不可壓壁湍流中基本相干結構

楊 強, 袁先旭,2,*, 陳堅強,2, 涂國華

(1. 中國空氣動力研究與發展中心 空氣動力學國家重點實驗室, 四川 綿陽 621000；2. 中國空氣動力研究與發展中心 計算空氣動力研究所, 四川 綿陽 621000)

0 引 言

壁湍流廣泛地存在于自然界中，早在500多年前，意大利畫家達芬奇便在他的畫作中記錄了這一復雜的流動現象。長期以來人們認為壁湍流是雜亂無序的，直到1967年，斯坦福大學Kline等[1]采用氫氣泡示蹤法證實了壁湍流中存在近似規則的低速條帶結構(Streaks)，如圖1。這些條帶結構在往下游演化的過程中會發生擺動，然后急驟破碎，進而伴隨大量雷諾應力的產生[2]。Kline等將這一過程命名為“猝發”(Bursting)。

圖1 氫氣泡示蹤的近壁條帶結構[1]Fig.1 Hydrogen bubbles visualized near-wall streaks[1]

到1981年，Head和Bandyopadhyay[3]采用煙線示蹤方法發現了壁湍流邊界層中的流向渦結構。它們依形態分有發卡渦、馬蹄渦、Ω渦等，分別對應于湍流演化的不同階段和不同區域[4]。這其中最常見的就是發卡渦結構(如圖2)，它由正向和反向旋轉的兩條渦腿及頭部組成，實際壁湍流中以不對稱的形態為主，即通常無頭部且只出現一條渦腿。同時發卡渦也可以抱團形成更大的渦包[5]。

圖2 直接數值模擬的發卡渦結構[6]Fig.2 Hairpin vortex structures from DNS[6]

1 湍流結構的自相似

過去一個世紀的壁湍流研究中最大的發現之一是壁定律[7-8]，即湍流邊界層包含黏性子區(y+<5)；緩沖區(530，y/δ<0.3)。這個分區主要是從流向平均速度剖面的標度來界定的；如果從流動的特征尺度來分，壁湍流邊界層亦可分為內區(y/δ<0.1)、外區(y+>50)和介于二者之間的對數區。不同的區域存在不同的特征長度：內區的特征長度為黏性尺度ν/uτ，外區的特征長度為δ，而對數區的特征長度為壁面距離y。由上面的定義可以看到，對數區的下界是由黏性尺度決定的，而上界是由外區尺度決定的，當上下界有一個量級的差別，大約在Reτ=O(103)時，內區尺度和外區尺度開始出現明顯的分離，對數區才變得清晰起來。因此對數區的存在是高雷諾數壁湍流特有的現象。然而長期以來，受限于實驗測量條件和計算機運行速度，20世紀研究的絕大部分充分發展壁湍流均在Reτ=O(102)量級，比如Kim等[9]在1987年開展的首個壁湍流的直接數值模擬(DNS)雷諾數為Reτ≈180，并成為了充分發展壁湍流的標準數據庫被廣泛應用。由于過去研究的雷諾數不夠高，對數區不夠明顯，以致關于卡門常數κ究竟是不是常數成為爭論的熱點[10-11]。

Townsend[12-13]較早意識到壁湍流的對數律暗示著壁湍流中存在一系列大小與其中心離壁面距離成正比的附面渦結構，并給出了壁湍流中最早的統計模型(雙錐模型，如圖3)。通過假設湍流邊界層中具有一系列不同大小的附面渦且它們具有相似的速度分布，Townsend成功地導出了無窮大雷諾數下流向平均速度的對數律，同時他還預測在無窮大雷諾數下壁湍流的流向和展向速度脈動也存在對數律，而法向速度和雷諾應力為常數。這一預測結果后來得到了實驗[14-15]和DNS[16-17]的證實。Townsend的附面渦模型(AEM)后來得到進一步發展[18-20]，Marusic & Monty[21]最近對這方面的工作進行了綜述。需要指出的是Townsend的附面渦只是統計意義上抽象的湍流相干結構模型，它可以包含實際觀察到的條帶和流向渦結構。

圖3 Townsend提出的壁湍流中的雙錐模型[13]Fig.3 Double-cone model for wall-bounded turbulence proposed by Townsend[13]

Townsend的附面渦模型與Richardson[22]的能量級串具有一定的相似性。能量由最大含能渦進入系統，然后經過慣性子區尺度間能量的逐級傳遞，最終至Kolmogorov尺度完成能量耗散[23]。對于壁湍流，這種能量級串的過程發生在不同的壁面高度。由于壁面的約束，使得不同的壁面高度處的含能尺度和耗散尺度隨高度發生變化。Jiménez[24]分析了高雷諾數壁湍流中的湍動能譜和耗散能譜，發現含能尺度和Kolmogorov耗散尺度隨著高度增大而增大，而且兩個尺度間的分離也隨高度增加而增加，表明在更高的壁面位置需要經歷更長的能量級串歷程(如圖4)。大部分能量在其生成高度完成耗散，但由于不同壁面高度處相干結構間的相互作用，能量也沿壁面高度發生傳遞。Townsend的附面渦模型反映了這一含能尺度的分布規律，同時，由于附面渦尺度隨壁面距離發生變化，同一附面渦在較低高度是含能尺度，但在較高高度卻可能也是慣性區尺度。

圖4 壁湍流中沿壁面高度的能量生成與耗散能譜[24]Fig.4 Energy production and dissipation spectra along wall-normal distance in wall-bounded turbulence[24]

1.1 近壁區

圖5 壁湍流中條帶和流向渦結構示意圖[26]Fig.5 Schematics of streaks and streamwise vortices in wall-bounded turbulence[26]

Willmarth等[30-32]對壁湍流中的雷諾應力-u′v′進行了象限分析，依(u′,v′)的符號將雷諾應力分為Q1、Q2、Q3和Q4事件。旋轉的流向渦在一側將近壁的低速流體帶到遠壁區，形成上拋(Ejection)，對應Q2事件；而在另一側將遠壁面的高速流體帶到近壁區，形成下掃(Sweep)，對應Q4事件。Q2和Q4事件是壁湍流雷諾應力的主要貢獻者，且靠近壁面區(y+<12)由Q4事件主導，而遠離壁面區由Q2事件主導[9]。這兩個事件直接造成流向速度的法向梯度增加，形成壁面的高摩阻區域[33]。圖5給出的條帶和流向渦相干結構的分布能夠很好地解釋壁湍流中包括上拋和下掃在內的諸多實驗觀測到的現象。

1.2 遠壁區

隨著實驗和計算技術的不斷進步，壁湍流研究的雷諾數也在不斷提高，如直接數值模擬的最高雷諾數已從Reτ=180上升到Reτ=8000[9,16-17,27,34-36]，實驗雷諾數目前最高已達到Reτ=O(106)量級[15,37]。從湍流統計量來看，高雷諾數湍流中最直觀的反映是：湍流脈動量和能譜分布中除了內區峰值外，在外區也出現了一個新的峰值，且外區峰值能量隨雷諾數增加逐漸升高(如圖6)[38]。這一現象預示著高雷諾數湍流中外區相干結構的作用不容忽視，因此自上世紀末它們成為壁湍流研究新的熱點。

圖6 流向速度脈動的一維預乘譜和統計平均量[39]Fig.6 One-dimensional pre-multiplied spectra and statistical mean of streamwise velocity fluctuations[39]

實驗中很早就觀察到在邊界層的外緣存在大尺度的湍流結構，它們將邊界層的湍流區和層流區沿法向分開，其大小為O(δ)量級[40]。Meinhart[41]通過PIV測量發現湍流邊界層遠壁區存在均勻的流向速度動量區，與近壁區的條帶結構類似，但流向尺度為2δ～3δ，展向尺度為1δ～1.5δ，這一結構被命名為大尺度結構(LSM)。接著，Kim & Adrian[42]在Reτ=3175圓管流動測量中發現遠壁區除了長度為2δ～3δ的大尺度結構外，還存在長度為14δ的超大尺度的湍流結構(VLSM)。Hutchins & Marusic[38]分析Reτ=O(106)大氣邊界層數據，也發現遠壁區存在20δ的超大尺度結構，并將其稱為超結構(Superstructures)。dellamo & Jiménez[43]對Reτ=550泊肅葉流動的DNS數據庫分析發現其中存在長度大于5δ的超大尺度結構，且在更高雷諾數下變得更為清晰(如圖7)[44]。Monty等[45]對平板邊界層流動、槽道流動和圓管流動中的大尺度/超大尺度結構進行了綜合比較，發現大尺度/超大尺度結構廣泛地存在于這些典型流動的對數區和外區(遠壁區)。

圖7 高雷諾數壁湍流中的超大尺度結構[44]Fig.7 VLSM in high Reynolds number turbulence[44]

遠壁區的這些大尺度/超大尺度結構在統計意義上存在自相似性[46-52]，與Townsend的附面渦模型描述情形一致。關于遠壁區大尺度/超大尺度結構的形成，Adrian 等[53]結合實驗觀測結果給出了解釋：大量的流向渦聚集在一起會形成更大的渦團(如圖7)，渦團的上拋和下掃形成了大尺度的均勻動量區，而多個均勻的動量區又會進一步聚集形成更長的均勻動量區，即所謂的“Bottom-up”效應。但最新數值實驗表明，外區的大尺度結構可以不依賴近壁的小尺度結構而單獨存在[54-55]，因此“Bottom-up”可能并非遠壁區大尺度/超大尺度結構生成的機制，后面將繼續論述這一點。

高雷諾數下，遠壁區的這些大尺度/超大尺度結構對近壁區的動力學和統計學行為有著重要影響，主要表現為“疊加”(Superposition)和“調制”(Modulation)兩種作用[39,56-57]，即所謂的“Top-down”效應。由于大尺度/超大尺度結構的存在，近壁區的湍流速度脈動的峰值即便在黏性尺度下也不是固定不變，而是隨著雷諾數升高不斷增加[58-59]。這些大尺度/超大尺度結構對壁面摩阻有著重要貢獻，在Reτ≈2000時貢獻率已達20%～30%[60]。遠壁區的大尺度結構對近壁區的小尺度結構的幅值、頻率、相位、對流速度等均有影響[39,59,61-65]，且高速大尺度結構和低速大尺度結構對近壁區小尺度結構產生的影響是不同的[66-68]。據此，Marusic等[69-71]提出了一種近壁流動參數的預測模型，僅通過測量遠壁區流動量便可預測出近壁區的流動參數(如圖8)。然而，Toh & Itano[72]認為近壁區的小尺度結構與遠壁區的大尺度結構間的作用不是單方面的，而是相互依存影響的，即所謂的“Co-supporting”機制。目前，內外區不同尺度間的相互干擾仍是一個尚無共識的領域，有待進一步探索。

高雷諾數壁湍流是一個剛剛興起的研究熱點，里面有許多新的物理現象和開放性問題[73]，感興趣的讀者可以參考最近的綜述文章[5,24,37,74-76]。

圖8 內區和外區湍流結構相互作用[69]Fig.8 Interaction between turbulence structures in the inner and outer regions[69]

2 湍流結構的自維持

Mizuno & Jiménez[80]研究槽道湍流時人為地將壁面移除，在對數區施加約束條件，發現近壁區的湍流結構消失了，但對數區和外區的湍流結構和統計量幾乎沒有受到影響。這一結果說明，壁面的存在僅僅是提供湍流生成所需的平均速度剪切，且對數區的相干結構可以不依賴于近壁區相干結構獨立存在。Hwang & Cossu[81]對此作了進一步證實。他們在對數區MFU中人為提高大渦模擬的Smagorinsky渦黏系數CS以抹去近壁區的湍流結構，發現對數區的湍流結構仍然能夠自維持。Hwang & Cossu[54]在大槽道中采用同樣的方法將近壁區和對數區的湍流結構都人為抹去，發現外區的大尺度湍流結構仍能自維持。由此說明壁湍流結構在各個壁面高度都能獨立存在——壁湍流的自維持現象。

為了探尋壁湍流自維持的機理，Hamilton等[82]基于庫特葉流動的MFU率先對緩沖區進行了研究，提出了壁湍流自維持的閉環(如圖9)。這個過程描述如下：1. 由于“Lift-up”效應，流向渦激發出流向均勻的條帶結構(線性過程)；2. 流向均勻的條帶由于瞬態增長或二次失穩變得蜿蜒最終破碎；3. 具有流向梯度的流場在非線性作用下生成流向渦(非線性過程)。湍流的自維持將前面實驗和計算中所觀察到的條帶和流向渦緊緊地聯系在了一起，兩者互相依存，缺一不可。最近發現，緩沖區的自維持過程同樣也適用于對數區和外區湍流相干結構[55,83],破壞三個環節中的任何一環都會造成流動的層流化。圖10展示了對數區MFU中的一個典型的自維持過程。最近，Yang等[84]發現自維持過程也可以在Kolmogorov尺度上發生，但是此過程的能量生成量相對于能量級串過程的能量傳遞量是很小的。

圖9 湍流自維持過程的閉環[82]Fig.9 Cycle of the self-sustaining process of turbulence[82]

圖10 對數區的自維持過程[83]:(a,b)流向和法向速度脈動能量隨時間的演化；(c-f)典型時刻的條帶和流向渦結構Fig.10 SSP in the logarithmic region[83]： (a,b) time evolution of streamwise and wall-normal velocity fluctuation energy; (c-f) streaks and streamwise vortices at typical instances

基于Townsend的附面渦模型，最近Hwang[50]提出了一個適用于內區、對數區和外區的湍流相干結構的統一框架：在給定壁面高度y，存在尺度為λx≈10λz，λz≈10y的條帶(流向速度脈動量)和尺度為λx≈2～3λz，λz≈1～2y的流向渦結構(法向和展向速度脈動量)；對于近壁區，y=10ν/uτ；對于外區，y=δ。每個壁面高度的條帶和流向渦形成自維持的閉環。實驗和計算中觀察到的LSM和VLSM可以分別看作是外區的流向渦和條帶結構。

2.1 條帶的生成

(a) 內區

(b) 外區[101]

2.2 流向渦的生成

流向渦的生成主要有兩類解釋[105]：一種是“Parent-offspring”機制；另一種是條帶不穩定性(“Streak-instability”)機制?！癙arent-offspring”機制更具有唯象性，需要預先有流向渦存在；而條帶不穩定性機制是基于穩定性理論，不需要預先有流向渦存在，但需要有條帶存在。

Brooke & Hanratty[106]通過觀察展向和法向二維渦截面，發現流場中的流向渦通過下掃在壁面生成流向渦量進而演化成新的流向渦，類似于偶極子渦在壁面的反彈過程[107]。然而現在的研究更多地發現壁面的存在并不是壁湍流自維持所必需的[80]，說明基于壁面的渦生成機制不是主要的。Zhou等[108]通過直接數值模擬觀測到當流向渦超過一定的強度后，會在邊部生成新的二次流向渦，然后二次流向渦又會生成新的三次流向渦。

從湍流自維持的角度，條帶不穩定性機制更被接受。飽和的條帶具有不同的失穩模態：反對稱模態的失穩對應著交錯排列的流向渦結構；對稱模態的失穩對應著發夾渦結構，其中反對稱模態失穩更為常見[109-110]，也更為危險[111]。Schoppa & Hussain[112]詳細討論了基于當地穩定性理論的飽和條帶失穩形成流向渦的過程。Schoppa & Hussain[86]發現湍流中實際滿足失穩條件的條帶所占比例很小，大部分條帶是通過瞬態增長途徑實現失穩的，稱為條帶的瞬態增長(STG)機制。圖12展示了通過STG生成的流向交錯排列的流向渦，與DNS結果十分類似(見圖5)。

圖12 STG生成的流向渦[86]Fig.12 STG generated streamwise vortices[86]

3 精確相干態

意識到湍流中的自維持后，Waleffe[110,113]嘗試獲得一個簡化的數學模型來描述這一過程。他將滑移壁面條件下的N-S方程分解成流向速度部分(條帶)和法向、展向速度部分(流向渦)。由于流向均勻的條帶無法失穩形成流向渦，因此引入一個人為的體積力以維持流向渦。然后，Waleffe[113]逐漸降低體積力的大小至零，發現由于非線性的作用系統中出現了兩個自維持的狀態。Waleffe[114]進一步將這兩個自維持態延拓到無滑移壁面條件下，獲得了泊肅葉流動中的首個N-S方程的非線性解(又稱不變解，見圖13)。這一非線性解具有蜿蜒的流向條帶和伴隨兩側的流向渦結構，以一固定的相速度向下游傳播(行波解)，在相對坐標系下解的結構不發生變化，與Jeong等[26]從DNS湍流場提取的湍流相干結構(見圖5)極為相似，因此這個非線性解被普遍認為是對湍流的自維持過程的精確描述[75]。鑒于此，Waleffe率先將這個非線性解命名為精確相干態(ECS，又稱精確相干結構)[114]。從動力系統的角度看，ECS的種類有很多，包括湍流的平衡態、行波解、周期軌道及其包絡等，湍流即是在這些ECS間穿梭[115-116]。Jiménez等[87]將ECS和MFU及全尺度湍流近壁區的統計量和猝發特征進行了比較，發現ECS可以作為一個簡化的系統進行湍流研究。

圖13 泊肅葉流動中的ECS[114]Fig.13 ECS in Poiseuille flow[114]

將ECS沿雷諾數進行延拓就可以獲得一條分叉曲線，轉折點為鞍-結點，是下支的鞍點與上支的結點匯聚的地方。在給定雷諾數下，上支ECS摩阻比下支ECS高很多，流向渦強度更大、條帶更蜿蜒[114]。從動力系統角度看上支ECS是湍流區的平衡態/準平衡態，湍流運動軌跡在它附近停留一段時間后再沿其不穩定包絡轉移到另一個平衡態/準平衡態。下支ECS位于湍流與層流的分界面(Edge of Chaos)，至少有一個不穩定的特征方向，從一側施加擾動可以快速地到達湍流區，而從另一側施加擾動可以快速地到達層流態(如圖14)。如果下支ECS有且只有一個不穩定的特征方向，它也被稱為邊界態(Edge State)[117]?？梢?，ECS不僅是充分發展湍流里的基本相干結構，它也是轉捩過程中的基本相干結構。需要指出的是，真正意義上的首個ECS是Nagata[118]分析庫特葉流動的亞臨界失穩時通過對泰勒-庫特葉流動進行同倫變換獲得的，隨后Clever & Busse[119]在研究熱對流問題時也通過同倫變換獲得了相同的解，它與Waleffe[114]從自維持角度發現的泊肅葉流動中的ECS是同一族解，統稱為NBCW解。同樣采用人為體積力的方法[113]，Faisst & Eckhardt[120]和Wedin & Kerswell[121]獲得了圓管流動中的NBCW解。這樣，ECS就將各種剪切流動中的充分發展湍流與轉捩過程統一在了同一分析框架中。由于ECS通常是不穩定的，實際流動中很難觀測到，但最終Hof等[122]通過精細的實驗首次在圓管中拍到了ECS，證實了精確相干態的真實性。

ECS是從湍流自維持的角度考慮N-S方程的非線性解，而實際中這樣含有流向渦與條帶的三維相干結構在其它的理論中也有發現。比如，Hall & Smith[124]研究無窮大雷諾數下T-S波與流向渦的非線性作用時，發展了一套渦波干擾(VWI)理論。通過VWI理論獲得的解其實是ECS在無窮大雷諾數下的漸近態[125]。McKeon & Sharma[126]將N-S方程的非線性作用視為一個隨機力效應，發展了湍流的Resolvent分析方法，可以較好地反映壁湍動中一系列的相干結構[76]。最近，他們發現只需要幾個Resolvent模態就可以構造出ECS[127-128]。

圖14 態空間內的邊界態示意圖[123]Fig.14 Schematics of the edge state in the state space[123]

3.1 全湍流區

Kawahara & Kida[129]獲得了庫特葉流動中的首個周期軌道，完整地再現了湍流自維持中條帶的生成破碎和流向渦的生長衰減過程(如圖15)。從相空間看，湍流在這個周期軌道上停留了大量的時間，因此僅此單個軌道周期內的統計量(平均速度和速度脈動均分根)就與湍流統計量十分吻合。Jiménez & Simens[130]在MFU中通過衰減函數移除外區某一高度Δ+以上的湍流結構后獲得了近壁區的低維度相干結構，與ECS十分相似：當Δ+>50時，此相干結構為一行波解；當Δ+>60，此相干結構為含有兩個頻率的周期軌道。Toh & Itano[131]采用打靶法發現了泊肅葉流動中的一個周期軌道。這個周期軌道是一個邊界態，由兩個典型的狀態構成：一個狀態只含有一個條帶；另一個狀態含有兩個條帶，兩個狀態的轉換對應了猝發過程。Kreilos等[132]在漸近吸氣邊界層中也發現了類似的非定常邊界態，并作了更細致的研究。低雷諾數壁湍流中像這樣的ECS已有大量報道[133-135]。

由于外區的湍流結構存在自維持[54]，Hwang等[136]嘗試尋找外區的ECS。他們在Reτ≈1000泊肅葉流動中采用過度提高Smagorinsky渦黏系數CS的方法分離出外區的大尺度結構，并以此作為二分法的初始流場，進而獲得了外區湍流的ECS。同樣地，上支解相比于下支解對應的條帶更蜿蜒，且流向渦強度更高(圖16)。

圖15 庫特葉流動中的周期軌道[129]Fig.15 The periodic orbit in Couette flow[129]

(a) 上支 (b)下支

圖16 外區的ECS[136]
Fig.16 ECS in the outer region[136]

圖17 法向局域化的ECS[137]Fig.17 Wall-normal localized ECS[137]

ECS可以具有不同的對稱性。NBCW解滿足平移-翻轉對稱性，對應于條帶的反對稱不穩定模態，因而獲得的ECS含有沿流向交錯排列的流向渦結構。Gibson等[135]通過在泊肅葉流動中引入不同的對稱性，獲得了一系列新的ECS。Itano & Generalis[145]和Deguchi & Nagata[146]獲得了庫特葉流動中具有展向鏡像對稱性的ECS，與發卡渦類似。Nagata & Deguchi[147]和Shekar & Graham[148]在泊肅葉流動中引入了展向鏡像對稱，也獲得了發卡渦形式的ECS。圖18展示了發卡渦形式的ECS[149]。

圖18 發卡渦形式的ECS[149]Fig.18 Hairpin-like ECS[149]

當然，N-S方程描述的是一個高維的動力系統，其中存在的ECS非常多，所幸的是典型ECS的不穩定包絡的個數并不太多，如果能夠找到所有的這些典型的ECS構成的湍流的骨架，那么湍流的動力學行為就能很好地得以描述了[115]。Kawahara等[150]對湍流中ECS的重要性作了全面的綜述。

3.2 轉捩區

從ECS的角度看，轉捩區湍流與充分發展湍流是相關聯的，二者統一于非線性的N-S方程，這區別于傳統的基于線化N-S方程的轉捩研究。對于典型的壁湍流，庫特葉流動和圓管流動是線性穩定的[151-152]，泊肅葉流動的臨界雷諾數是Rec=5772[153-154]。然而，通常實驗中在Re≈1000就會發生轉捩[155]。不可壓邊界層流動的臨界雷諾數為Rec=520[156-157]，當來流噪聲較高時實驗中也能觀察到較低雷諾數的轉捩。由于這些典型流動的轉捩雷諾數要低于線性穩定性預測的失穩雷諾數，因此稱為亞臨界轉捩；另外，由于這種轉捩過程沒有二維T-S波的增長過程，而是直接出現沿展向變化的條帶結構，因此也稱為Bypass轉捩[158]。這種轉捩途徑給傳統的基于小擾動的線性穩定性分析帶來了挑戰[159]。

從動力系統的角度看，流動可以看作由層流態經過一系列的Hopf分叉形成新的平衡態/準平衡態直至成為湍流，這也是早期Landau的觀點[160]。然而，研究發現亞臨界轉捩并不是源自層流態連續的Hopf分叉，而是源于前面敘述的NBCW解的鞍-結點分叉[161-162]。圖19顯示了庫特葉流動經過一系列的分叉(包括鞍-結點分叉、Hopf分叉、倍周期分叉和危機分叉)從NBCW解發展為湍流的過程。對于泊肅葉流動，存在二次平衡態[163-165]，其失穩雷諾數為Rec=2900[166-167]。Ehrenstein & Koch[168]基于此二次平衡態失穩獲得了三次平衡態，進而得到了更低的臨界雷諾數Rec≈1000，然而，這個三次平衡態的存在有可能是由于他們計算中過度的截斷誤差引起的虛假解[147]。進一步地，對于線性穩定的庫特葉流動和圓管流動，流動無法通過首次失穩獲得二次平衡態。為此，Cherhabili & Ehrenstein[169]將泊肅葉流動中的二次平衡態延拓到庫特葉流動中，發現其為展向均勻而流向局域化的孤立波形態；并基于此二次平衡態的失穩獲得了三次平衡態，同樣具有流向局域化特征，是不同于NBCW解的一族新的解。因此，從目前的認識來看，對于亞臨界轉捩，相對于層流態的直接失穩，湍流態更易源自鞍-結點分叉形成的ECS，也即Nagata所謂的無窮遠處的分叉。考慮鞍-結點分叉后，對于泊肅葉流動、庫特葉流動和圓管流動，其臨界雷諾數分別降低到Rec=977[170],Rec=125[104,118]，Rec=1250[120]，均與實驗觀測到的臨界雷諾數比較接近。

圖19 庫特葉流動中的亞臨界轉捩過程[171]Fig.19 Subcritical transition process in Couette flow[171]

鞍-結點分叉曲線下支的ECS(尤其是邊界態)與亞臨界轉捩最為相關，其條帶和流向渦的幅值與雷諾數分別滿足Re0和Re-1的標度率[125,172-173]，因此在高雷諾數下，來流中只需要很小的擾動就可以激發出自維持的ECS，進而使流動沿著ECS的不穩定包絡進入湍流。由此生成的湍流的生命周期隨雷諾數呈指數增長[174-176]。由于ECS廣泛地存在于各種剪切流動中[141-144,177]，這種轉捩途徑具有普適性，據此Cherubini等[178]提出了一條完全非線性的轉捩途徑(圖20)。實際流動中，非線性最優擾動是觸發湍流的最小能量種子(Minimum Seeds)[103,179-185]，它也是由條帶和流向渦構成，與邊界態非常接近。從動力系統的角度看觸發湍流的最小能量種子實際上是位于湍流與層流的邊界靠近湍流態的一側，在相空間里距離湍流態最近(圖20)；相對而言，線性最優擾動位于湍流與層流的邊界靠近層流態一側，因此其對湍流的激發效率要低于最小能量種子[103]。

圖20 邊界層內的非線性轉捩路徑[178]Fig.20 A nonlinear transition path in boundary layer flow[178]

與最小能量種子形態一致，實際亞臨界轉捩過程中出現的擾動形態通常是局域化的，如湍斑[186-188]、湍帶[189-192]等，它們將流動分成湍流與層流相間的狀態。與之對應的是位于層流/湍流邊界上的局域化的、不依賴于計算域大小的邊界態，如泊肅葉流動[193-195]、庫特葉流動[196-200]，圓管流動[201-204]、邊界層流動[123,205-206]、漸近吸氣邊界層流動[207-208]等。圖21展示了圓管流動中一個典型的局域化的邊界態(又稱Puff)。對這些局域化的邊界態的分析有助于深入理解轉捩的動力學行為:比如，Reetz等[200]發現庫特葉流動中傾斜的湍帶其實是源自于NBCW解。圓管流動中的亞臨界轉捩過程也由于Puff的發現變得更為明晰：在低雷諾數下Puff是不隨時間發展的平衡態，但隨著雷諾數的升高，Puff在流向開始擴展，最終充斥整個圓管形成充分發展湍流[209-213]。

圖21 圓管流動中局域化的ECS[201]Fig.21 Localized ECS in pipe flow[201]

4 總結與展望

壁湍流是一個復雜的多尺度系統，湍流相干結構的發現及研究極大地提升了我們對壁湍流的認識。經過一個多世紀的研究，近壁區的湍流行為被認識得已較為透徹。當前，高雷諾數壁湍流成為新的研究熱點，一些新的流動現象，尤其是壁湍流中含能尺度的多樣性問題更為凸顯?；谀壳皩Ρ谕牧飨喔山Y構的認識，其最核心的特征是不同壁面高度相干結構的自相似和給定壁面高度下相干結構的自維持。為此，關于近壁區湍流相干結構的一些性質、規律可以為對數區和外區的湍流相干結構的研究提供很好的借鑒。從湍流相干結構出發，Townsend的附面渦模型已經在壁湍流的數值模擬方面展現出了一定的生機。但與此同時，我們也應該看到，尺度分離/尺度干擾將是不可壓高雷諾數壁湍流研究中不可規避的重要問題。

長期以來，湍流與轉捩作為流體力學兩個獨立的分支分別開展著各自的研究，ECS的發現讓非線性動力系統理論架起了統一研究二者的橋梁。亞臨界轉捩(乃至一般轉捩的后期)湍斑/湍帶中的相干結構與充分發展湍流中的相干結構是十分類似的，它們所對應的ECS也是一致的，均是由條帶和流向渦構成的自維持單元。認識這些基本的ECS的性質有望后續精確地進行轉捩路徑和湍流運動軌跡的預測。Barkley[213]已經對圓管流動的亞臨界轉捩展開了卓有成效地模型預測。目前也有學者開始針對ECS開展湍流/轉捩相關的控制研究，并獲得了一定的效果[214-216]。但是我們也必須認識到湍流的高維特性，從動力系統角度實現湍流的預測仍然需要大量的工作。

最后，壁湍流相干結構的認識目前主要集中在不可壓流動中，而可壓流動中涉及到馬赫數效應、溫度效應等，其相干結構尤其是ECS可能出現不同于不可壓情形的動力學行為，值得未來研究。