談高中數學新授課內容引入的自然性

◇ 湖北 溫慧荔

新課的引入是講解新知識過程中重要的一個環節,若引入過于突兀,常使學生不明所以.筆者在新授課的過程中從以下幾個視角進行引入,取得了較好的教學效果,現與同行分享.

1 利用學生熟悉的內容引入

案例1均值不等式的教學.

師:我們都知道一個數的平方恒大于等于0,例如(m－n)2≥0(m,n∈R),展開得m2－2mn＋n2≥0,即m2＋n2≥2mn.設a＝m2,b＝n2,能得到什么關系?

生2:左邊是兩個數的算數平均數,右邊是兩個數的幾何平均數.

師:非常好,能不能給這個不等式取個名字?

生3:平均數不等式.

師:教材中將這個不等式稱為“均值不等式”.再來看一下a,b的范圍以及等號成立的條件是什么.

生4:a＝m2≥0,b＝n2≥0,當且僅當a＝b時等號成立.

師:當a＝b＝0時,這個不等式顯然成立,不能體現其應用價值.故在此定義a,b＞0.如果ab為確定的常數,我們能得出什么結論?

生5:能得出a＋b的最小值.

師:非常好,還能不能得出類似的結論?

生6:若a＋b為定值,能得出ab的最大值.點評

本案例從學生熟悉的知識,即由一個數的平方非負性進行引入,通過學生的一步步探究得出要講授的內容,教師講得輕松,學生接受自然.

2 利用學生的認知沖突引入

案例2復數概念的教學.

師:我們最早接觸的是正整數,后來又學習了自然數、整數、有理數、實數,數系擴充原因是什么?

生1:當前所學數集不能滿足計算需求.例如a,b∈Z＋且a＜b,則a－b不是正整數,因此引入了負整數;若a＝b,則a－b既不是正整數,也不是負整數,我們引入了0,因此構成了整數集……

師:若x2＝1,則x＝±1.若x2＝－1,x＝___.

生2:負數沒有平方根.

師:也就是說,在實數范圍內,負數沒有平方根.如果我們想讓負數有平方根呢?

生3:引入一個比實數集更大的數集、

師:這就是今天要講的內容,我們把這個比實數更大的數集,稱為復數集.

點評

通過讓學生思考引入新數集的必要性,從而激發學生探究欲望,自然引入了新的數集、新的元素,只要再增添相應的新規定即可.

3 利用學生的求知欲引入

師:(a＋b)1＝a＋b,(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2,那么(a＋b)3＝________.

生1:(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.

師:(a＋b)n＝_______.

學生沉默……

師:我們上次課剛學完排列、組合的有關內容,能否利用這些知識解決這一問題?

生2:(a＋b)n＝(a＋b)(a＋b)…(a＋b),共n個a＋b,各項相乘時,需要從每個括號中任選一個數,如果每個括號中都選a,則得a n,如果n－1個括號中選a,則一個括號中選b,則得a n－1b,…據此類推,后面的項依次為a n－2b2,a n－3b3,…,b3,所以(a＋b)n＝a n＋a n－1b＋a n－2b2＋a n－3b3＋…＋b n.

師:用這個結論來驗證(a＋b)2和(a＋b)3.

生2:缺少了各項前面的系數.

碟式太陽能熱發電技術始于20世紀70年代末，由美國的MDAC、NASA及DOE等發起研究。目前中國、韓國、德國等國家科研部門都在開發該技術。其技術原理是用集熱器集中太陽能產生高溫，推動斯特林發動機帶動發電機轉動，實現太陽能轉換為電能。目前該技術已經商業運營成功，兆瓦級碟式太陽能熱電廠已有上線，百兆瓦級電廠正在施工。

師:那每項的系數如何得出?

生3:如果n－1個括號中選a,則一個括號中選b,哪個括號中選b,應乘以Cn1,這樣就得出(a＋b)n＝.

師:為了形式上的統一,我們也可以給第一項和最后一項加個系數,這兩項的系數分別是什么?

師:這就是我們今天要講的“二項式展開式”……

點評

通過層層遞進,對問題深入探究,激發學生的求知欲,并順利引出新授課內容.

當然,新知識引入方式不止以上幾種,教師在教學中要結合學生的實際情況,運用恰當的引入方法,可使學生對新知識的理解順利、自然.