函數(shù)切線在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用

◇ 福建 肖 陽(yáng)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)切線與導(dǎo)數(shù)知識(shí)聯(lián)系緊密，是高考的常考知識(shí)點(diǎn).部分函數(shù)切線習(xí)題靈活性較強(qiáng)，難度較大，不少學(xué)生面對(duì)題目時(shí)不知如何下手.因此教學(xué)中應(yīng)做好函數(shù)切線應(yīng)用的講解，與學(xué)生一起分析不同題型的解題思路，使學(xué)生能把握解題的關(guān)鍵，掌握應(yīng)用函數(shù)切線解題的相關(guān)技巧，促進(jìn)其解題能力明顯提升.

1 函數(shù)切線在公切線問(wèn)題中的妙用

函數(shù)公共切線涉及的函數(shù)至少有兩個(gè)，相關(guān)問(wèn)題具有一定難度，因此，讓學(xué)生掌握一定的解題思路尤為關(guān)鍵.學(xué)生解題時(shí)可通過(guò)求導(dǎo)得出切線斜率，然后通過(guò)設(shè)函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出各函數(shù)的切線，接著將切線相關(guān)參數(shù)對(duì)應(yīng)相等，便可求得公共切線過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo).結(jié)合給出的已知條件便可求得最終結(jié)果.

例1已知兩個(gè)曲線f（x）=lnx，g（x）=ex-2的公共切線為y=kx+b，求k 的值.

解析

2 函數(shù)切線在恒成立問(wèn)題中的妙用

使用函數(shù)切線求解恒成立問(wèn)題，思路并不唯一，需要根據(jù)實(shí)際情況采用對(duì)應(yīng)的解法.通常采用分離參數(shù)的方法，通過(guò)研究函數(shù)的最大值、最小值求解.但也可另辟蹊徑，通過(guò)仔細(xì)研究給出的函數(shù)圖象，從中找到解題突破口，以簡(jiǎn)化計(jì)算步驟.

例2已知函數(shù)f（x）=exsinx，x∈［0，］，若f（x）≥kx 恒成立，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍.

解析excosx，因?yàn)樗詅′（x）＞0，表明函數(shù)f（x）在給定的定義域上遞增.但是，遞增的趨勢(shì)如何呢？令g（x）=exsinx+excosx，x∈［0，

對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)得到f′（x）=exsinx+對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)得到g′（x）=2excosx，顯然g′（x）＞0，表明在定義域上按照斜率不斷增大的趨勢(shì)遞增.要想滿足f（x）≥kx 恒成立，只需滿足其斜率最小的切線斜率大于等于k 即可.令x=0，則f′（0）=1，即其斜率最小的切線方程為y=x，要想滿足題意只需k≤1.

3 函數(shù)切線在不等式中的妙用

在不等式中應(yīng)用函數(shù)切線知識(shí)時(shí)，通常要將其轉(zhuǎn)化為基本不等式或函數(shù)問(wèn)題，借助基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)求解.另外，部分習(xí)題需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，這就需要邊求解邊觀察，向要求解的問(wèn)題靠攏.

例3已知函數(shù)f（x）=x3-x，設(shè)a＞0，如果過(guò)點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a＜b＜f（a）.

解析

設(shè)切點(diǎn)為A（t，t3-t），由已知可知f′（x）=3x2-1，過(guò)點(diǎn)A 的切線方程為y-（t3-t）=（3t2-1）（x-t）.將點(diǎn)（a，b）代入切線方程得到b-（t3-t）=（3t2-1）（a-t），整理得到2t3-3at2+a+b=0.

要想過(guò)點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程2t3-3at2+a+b=0 需要有3 個(gè)實(shí)根.令g（t）=2t3-3at2+a+b，g′（t）=6t2-6at=6t（ta），顯然當(dāng)t∈（-∞，0），g′（t）＞0函數(shù)g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t∈（0，a），g′（t）＜0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t∈（a，+∞），g′（t）＞0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增.要想滿足其有3 個(gè)實(shí)根，則應(yīng)滿足g（0）＞0，g（a）＜0，即b+a＞0，b+a-a3＜0，解得-a＜b＜a3-a，得證.

4 結(jié)語(yǔ)

函數(shù)切線習(xí)題難度千差萬(wàn)別，為使學(xué)生掌握運(yùn)用切線知識(shí)解題的技巧，在解題中少走彎路，應(yīng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際精心挑選相關(guān)例題，為其透徹剖析解題思路，并給其留下充足的思考、討論時(shí)間，使其能消化吸收，不斷提高其應(yīng)用函數(shù)切線解題的水平與能力.