的內、外半徑（R內，R外）以及高度（h）分別為0.05，0.15，0.2 m.

圖1 空心圓柱體

熱傳導方程一般可寫為

其中：T是待求溫度，與時間和空間均有關；t為時間；F為熱源強度；k，ρ，c分別為熱導率、密度和比熱容.等號左邊第1項就是初中時就學習過的單位體積內物體溫度變化與外界所交換的熱量（，q0和V分別是物體吸收/釋放的熱量和物體體積），第2項則表示單位時間內以熱傳導形式流入該單位體積的熱量.因此，方程（1）的物理本質就是能量或者說熱能守恒.在本例中，認為空心圓柱體中無熱源，則F(r，t)=0，該方程變為齊次方程.如果只想知道圓柱體達到熱平衡狀態時的溫度分布而不研究溫度隨時間的變化，則方程（1）將化為拉普拉斯方程

要求解熱傳導方程，必須要給定初始條件和邊界條件，圓柱體的初始溫度被設定為20 ℃（293.15 K）.

數學物理方法課程中常見的邊界條件可以分為3 類：

第1 類邊界條件是直接規定待求物理量的取值.在本例中，空心圓柱的內表面被視為與一個恒溫熱源接觸，溫度被固定為室溫60 ℃（333.15 K），即

第2 類邊界條件是規定待求物理量在邊界外法線方向上的方向導數.對一個給定的邊界截面，傅里葉熱傳導定律可以寫為

其中：r是單位面積內的熱流量，即熱流密度；負號表示熱量是逆溫度梯度方向傳導的.因此，對于給定熱導率的空心圓柱體來說，規定外法線方向導數等價于直接定義熱流密度.顯然，熱流密度是一個更具有直觀物理意義的量，可以將邊界處的熱流密度直接視為第2 類邊界條件.本例中，將空心圓柱體的外表面設置為絕熱條件，即圓柱體與外界不能通過外側表面與外界環境進行熱交換

第3 類邊界條件規定了邊界處待求物理量與待求物理量外法線方向上方向導數之間的線性關系，有時也稱作混合邊界條件.本例設定圓柱體的上下2 個表面與外界存在熱交換，根據牛頓冷卻定律，在該表面設置第3 類邊界條件

其中：hf為空心圓柱上下表面的對流換熱系數；Text表示外界環境溫度.等號左邊表示圓柱表面因存在溫度梯度而流通的熱量，右邊表示由于環境中熱對流的存在而交換的熱量.這樣看就會發現，公式（6）的物理意義就是在圓柱體的上下2 個表面不會有熱量的持續累積和損耗，熱量的流動是連續的，這也符合直觀認知.通過給定hf的值和環境溫度Text，就可以得到確定的第3 類邊界條件.

2 利用COMSOL Multiphysics 軟件求解空心圓柱體熱傳導模型

2.1 物理模型的構建

由于空心圓柱具有中心對稱結構，因此在用COMSOL Multiphysics 仿真軟件構建模型時無需構建三維模型，選擇“二維軸對稱”模型，可以減少計算量和計算時間.利用COMSOL 軟件繪制的矩形（見圖2），其位置和大小均可在軟件中任意更改.本例中矩形的寬度和高度分別為0.1，0.2 m，左下角頂點的坐標為（0.1，0 m）.r=0 處的紅線表示旋轉軸，矩形繞軸旋轉一圈即可得到與圖1 所示同尺寸的空心圓柱體.COMSOL 軟件內置了多種材料的基本物理特性參數，在仿真過程中可以直接對仿真模型添加材料并調用相關參數.空心圓柱體的材料被設置為鐵，其密度、比熱容和熱導率分別為7 870 kg/m3，440 J/（kg·K），76.2 W/(m·K).

圖2 旋轉對稱模型下，利用COMSOL 軟件繪制的矩形

由于本文研究的是空心圓柱體的熱傳導問題，因此選擇軟件中自帶的“固體傳熱”模塊進行仿真計算.該模塊已經內置了熱傳導方程，無需修改，只需進行邊界條件和初始條件的設置即可.利用COMSOL 軟件設置初始溫度條件的界面見圖3a.可以看到，COMSOL 軟件的界面對用戶非常友好，直接在輸入框內輸入數值即可.根據對空心圓柱體初始溫度的設定，此處輸入“293.15 K”.

利用COMSOL 軟件設置第1 類邊界條件的界面見圖3b.設置一欄中，在“邊界選擇”中選擇矩形的左邊（這一條邊經繞軸旋轉后即形成空心圓柱體的內表面），表示要對這一條邊進行物理條件的設置.其下方“方程”中展示了一個關于溫度的公式，表示此處設置的物理含義是溫度邊界條件.在溫度輸入框中輸入“333.15 K”，即可完成了第1 個邊界條件的設置.設置圓柱外表面絕熱和上下表面熱對流邊界條件時的軟件界面分別見圖3c～d，與對空心圓柱體的邊界條件設定的操作基本一致.

通過以上操作，可以使學生對數學方程、初始條件和邊界條件有更直觀的認識，有利于深入理解數學公式背后的物理內涵.

2.2 仿真結果與討論

點擊COMSOL 軟件中的“物理場控制網格”實現空心圓柱體的網格自動剖分，本案例中將網格數設置為360.由于本案例求解的是空心圓柱體熱穩定狀態溫度分布，因此研究模式選擇“穩態”（此時軟件自動將要求解的方程設定為拉普拉斯方程）；點擊“計算”按鈕，軟件開始自動求解數學方程并輸出物理圖像，使用普通筆記本電腦的計算時間僅需約2 s.

hf=100 W/（m2·K）時，空心鐵圓柱體的溫度分布情況見圖4a～b.可以看到圓柱體的溫度從內表面（333.15 K）向外表面（約328 K）逐漸降低，同時上下表面的溫度比圓柱體的中央區域要低，這是上下表面與溫度較低的外界環境（293.15 K）存在熱交換的邊界條件導致的必然結果；等溫線自左向右（對應空心圓柱體由內而外）逐漸稀疏，表示溫度梯度的絕對值逐漸減小；由于圓柱體上下表面與外界存在熱交換，因此，上下表面的溫度沿徑向方向降低得比其內部要快，導致上下表面附近的等溫線分布比中央更密集.結果表明，COMSOL 軟件能夠展示熱傳導方程中的待求溫度函數在給定的初始條件和邊界條件下是如何分布的，使學生不僅能夠很好地理解邊界條件的概念，還能夠直觀地把數學方程與物理圖像聯系起來.

在滿足教學需求的基礎上，COMSOL 軟件還自帶有“參數化掃描”功能，可以賦予某個條件任意多的數值，用于研究該條件對仿真結果的影響.在本例中，通過賦予空心圓柱體表面對流換熱系數(hf)3 個不同的數值，研究了表面對流換熱情況對其空心圓柱體熱傳導過程的影響.圓柱上下表面在具有不同換熱系數的條件下，其溫度沿徑向方向的變化曲線見圖4c.可以看到，空心圓柱體的溫度沿著徑向向外逐漸降低，且斜率逐漸趨于0，與圖4a 和圖4b 的結果一致.另外，隨著hf取值的增加，空心圓柱體外側的溫度逐漸降低，這是由于hf的增大使圓柱體通過上下表面向低溫外界環境釋放出了更多的熱量，導致處于熱絕緣狀態的外表面從圓柱內側吸收到的熱量較少，因此溫度較低.

圖4 空心圓柱體的熱傳導仿真結果

在仿真過程中，計算熱傳導方程中溫度函數的空間分布僅是COMSOL 軟件的結果之一，軟件已經把所有熱物理參數的分布進行了計算并保存在模型中.因此，對學有余力的學生，教師可以引導其進一步深入思考和探索，利用COMSOL 軟件展示更多的結果.例如：圓柱體上下表面的換熱邊界條件既然能夠影響圓柱體的溫度分布，那熱流量究竟是多大，與空間位置以及表面換熱系數的大小是否有關.要得到以上結論只需要在軟件中將之前展示的縱坐標“溫度”替換為“熱流密度”.空心圓柱體上表面的熱流密度沿徑向方向的變化曲線見圖4d.可以看到，上表面的熱流量密度沿著徑向向外逐漸降低，這是由于空心圓柱體的內側溫度較高，與外界環境溫差較大，因此熱流量密度較大.由此可見，hf與圓柱體表面的熱流密度成明顯的正相關關系，提高hf有助于圓柱體的散熱，而降低hf則有助于圓柱體的保溫.

hf取值的數量和大小均可在COMSOL 軟件中根據教學和研究需求進行自定義設置.通過COMSOL 軟件還可以對空心圓柱體的初始溫度、內表面溫度等初始條件和邊界條件進行修改或賦予不同的取值，從而進一步研究不同條件對熱傳導過程的影響，這樣不僅能夠使學生對熱傳導現象的理解更加深入，更能調動學生學習的主觀能動性.在實際的教學過程中，還可以將學生們提前分組，分別研究不同物理條件對空心圓柱體熱傳導過程的影響，在課堂上互相交流學習，從而實現翻轉課堂教學模式和探究性學習模式，鍛煉學生的探究能力，提高科學素養.最終完成的計算結果可以保存為一個單獨的工程文件（.mph 格式），便于學生上交和教師檢查，也有利于保存記錄和用于交流學習.這些操作不僅可以使用在熱傳導方程的學習上，對數學物理方法課程中的其它內容同樣有效.在學習結束后，教師可以結合實際應用與課程內容出題，讓學生開展調研后將實際問題轉化為仿真模型，制作并上交仿真案例.這個過程既可以作為課后作業發布，也可以作為期末考試的一種新載體，未來甚至可以在數學物理方法課程中設置計算機實踐課時，進一步實現教學模式和考核模式的改革.

利用COMSOL 軟件輔助教學可以實現物理概念的理解、模型的建立和仿真結果的可視化展示等目的，是一種能夠讓學生更好地預習、學習和復習的有效手段.不僅能夠使學生直觀建立物理圖像，理解數學方程背后的物理內涵，還可以讓學生將理論知識與實際應用聯系起來，提高認識問題和解決問題的能力.

3 結論

本文以空心圓柱體為例，利用COMSOL Multiphysics 軟件實現了熱傳導過程的物理圖像的可視化教學，幫助學生進一步理解3 類邊界條件和熱傳導方程的物理內涵.COMSOL 軟件具有操作簡單、可視性強的特點，集教、學、研多種功能于一體，加強了數學公式與物理圖像和實際應用之間的關聯性，同時減少學生的畏難心理和教師的授課壓力.該軟件的使用有助于激發學生的主觀能動性，利于探究性學習和翻轉課堂教學模式的開展；能夠讓教師和學生在教與學的過程中更加關注數學方程背后的物理概念與物理思想，讓學生在掌握數學技能的同時，實現領悟物理思想、使用數學工具解決實際物理問題的教學目標.COMSOL軟件的應用為課后作業和能力考核提供了一種全新的方式，是實現新時代教學改革的有效手段.