關于旋渦定義的思考

吳介之, 楊 越

(北京大學 工學院 湍流與復雜系統國家重點實驗室, 北京 100871)

0 引 言

根據動量方程的Helmholtz分解可以發現，單一性質的流體運動有兩個基本動力學過程：以渦量為特征變量的橫過程即剪切過程，和以脹量或熱力學變量(壓力、密度、焓、熵)為特征變量的縱過程即脹壓過程(Wu et al. 2015)[1]。縱過程的特征結構很清晰：聲波、激波以及勢流，它們有明確的數學定義。縱場理論的難點在于其特征量不唯一，對這些結構的數學描述與源的辨識也不唯一。橫過程則與此恰恰相反。其特征量和數學描述唯一，但偏偏其最重要的基本結構——旋渦或渦，沒有公認的定義。這已成為流體力學的一個老大難問題。本文在回顧經典定義演化過程的基礎上，對“什么是渦”這個問題提出自己的初步看法，拋轉引玉，以期促成更廣泛的討論。

1 渦的運動學定義及其動力學功能

橫場有一個獨特的純運動學性質，即渦量場的無散性。它的直接結果是三維無界流場的總渦量守恒和二維流場的總環量的時間不變性。特別對于渦量管，它導致Helmholtz第一渦量管定理(簡稱H1)：渦量管的強度或其環量與管面上計算它的位置無關 (不同著作對Helmholtz三個渦量管定理的編號與說法不同，這里據Truesdell (1954)[2])。無散性決定了“渦”(vortex)最根本的普適形態特性，是自Helmholtz以來人們把細渦量管稱為渦絲并簡稱為渦的原初依據，業已指引人們理解了若干重要的物理現象。最著名的經典事例來自空氣動力學。對于二維流，Prandtl從翼型突然起動形成的起動渦，根據總環量守恒推斷出產生升力的等值反號的翼型環量(圖1)[3]，而這個環量只能是翼型上下表面邊界層內渦量的代數和。對于三維流，Lanchester最先根據H1從翼尖渦推斷出它們必然來自機翼表面邊界層里的渦量在翼尖附近的匯聚和折轉(圖2a)[4]，這啟發Prandtl在1918年基于H1提出了升力線理論的渦系模型(圖2b)。沒有渦量的無散性，這些認識是不可能的。

圖1 從左向右突然起動的翼型的起動渦和升力渦[3]Fig.1 The starting vortex and lifting vortex formed during the suddenly started motion of an airfoil from left to right. From Tietjens & Prandtl (1934)[3]

更一般地說，如果某一時刻在流場某處產生了新的渦量場，則必在同一時刻會在流場別的地方產生新的總量相同、方向相反的渦量場，無論這兩處渦量場中的一個或兩個是否發展成集中的旋渦。

(a) 尾渦形成 (Lanchester, 1907)[4]

(b) Prandtl升力線理論的渦模型

從渦量場的無散性到渦定義，卻是一段坎坷的歷程。回顧過去，可看到四種不同的思路。

1.1 基于渦量管的運動學定義(Helmholtz-Lamb)

從Helmholtz(1858)把細渦量管稱為渦絲(vortex filament), 而后Lamb (1932) 把渦絲簡稱渦 (vortex) 開始，人們就用細渦量管即渦絲(vortex filament)定義旋渦(參見Wu, 2018[5])。這是渦定義的一個主流方向，因為它抓住了H1所體現的渦量場作為無散管式場 (solenoidal field) 的特性。但這個運動學定義并不完備。首先，Helmholtz和Lamb并未規定該細渦量管之外有沒有渦量。設有一族連續分布于空間的渦量線，從空間中任何不是渦量線的閉曲線出發均可生成一個渦量管。由于在這條閉曲線的鄰域還可引入無限多與之不相交或相交的閉曲線(如奧運會的五環會標)，從這些環又可生成一系列渦量管，或者互不相交如一套渦量管，或者相互嵌套的渦量管。但這樣生成的結構顯然不唯一，不能把一組渦量管中的任何一個識別為通常意義下的旋渦。

其次，人們通常認為，根據H1，在無界流體中渦量管和渦線一定閉合成環，并據此討論過大量物理問題。但Fuente (2007)[6]舉例證明，渦量線和渦量管并非如人們常說的那樣要么自行封閉要么延伸到流體邊界。渦量線可能無窮長但局限于有限空間，或者在流體內部終止于零渦量點；而依其生成閉曲線的不同，渦量管可以自行封閉，也可以是無窮長而且自相交無數次，但不封閉。可見，任意選定的渦量線和渦量管的拓撲結構并不簡單。

事實上，基于渦量管的純運動學定義的確是不充分的，因為嚴格的不可壓流模型也有無散性，其流管也滿足H1；而且若流動無黏，Helmholtz第二、三渦量管定理(H2, H3)對流管也成立。但除了計算流量之外這些流管并無其他重要特性。

1.2 基于流動有旋性的定義 (Kelvin-Saffman)

和上述基于渦量管的主流定義不同，Kelvin(1869, p.225)[7]在關于渦運動的經典論文中提出，“I now define a vortex as a portion of fluid having any motion that it could not acquire by fluid pressure transmitted through itself from its boundary。”意思是，旋渦是一團任意運動的流體，該運動并不來自從其邊界傳輸過來的流體壓力。顯然，這部分流體只能理解為整個渦量場。這個定義排除了不可壓流的流管。Saffman & Baker(1979)[8]給出的渦定義實際上是Kelvin定義的某種直白說法：旋渦是被無旋流包圍的一個有旋流體。由于渦量場的管式特性, Kelvin-Saffman定義實際上指的是最大可能的渦量管，其側面就是一個有界渦量場的外邊界。此定義的好處是，前述渦量管定義的不唯一性問題，以及任選的渦量線與渦量管的復雜拓撲結構問題，就都不存在了。

然而，如果任何一個有界的渦量場都能被整個定義為一個旋渦，這和人們的直觀理解相去甚遠。于是，為避免過于寬泛，Saffman (1992)[9]又補充說，渦主要指無旋流包圍的細渦絲。值得注意的是，當Kelvin提出他的渦定義時，隱含地用到無旋流中聯系壓力和動能的Bernoulli定理。而這個定理已經屬于動力學，但卻在Saffman的定義中被忽略了。

1.3 渦的功能性刻畫

由上可見，單靠渦量場的無散性或者流體的有旋性來定義渦，都是不充分的。它們無法解釋，為什么并不是所有細渦量管或有旋流都具有必須給以特殊關注的特性。例如，在小雷諾數下忽略慣性力的定常Stokes流中，壓力的梯度(除以黏性系數)和渦量的旋度互相平衡，在二維流中它們無非是一個復解析函數的實虛部(Wu et al. 2006, p.151)[9]，雖然人們總可以畫出許多渦量管，卻沒有一個能被稱為渦；而作為有旋流的整個流場也不具有任何旋渦的意義。為了定義渦，必須進入動力學，而且不能像Kelvin那樣簡單地用是否滿足Bernoulli定理作為判據。

在這方面，Küchemann(1965)[10]沿著人們對渦的物理直覺邁出了重要的一步。他全然不顧渦的運動學定義，提出了渦是“流體運動的肌腱”這個著名命題。隨后Moffatt, Kida & Ohkitani(1984)[11]又把這句話延伸到湍流，認為被拉伸的渦是湍流的“筋”(sinews)。這就在實際上給出了一個闡明渦的功能的形象化判據，它強調了只有強到足以成為肌腱的細管狀結構才夠格被稱為渦。這個命題符合人們的物理直覺，因而得到廣泛的認可。但渦在什么意義下能成為流體運動的肌腱？這個問題也只能到動力學中去尋找答案。

1.4 基于旋轉度量的渦判據

在經典渦動力學中，旋渦的理論模型總以孤立的形態出現，或者是無窮長的單個或一對直渦，或者是渦環。這種理論模型在湍流研究中不夠用了，而代之以復雜的、相互糾纏和相互作用的各種“相干結構”或“渦狀結構”(vortical structures)。雖然人們確信這些結構都來自渦量場，但長期無法給出它們的明確定義，而只能用不同實驗手段、在不同階段和條件下觀察到的現象，對這些結構給出瞎子摸象式的形象化名稱。這種狀況導致了各種“渦判據”的誕生。

早先，Truesdell (1954, Secs. 51-62)[2]基于渦量是有量綱的量這個事實，提出了需要一個無量綱的數來度量流體運動旋轉程度的問題(“to find a quantitative measure of the amount of rotation in a motion”)。他基于Helmholtz分解(他根據歷史的考察稱之為Cauchy-Stokes分解)，用渦量與應變率張量的兩次縮并之比定義了運動學的渦量數(vorticity number)，并用Lamb矢量的絕對值和物質加速度扣除Lamb矢量后的絕對值之比定義了一個動力學的渦量數。前者已成了研究湍流相干結構時引入的各種“渦判據”(如見Epps, 2017)[13]的濫觴。這些運動學判據實質上都對渦的強度給出了規范。雖因相互有別而導致對同一結構有不同理解，但它們對于可視化湍流中復雜的渦狀結構畢竟起了重大作用，做出了不可替代的貢獻。在公認的更好且易用的高效渦識別方法出現之前，這些判據還將較長時間發揮作用。但它們和渦定義不屬于同一個概念(Wu 2018)[5]。從運動學上看，現有的判據都和渦量場的管式特性無關，識別出來的結構都不滿足H1。滿足H1的一個必要但遠非充分的條件是(Wu et al. 2005)[14]，渦不能因軸向拉伸(導致渦量管變細、渦量強度與卷吸的動能增加，但保持環量沿管子不變)而被不合適的判據拉斷。根據Koláǐ &ístek (2019)[15]最近的檢驗，在幾個常用的判據中只有稱為Rortex的判據(如Gao & Liu 2018)[16]能滿足這個必要條件。然而，即使拉不斷，Rortex的外邊界仍未必能近似保持渦量場無散性導致的管狀性質。

從動力學上看，這些判據最根本的缺陷，是它們不能統一地揭示渦狀結構演化中不同時刻可識別結構之間的因果關聯。它們是時空中孤立的存在，不是渦量場本身演化的運動學-動力學規律的自然結果，也就無法由之導出各種極有價值的經典渦結構模型及其動力學理論，例如邊界層、面渦、渦絲、點渦、渦斑 (vortex patch) 等等。比如Prandtl升力線理論的機翼束縛渦和線化自由尾流面渦這樣簡單的理論模型(圖2b)，乃至渦動力學中所有業已證明有效的簡化模型，都是用這些判據難以得到的。

可以看到，上述前三個思路雖然都不完備、不充分，卻各自抓住了渦的某個方面的特征。一個好的渦定義應當把這些特征有機地整合起來。關鍵詞是管狀、強旋轉。需要把“肌腱”這種形象化的描述改造成精煉而完整的物理理論概念，即進一步闡明什么樣的細渦量管能“升級”成流體運動的肌腱。而為此就得解釋它們從何而來、到何處去的動力學來源與演化。同時，作為管和“肌腱”，就只能包括“軸狀渦”。有了好的定義之后，發展量化的識別判據就有了明確的目標和方向。

總之，渦量場的無散性和H1是任何旋渦必備的獨特運動學形態，但基于渦量管的純運動學渦定義并不充分，還必須體現旋渦作為流體運動肌腱的獨特動力學功能，而只顧及動力學功能而不顧H1的定義也是不充分的。因此，定義旋渦的總體目標應當是：(1) 能將體現其管狀的運動學形態與肌腱的動力學功能有機統一；(2) 能以統一的方式覆蓋經典渦動力學業已成熟的結果，并且指引對湍流中復雜渦狀結構及其相互作用的識別。

下面是我們沿著這個總體思路的一個初步探索。本文所用的論證材料大多可在Wu et al.[1，9]中找到。

2 有效無黏流：從面渦到旋渦

先從雷諾數趨于無窮的有效無黏流說起。這時，渦量場的基本形態是無限薄面渦(vortex sheet, 或稱渦片)，即切向間斷面。可能是Prandtl最早提出了面渦會卷繞成軸狀旋渦的思想。Kaden (1931)[17]首先用二維流證明，一個有邊界的面渦，如果它在邊界上的渦量是非零有限值，就會“誘導”面渦迅速卷繞成很緊并不斷伸長的旋進(spiral in)單螺旋結構。隨卷繞層數增加、層間距離和每層面渦的強度趨于零，這個結構的橫截面形成卷緊的閉圈(圖3)。

這種機制已由大量實驗證實。據此，Betz[18]令人信服地論證：在外無界的小黏性不可壓流體中，旋渦只能來自面渦卷繞。 他先假定，如果在靜止流體中搓一根細圓柱令其旋轉，最后把圓柱取出，那么在無限大雷諾數下旋轉圓柱得用無限大的時間才能完全帶動流體轉動，而且其動能需要無窮大的功率輸入。而事實是一塊平板一動，邊緣就搓出面渦，快速卷繞而成旋渦。Betz的這個論證解釋了從飛機到昆蟲的定常與非定常空氣動力學中遇到的各種旋渦的形成。從Krasny(1987)[19]發明消除奇異性的數值研究開始，這些螺旋狀結構已經被陸續用不同的方法證實，數值方法先是針對二維流，后來拓展到軸對稱流和一般三維流。

圖3 一端有界的面渦卷繞，(Betz, 1950[18])Fig.3 The rolling-up of a semi-infinitely extended vortex sheet (Betz, 1950[18])

此外，人們還從實驗、理論和計算中發現，一個兩端無限長的平直面渦，也會因Kelvin-Helmholtz不穩定性而非線性地形成旋進-旋出(spiral in and out)的雙螺旋結構，而形成一個渦列(圖4)。在一般的情況下，二維面渦的這種自誘導性質服從高度非線性的Birkhoff-Rott奇異積分-微分方程。值得強調的是，面渦卷繞成集中渦這個機制，是在Helmholtz的工作70多年之后發現的，代表了人們對渦結構認識的重要進展。

圖4 受擾無限長面渦因Kelvin-Helmholtz不穩定性和自誘導而發展成卷繞渦列(Krasny, 1988[19])Fig.4 The evolution of disturbed infinitely extended vortex sheet into rolled-up vortex array due to Kelvin-Helmholtz instability and self-induction (Krasny, 1988[19])

對三維流，一個軸狀渦一旦形成，背景流場沿軸向的加速度就會導致渦的拉伸而使其所含的擬渦能指數加強。這是獨立于卷繞的另一個強化旋渦的運動學機制。浴盆中攜帶渦量的流體在出口處由于重力加速度的拉伸作用而形成的浴盆渦就是這種機制的一個簡單而常見的例子。更重要的典型例子，是積雨云中由斜壓效應產生的強烈翻滾的有旋流體由于上冷下熱的強對流而拉出的龍卷風(圖5)。在地面上的飛機發動機形成的小型龍卷風狀旋渦也源于類似的機制。這種熱對流和地球旋轉的科氏力與風切變的相互作用，還能形成更大尺度的臺風甚至颶風。

圖5 積雨云和龍卷風[20]Fig.5 Cumulonimbus and tornado[20]

連續性方程的運動學效應和動量方程不同分量間耦合的動力學效應顯示，渦的軸向拉伸往往伴隨著向心的徑向速度，導致周圍流體被卷并到旋渦中而形成動能的集聚，使旋渦成為流動的組織者。這正是渦之所以成為流體運動的肌腱的重要原因。當然，渦的軸狀運動學形態也正是筋與肌肉的形態。

在湍流中,渦因拉伸而加強只是個大概率事件，有時也會因相反的軸向加速度導致軸向收縮、旋渦變粗和渦量密度減弱。但沿軸向擠壓一根細橡皮棍最容易導致的結果是，一個微小的非軸對稱擾動就把皮棍擠彎；同樣，在有軸向擠壓的背景場中，旋渦發生彎折也是比它單純變粗的概率大得多的事件。只要把一條直渦絲彎成U狀，其兩條平行反號的腿所誘導的動能必定大為減小。因此，Chorin (1994)[21]指出：由于能量守恒，渦的拉伸必然伴隨著它的彎折。在渦絲動力學中，彎折的渦絲要沿副法線方向運動，主控方程是局部誘導近似的非線性薛定諤方程。而渦絲的拉伸和彎折本身則涉及非局部自誘導和背景流效應，主控方程是更復雜的積分-微分方程 (Wu et al. 2006, 401-407；413-418)[9]。

現在，如果我們把圖4那個最初平直的無限長面渦換成復雜的曲面，并把流動換成三維的，則可以想象這樣的不穩定曲面也大量存在于圖5的積雨云內部的湍流中。這里既有面渦的卷繞效應，又有軸狀渦的拉伸效應和折轉效應，其復雜程度可想而知，而在低空顯得極為強烈的龍卷風，也只是這龐大的積雨云的一個小尾巴，是個有一定概率的事件。

值得注意的是，在有效無黏流中，面渦卷繞的最終結果不會是閉合渦量管，而是無限多層緊密卷繞的螺旋結構，它和渦量管的拓撲性質還是不同的，所以H1用不上。另一方面，這個螺旋結構的軸心是條直徑無限小的奇異線，那里的周向速度和動能趨向無窮大。如果奇異線是彎曲的(通常必然如此)，它還會有無窮大的自誘導速度。這兩個問題只能靠引入黏性才能解決，討論如下。

3 黏性的作用和Moore-Saffman尾渦模型

真實的流體都有黏性，引入黏性表明問題進入了動力學。黏性有幾個方面的作用。首先，面渦變成有限厚度的剪切層，但這個厚度必須足夠薄才能使剪切層發生卷繞。剪切層這樣的結構只在小黏性流體或大雷諾數流動中才出現。這是旋渦出現的一個必要的動力學條件。其實縱場的結構也是如此。很黏的流體既沒有旋渦，也沒有長程聲波和激波。換言之，縱橫場的結構都是由大雷諾數動力學過程決定的。

黏性的第三個作用，是不僅使Helmholtz第2、第3渦量管定理失效，而且在抹光卷繞面渦軸心的奇異性的同時，也使管狀渦核失去了清晰的外邊界面。所以，這樣得到的旋渦，乃至于渦量場本身，本性上就是沒有清晰外邊界的黏性結構，正如邊界層和自由剪切層沒有清晰的外邊界一樣，有的只是指數衰減的“尾巴”(所以邊界層厚度的定義不唯一)。順便提一句，黏性激波層也是這種物理上緊致的結構，但激波層沒有自誘導，不會卷成螺旋而已。這樣一來，我們不得不承認，渦核的外邊界是個有限厚度的“外殼”，大體上對應于從核內切向速度單調增長轉變成在核外勢流中代數衰減的過渡層(參見圖7a)。Saffman在和本文第一作者的一次交談中(約為1994年)也承認，他把渦定義為無旋流包圍的有旋流體，只適用于無黏流，在黏流中渦量場沒有清晰的外邊界。下面，我們姑且把作為渦核外邊界的有限厚度的“外殼”稱為準渦量管。這里重要的是，在準渦量管內必存在滿足H1的嚴格渦量管，在每個瞬間其環量沿管不變。

為了具體理解在黏性流體中渦層卷繞成軸狀渦并形成光滑渦核的過程，不妨回顧Moore和Saffman (1973)[22]根據Kaden相似律，針對飛機尾渦結構提出的飛機尾渦模型(簡譯MS模型)。尾流面渦從后緣起的三維定常卷繞過程可按x?Ut化簡為一個橫流截面上的二維非定常問題。首先考慮初始時刻在(x,y)平面上的一個位于從機翼左端起y>0的半無窮大平直面渦，強度分布為γ0(x)～y-n,n∈[0,1] (n=0.5代表環量有橢圓分布)。則這個面渦會因自誘導而迅速卷起， 在極坐標(r,θ)下可用量綱分析證明卷緊的結構服從Kaden相似律 (β是個常數):

Moore和Saffman用漸近匹配展開證明，尾渦有個三層狀的核結構：最外層是松散的無黏卷繞面渦，可用Kaden相似律定義一個核半徑a0;內層是黏性子核以消除切向速度的奇異性，半徑為avis；中間是從卷繞面渦過渡到黏性子核的光滑無黏區，其外邊界為asm。見圖6。

圖6 Moore-Saffman尾渦模型的核結構Fig.6 Core structure of Moore-Saffman trailing vortex model

MS模型包含了軸向壓力梯度引起的拉伸-收縮作用。據其算得的尾渦周向速度V與軸向速度W的剖面取決于機翼載荷參數n(見圖7)，該參數決定著軸向流的分布和正負號(射流型還是尾流型)。這個模型的預測結果已被一些實驗所證實。

當然，MS模型不能直接搬用到其他旋渦上。但是其定性的物理特征具有普遍意義。首先，它體現了Betz的論斷，即只有小黏性流體中的渦層卷繞才能形成旋渦；其次，它證實構成旋渦的閉合渦量管不是任何運動學意義下的渦量管，而是渦層卷繞與黏性擴散相抗衡的產物，由于卷繞過程把大片面渦攜帶的渦量集聚到狹小的管狀區域內，這種渦量管的渦量的確有流體運動肌腱的強度。在t=O(1)時，黏性子核半徑avis=O(Re-1/2) 處的切向速度達v=O(Re1/2)。由于周向速度和軸向速度的動力學耦合 (參見Wu et al. 2015, Eq. (6.4.8))[1]和質量守恒, 這種強渦量管能把周圍流體卷吸過來而成為動能高度集聚的結構。第三，H1對光滑核內的流體成立，這對于旋渦定義是十分必要的。對于橢圓載荷分布，在t=O(1)時光滑核半徑為asm=O(Re-1/5), 其內有閉合渦量管。第四，它揭示了卷繞之前的剪切層強度分布對整個旋渦性態的影響。這些特性是旋渦的大多數理論模型所沒能做到的。值得一提的是，在湍流級串過程中，這種卷繞結構也是小尺度間歇性的來源。Lundgren (1982)[23]首次證明，帶旋臂的拉伸渦模型的系綜平均具有-5/3的能譜。與此相反，由于湍流研究中構造的各種渦判據只能辨識軸狀結構，都不可能揭示剪切層卷繞成渦的過程，必然對MS模型和Lundgren模型掐頭去尾。

(a) 周向

(b) 軸向

4 旋渦的一個動力學定義

作為對以上三節討論結果的概括，如果要寫一個“旋渦”的詞條，我們可以試著給旋渦下一個新的動力學定義：

旋渦，或簡稱渦，是有旋流體在各種運動學效應和大雷諾數動力學效應下，通過剪切層卷繞和渦量拉伸自組織成的管狀結構。它們在流體運動中導致動能向其周圍的高度集聚，起著肌腱的作用。

如果再多說一點，可以加上：其光滑渦核中的渦量管滿足Helmholtz第一定理，在其自身演化和與其他流動結構相互作用的過程中，每個旋渦都經歷從生成到消亡的過程。

這個定義排除了Helmholtz-Lamb基于渦量管的運動學定義所過多包含的東西，而添加了作為流體運動肌腱的動力學機制，包括黏性的必要性。定義本身無需列入各種運動學和動理學的具體效應以及它們發生的具體條件和流動參數范圍。這些具體化的分析是需要在詞條的定義之后闡明的。我們期望，基于這些分析，能夠證明這個定義涵蓋了過去150年來所有人們稱之為旋渦的橫場結構的共同特征，包括航空航天、流體機械、風工程、大氣、海洋等自然界和工程技術領域遇到的旋渦和湍流中的渦。否則，定義還需修改。

在本文第一作者過去的論著中，曾或隱或顯地把旋渦分類成層狀渦，即剪切層和軸狀渦。現在看來這個分類不妥，因為沒有卷繞的層狀渦不具有管狀結構。除非硬把剪切層中的任何運動學意義下的渦量管都算進去，否則它與Helmholtz三定理無關。上述定義廓清了剪切層和旋渦之間的因果關系，把前者視為旋渦形成前的結構形態看來更為貼切。換言之，上述旋渦的動力學定義只適用于軸狀渦。

值得強調的是，這個動力學定義并不要求旋渦必須閉合成環。一個非環狀旋渦可以只有有限長度，在其一端或兩端打開成非卷繞或弱卷繞的剪切層。一個重要的典型例子是圖4的龍卷風，其底部和頂部散開，渦量線在底部折向，平行于地面進入邊界層，渦量管呈喇叭狀擴大；在頂部拐進猛烈翻滾的復雜云層。正是這個底部和頂部的邊界條件決定了大氣剪切層為何能卷繞成龍卷風，而這個過程迄今也沒徹底澄清，使得龍卷風的預報仍是個難題。另一個例子是機翼前緣渦，它由前緣分離的剪切層卷繞而成, 有上游端；在下游遇到后緣附近的逆壓梯度會經歷高度非線性的失穩過程突然破裂、散開，并轉捩成湍流，故也有下游端。這也是一個有限長的旋渦。這種有限長旋渦的兩端演化在傳統模型中是無法描繪的，上述定義應當有助于推動人們更多地關注旋渦形成或終結的過程。軸狀渦的這種有限長度，也使只能識別軸狀渦的所有判據不可能分辨渦的來龍去脈。

有件事需要解釋：因為允許渦量管打開成非管狀的渦量面，在大多數實際情況下幾乎無法實際檢驗構成有限長旋渦的所有運動學渦量管，包括它們在旋渦端部的延伸，是否滿足H1。對這個困惑有個簡單的回答——不必檢驗，只要真正抓住了渦量線、渦量面和渦量管，知道H1在理論上必然滿足就夠了。再去檢驗H1就有可能不必要地陷入復雜的幾何拓撲問題，而這些純幾何的復雜性并不影響本文關于渦定義的討論。

作為一個一般的概念定義，上述渦的動力學定義應能涵蓋所有的旋渦，既包括湍流中復雜的旋渦，又包括空氣動力學、地球流體力學等領域觀察到的孤立旋渦，所以也需要受到這兩類領域典型事例的檢驗。其實，這個動力學定義本來就是對經典旋渦理論與實驗結果的概括，可以認為它已經得到了這類事例的檢驗(若有差誤，定義還應修改)。目前需要進一步做的，是用湍流中的復雜渦狀結構來檢驗它。在這種檢驗過程中，人們已經遇到經典孤立旋渦案例所觀察不到的若干新現象需要解釋，例如渦對的重聯；也還將會繼續發現新的現象，如渦相互作用引起的級串(Yao & Hussain, 2020[24])。這些發現都將導致渦動力學的豐富和繼續發展。

5 渦量面理論的意義

為檢驗第4節的動力學定義，對計算/實驗流體力學(CFD/EFD)方法有個基本需求——能跟蹤大雷諾數下薄剪切層的拉格朗日演化與擴散，及渦量管的拉伸、折轉與相互作用。更一般地說，至少對低馬赫數流，需要CFD/EFD具有模擬復雜流場中渦量的產生及其運動學-動力學演化和相互作用的能力。對經典旋渦案例來說，這個需求已可滿足，但尚無系統的驗證。而對湍流中的復雜結構，還需要CFD/EFD有進一步的重大發展。

前面提到的面渦即切向間斷面這個簡化概念，在有限的大雷諾數下變成剪切層或渦層，而一個渦層無非是一族無限多個渦量面，它們的動力學(運動學和動理學)演化完整地刻畫著渦層的演化，包括其可能的卷繞成旋渦的過程。在CFD中，一個渦量連續分布的剪切層總要離散化為一族強度足夠小的面渦，每個這樣的面渦就是一個渦量面，其中最需要關注的是代表穩定性理論判定的最早失穩的臨界層的那個渦量面。因此，對典型渦量面演化過程的DNS研究，開辟了對各種相干結構給出統一物理解釋的重要方向。這個研究方向始于Yang & Pullin (2010)[25]。

這個方向近10年來取得了可觀的進展。Zhao等(2016, 2018)[26-27]初步算出了邊界層中精心選定的初始平直渦量面如何在適當擾動下失穩而拱起來并逐步卷成準周期發卡渦列的過程；槽道流中上下壁面形成的發卡渦如何相互作用而重聯；發卡渦的尾部如何形成“條帶”結構；多個發卡渦的后期演化如何導致“猝發”和“湍斑”，等等。這就初步實現了原來的各種碎片化認識在理性基礎上的統一。的確，由于對剪切層和旋渦相互關系有清晰的表述，上述旋渦的動力學定義在追蹤渦量面演化的過程中得到了很好的印證。發卡渦就是開放渦量面卷成的有限長旋渦。它的頭和腿是卷緊的旋渦，腳是開放渦量面。

我們說“初步”，因為只跟蹤了極少數渦量面，其行為未必能代表該渦量面所屬的整個剪切層(剪切層的邊緣也是模糊的)；而且黏性擴散使渦量面不能保持為同一物質面，數值上準確追蹤這樣的渦量面非常困難。盡管現在誤差可控制在5%以下，但它在復雜湍流中或許有時足以使追蹤偏離到另一個渦量面上去了。由于這些局限，目前渦量面理論的計算結果尚未非常清晰地解讀湍流中復雜渦結構的相互作用圖景。但無論如何，渦量面理論開辟了一個回歸到渦量動力學的正確方向，其今后發展應注重描述代表剪切層的一族渦量面。事實上，Zhao等(2018)[28]已作出一定嘗試，即利用體渲染的方法繪制一族渦量面來顯示轉捩中復雜的湍斑結構，如圖8所示。

圖8 用一族渦量面算出的發卡渦列的形成與演化[28]Fig.8 The formation and evolution of a series of hairpin vortices, computed by a set of vorticity surfaces[28]

6 結 語

旋渦是流體運動橫過程的典型結構，其發生和演化過程及其對整個流動的影響，應當根據而且只能根據渦動力學(關于橫過程及其與縱過程相互作用的理論)來解釋。其定義也必能在渦動力學框架內改進和完善。本文提出的動力學渦定義方案是這個信念下的一個嘗試，和CFD中渦量面理論的概念與方向相契合，也應對渦量面理論的未來發展有所啟示。

致謝:感謝高安康博士對本文初稿的有益討論。