巧消參,妙解題
———參數(shù)方程中的消參策略

◇ 甘肅 林永強(qiáng)

化參數(shù)方程為普通方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),其基本破解的策略有代入消參、加減消參、平方消參、乘除消參、恒等消參、三角消參幾類,根據(jù)不同類型選擇相對(duì)應(yīng)的消參策略是問題求解的關(guān)鍵.由于具體消參時(shí)涉及知識(shí)點(diǎn)多,又需要一定的運(yùn)算技能和代數(shù)式變形的技巧,因而也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).下面針對(duì)幾種常見的消參方法,結(jié)合對(duì)應(yīng)的破解策略加以實(shí)例剖析.

1 代入消參

代入消參就是根據(jù)參數(shù)方程中的一個(gè)關(guān)系式,以參數(shù)來表示其中一個(gè)未知數(shù),代入另一個(gè)關(guān)系式來達(dá)到消參的目的.

例1化參數(shù)方程為參數(shù),且t≥0)為普通方程,并說明方程的曲線是什么圖形.

解析

由于y＝t＋1,而t≥0,則有y≥1.由y＝t＋1得t＝y(tǒng)－1,代入x＝－4t2可得x＝－4(y－1)2(y≥1),整理得方程的曲線是頂點(diǎn)為(0,1)、對(duì)稱軸平行于x軸、開口向左的拋物線的上半部分.

點(diǎn)評(píng)

代入消參是常見的消參方法之一,這類問題比較簡單,但是要注意運(yùn)算的正確性以及參數(shù)與變量的取值范圍的確定,以及一些條件的限制等.

2 乘除消參

乘除消參就是根據(jù)參數(shù)方程進(jìn)行合理的乘或除運(yùn)算,轉(zhuǎn)化參數(shù)關(guān)系式,再利用代入消參來達(dá)到消參的目的.

例2把參數(shù)方程(k為參數(shù))化為普通方程,并說明它是什么曲線.

解析當(dāng)x≠0時(shí),兩式相除可得代入,整理可得x2－y2－4y＝0(x≠0).

當(dāng)x＝0時(shí),則k＝0,此時(shí)y＝0,顯然點(diǎn)(0,0)在曲線x2－y2－4y＝0上.

點(diǎn)評(píng)

當(dāng)參數(shù)不方便分離出來時(shí),可以考慮整體思維,通過整體間的乘除消參來解決相關(guān)問題.在乘除消參中,要重點(diǎn)注意自變量的取值范圍.

3 三角消參

三角消參就是根據(jù)參數(shù)方程中的三角關(guān)系式加以合理變化與處理,從而得以“金蟬脫殼”,達(dá)到消參的目的.

例3試化參數(shù)方程為參數(shù))為普通方程.

解析

點(diǎn)評(píng)

對(duì)于以角為參數(shù)的參數(shù)方程,在化為普通方程時(shí),通常考慮運(yùn)用三角恒等變換公式加以消參數(shù),注意三角函數(shù)同角公式變形以及對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值的取值限制等.

總之,消去參數(shù)的具體方法要根據(jù)參數(shù)方程的特點(diǎn)來加以綜合考慮,關(guān)鍵就是簡單、巧妙.一般來說,當(dāng)f(t)和g(t)都是多項(xiàng)式時(shí),常采用有關(guān)代數(shù)方法來消參,當(dāng)f(t)和g(t)都是三角函數(shù)時(shí),常借助三角恒等式等有關(guān)三角方法來消參,同時(shí)還要注意整體思想的應(yīng)用.