一類脈沖分數階偏微分方程解的振動性

馮 茜, 馬晴霞, 劉安平

(中國地質大學(武漢) 數學與物理學院, 湖北 武漢 430074)

1 引言

脈沖微分方程理論的出現使得對理論物理、化學、生物技術和人口動力學等學科中的某些過程和現象的精確模擬成為可能.近年來, 由于分數階微分方程在反常擴散、多孔介質力學、非牛頓流體力學、粘彈性力學、軟物質力學、生物醫學以及控制系統等領域的廣泛應用,其研究越來越受到人們的關注.不論在理論還是應用中, 人們主要研究分數階微分方程的定性性質, 研究方向眾多, 如解的存在性以及帶有初值條件或邊界條件的分數階微分方程解的穩定性, 其相關定性理論研究迅速發展, 并得到了一些研究成果.偏微分方程解的振動問題已有一些學者通過研究得到了一些結論[1]?[3].近年來, 分數階微分方程的振動性問題受到廣泛關注, 一些學者研究帶阻尼項的分數階微分方程的振動性[4]?[10], 并陸續有很好的研究成果發表[11]?[17].但關于脈沖分數階微分方程的振動性研究卻很少, 本篇論文借鑒現有的一些研究結果以及方法來進一步討論脈沖分數階偏微分方程的性質.

本文將討論如下方程

其中 α ∈(0,1), ? 為拉普拉斯算子, ? 是Rn內的有界域, ?? 充分光滑,= ? ∪ ??, N為 ?? 的單位外法向量, 0

如下是本文的基本假設

(H1) a(t),p(t),ai(t) ∈ C(R+;R+), r(t) ∈ Cα(R+;R+) 且 τi≥ 0 是常數, i ∈ Ij={1,2··· ,j}; αk> ?1, βk> ?1.

定義1.1[18]f :R+→R, 階數為α>0 的Riemann-Liouville 左側分數階積分定義如下

上式在R+是逐點定義的, Γ 是gamma 函數.

定義1.2[19]修正后的Riemann-Liouville 分數階導數定義如下

下面給出關于α 階修正后的Riemann-Liouville 分數階導數的一些計算公式

及一些在本文的證明中要用到的記號

2 主要結果和證明

定理2.1如果下列脈沖分數階微分不等式

沒有最終正解, 且下列脈沖分數階微分不等式

沒有最終負解, 那么方程(1.1) 和(1.2) 的每個非平凡解u(x,t) 在E 內都是振動的.

證設u(x,t)是方程(1.1)和(1.2)的一個非振動解.不妨設存在t0≥0,使得u(x,t)>0,u(x,t ?τi)>0, (x,t)∈ ?× [t0,+∞).

由Green 公式、邊值條件(1.2) 及條件(H2), 容易得到

由 (2.3)–(2.7) 式, 得到

當t=tk.分別對方程(1.1) 的第二個式子和第三個式子關于x 在? 內積分, 得到

若u(x,t) 是脈沖分數階微分方程(1.1) 和(1.2) 的最終負解.用類似方法, 容易得到U(t) = ? u(x,t)dx 是脈沖分數階微分不等式(2.2) 的最終負解, 這與假設矛盾.定理得證.

引理 2.2[18]若

引理2.3若0<α<1, 則

證由定義1.1 和1.2 可得

令t=s+μ(x ?s), 利用Beta 函數的定義得

引理2.4[20]假設w ∈PC1[R+,R],

其中 g1,g2∈ C[R+,R], δk是常數, PC1[R+,R]= {x(t) : R+→ R, x(t)在除 t = tk,k =1,2,···以外的點連續可微存在, 且則

定理2.5假設存在t?≥0,

且

證用反證法.假設U(t) 是脈沖分數階微分不等式(2.1) 的非振動解.不失一般性, 假設U(t) 是脈沖分數階微分不等式(2.1) 的最終正解, 存在t?≥0 , 使得U(t)>0,U(t ?τi)>0,G(t)>0, t ≥ t?.由 (2.1) 式及引理 2.3, 有

對上述不等式從T 到t 積分, 得

令

則w(t)>0, 由(2.1) 式及引理2.3, 容易得到

即

其中ψ(t) = ceR(t)q(t).利用(H1) 和w(t) 的定義式, 不等式(2.1) 的第二個式子和第三個式子變為

則(2.18) 式變為

由 (2.19)–(2.21) 式, 容易得到

根據引理2.4, 得

若U(t) 是不等式(2.2) 的一個非振動解.不妨設U(t) 是脈沖分數階微分不等式(2.2) 的最終負解, 則G(t) < 0,t ∈[t?,∞).用類似方法, 容易得到令w(t) =則w <0.根據(2.2) 式, 可以得到即

由引理2.4, 得

則

3 舉例

例1考慮如下問題

邊界條件為

則由定理2.5 可知, 問題(3.1) 和(3.2) 的解都是振動的.