Robin邊界條件下的拋物方程爆破分析

凌征球, 覃思乾, 周澤文

(玉林師范學院數學與統計學院,廣西 玉林 537000)

1 引言

在過去的幾十年間, 非線性拋物方程解的爆破問題已經得到了很廣泛的研究, 文獻[1,2]有較詳細的介紹.其中, 關于解爆破時間T 的研究,仍然有許多文章僅針對T 的上界, 但下界的估計卻更加符合實際情況.隨著Payne[3]開創性的工作以后, 這種討論爆破時間下界估計的研究得到了許多學者的關注.需要指出的是, Li[4]在齊次Dirichlet 邊界條件下討論了方程

的爆破問題, 獲得了方程的解發生爆破時爆破時間的下界估計.這里拓展文[4]的研究范圍,將在Robin 邊界條件

下討論相同的問題.在這種邊界條件下, 文獻[4]使用的Sobolev 不等式不再可以使用.另外,由于方程中梯度項的存在, 需要克服一些困難.因此, 當方程的解發生爆破時, 通過建立合適的Sobolev 型微分不等式, 獲得了爆破時間的下界估計.關于爆破時間下界估計的更多結論見文獻[5–11].

2 爆破情況

設? ?R3是具有足夠光滑邊界?? 與凸性的有界區域.考慮如下具有非線性梯度項的拋物問題

其中p,k >0,q >2 , ?和?表示拉普拉斯和梯度算子, T 是可能的爆破時間, (?u/?ν) 表示在邊界向外的法向單位導數, u0(x) 滿足適當緊條件的連續函數.

根據最大值原理有u ≥0.另外, 除了在某些時刻會發生爆破之外, 還假設問題存在古典正解.當解發生爆破時, 本文的目的是要確定爆破時間的下界估計.為此, 定義下面的輔助函數

利用分部積分與邊界條件, 簡單的計算就可以得到

下面考慮J1.由于的指數是q 而不是2, 因此需要一點技巧去克服這個困難使得其指數變成2.為了方便, 令并通過Hlder 不等式就有

的第一正特征值.利用Robin 邊界條件, 又有

再根據散度定理

利用? 的凸性可以令

以及Young 不等式得到

這里θ 是任意正的常數.這樣從(2.8) 式和(2.6) 式就可以獲得

如果?, 也就是λ1滿足

然后選擇充分小的θ, 使得

這樣(2.9) 式就可以寫成:

因此根據J1的定義就有

下面考慮(2.13) 式右邊的第一項.如果p>1, 利用Hlder 不等式和arbq≤ra+qb,r+q =1,a,b>0 得到

借助文獻[3]的思想, 下面尋找一個合適的Sobolev 型不等式來計算u9(8p+q)/8的積分.首先, 令xim和xiM分別表示? 在坐標xi上的最小值與最大值, Dz表示? 與平面x3= z相交的截面.其次, 為了方面計算, 設ω :=u(8p+q)/4.根據Schwarz 不等式得到

這樣可以獲得

類似的,

把上面兩式左右相乘并在Dz上積分, 即有

再代回(2.15) 式得到

最后, 為了計算ω3在Dz上的積分, 用?+表示? 在Dz上的部分, 而相應的邊界是??+, 而下面部分與邊界則分別用??和???表示.這樣根據散度定理,

由此得到

即可以擴展(2.19) 式到i=3 的情況.又由于

因此從(2.18) 式得

另外根據Schwarz 不等式, 有

因此(2.20) 式可以變成

類似于(2.7) 與(2.8) 式, 可以得到

把(2.22) 式代入(2.21) 式,

這里ε1是任意正的常數, 并且還假設

結合 (2.13), (2.14), (2.24)–(2.27) 式, 并選擇 ε1滿足

由此就可以獲得

下面估算J2.類似于(2.14) 式, 首先有

然后從J2的定義得到

這里ε2也是一個任意正的常數.把(2.30) 式代進(2.29) 式, 并且選擇ε2滿足

(2.29) 式就變成

把(2.28) 和(2.31) 式代入(2.4) 式, 就可以獲得關于函數? 的一階微分不等式

再積分得到

由此得到爆破時間T 的一個下界估計

其中?(0)=?[u0(x)]8p+1dx.

把上面的分析總結成如下定理.

定理1如果p>以及(2.10) 式成立, 那么當問題(2.1) 的非負古典解u在(2.2) 式測度? 的意義下有限時刻T 發生爆破時, 則T 的下界T0由(2.35) 式給出.

3 非爆破情況

這里考慮p < 1 的情況, 此時問題(2.1) 的解不會在有限時刻內發生爆破.令?(t) 依然是(2.2) 式定義的輔助函數, 從(2.4) 式得到

類似(2.11) 式的討論, 有

其中

因此從(2.13) 式得到

把(3.4), (3.5) 式代入(3.3) 式得

下面估算J2.類似(2.11) 式的討論也得到

利用(3.4) 式與(3.7) 式有

最后, 結合(3.1),(3.6) 與(3.8) 式就可以得到下面的一階微分不等式

顯然, 如果問題(2.1)的解u 在測度? 的意義下發生爆破, 那么從(3.9)式導出?(t)≤0,這是一個矛盾.這樣就得到了下面的定理.

定理2假設u 是問題(2.1) 的一個非負古典解, 如果p < 1 和第一特征值λ1滿足2l0λ1?3k(16p+q)>0, 那么u 不能在測度? 的意義下發生爆破.

注為了給出定理2 的證明, 可以使用另外的輔助函數來代替(2.2) 式定義的函數?(t).例如, 類似文獻[6], 可以定義函數Φ(t)=?u2dx 來完成定理的證明.