高中數學函數最值問題探析

◇ 山東 趙 南

函數最值問題是高考考查的重點內容，通常函數最值問題不會單獨存在，而是與其他題型內容相融合，因而使得解題方法呈現多樣性.學生在求解最值問題時也會遇到諸多問題，為此，教師應幫助學生把握函數最值問題特點，使其學會選擇合適的求解思路來提升解題效率.

1 代數法

在高中函數最值問題求解過程中，代數法是常用的方法之一.代數法根據題意條件，可以有配方法、不等式解題法等.對于配方法，主要是根據y=ax2+bx+c 的二次函數結構來靈活選擇.例如求函數y=x2-4x+1，在x∈［1，4］上的最大值.面對該題，首先要觀察原函數的結構，可以將之進行變換，得到y=（x-2）2-3；接著，結合題設條件，在x=2時，y 值為-3，當x=4時，y 值為1.由此即可得到正確的答案.不等式法的運用，在一些題型上具有更為靈活的特點，也簡化了解題流程.

2 向量法

在高中數學中，向量法的運用是求解最值問題的有效方法，我們在觀察、分析題設時，要從函數結構來剖析其特點，利用向量法來簡化計算，快速獲得求解結果.例如某題中m，n 為兩個向量，且滿足條件（m·，當（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2取最小值時，求x，y 的值各是多少？對于該題，我們可以先觀察.本題題設條件很簡單，但在解題方法上卻顯得有些難度.如何運用向量法來求解，需要假設m=（y-1，x+y-3，2x+y-6），n=（1，-2，1），根據題設得到當=2x+y-6 時，我們可以得到由此，得到所求式的最小值.從解題思路來分析，該題需要注意，用向量法解題時，需要根據所求式的結構特征引入向量，再利用向量不等式求解.同時，由于向量與函數知識關聯性強，對學生而言，需要把握兩者的關系，為解題創造條件.

3 換元法

換元法也稱作輔助元法，該法比較適合有復雜因式分解的題型，通過換元將復雜的問題簡單化，也為解題降低了難度.例如在某題中：有方程（x2-2x）2-3（x2-2x）-4=0，求x 的最大值與最小值.該題從題型來看，屬于一元四次方程，如果我們采用常規解題思路，則運算量很大，也很費時，且易出現錯誤.由此，我們就可以考慮換元法，通過降次來起到簡化解法的目的.我們可以假設y=x2-2x，將原式轉換為y2-3y-4=0，計算后得到y=4或y=-1.然后，根據前面所設，將y 值代入x2-2x 中，當x2-2x=4時，x 的值為；當x2-2x=-1時，x 的值為1.由此，該方程的解有3個，即.相比較而言，最大值為，最小值為.可見，運用換元法，需要保證原題方程中的一端為可分解的因式，另一端為0，如果不能轉換成如上條件，則換元法在使用中可能會出現錯誤.另外，針對該類題型，在解題中出現多值問題，需要對相關的值進行辨析.

4 判別式法

求解函數最值問題，有時候需要依賴我們的直覺判斷.不同題型，求解方法可能有多種，而在分析題意時，往往需要我們從感覺上來選擇解題思路.例如，y=求其最值.我們對該題進行觀察，分子與分母具有較大相似性.根據分母x2+3x+4=（x+得到函數的定義域為全體實數；接著，我們再對（y-1）x2+（3y+3）x+4y-4=0進行求解，得到y=1時，x=0，當y≠1時，此關于x 的一元二次方程有解，Δ≥0，解得由此我們可以得到最大值為7，最小值為對該題進行剖析，我們通過觀察題設條件，再結合求最值要求，通常需要對題目中的最大值、最小值進行全部計算，不能僅看一個值.另外，根據分母的性質，需要大于零，作為解題條件來確立解題思路.

總之，最值問題的求解方法很多，我們在平時的訓練中，要注重觀察題設，拓展解題思維，結合題意來科學、靈活地選擇解法.同時，還要關注題設條件的變化，對定義域、值域、相關約束參數準確把握，從而提高解題正確性.