一種用于空間翻滾目標(biāo)接近控制的相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模方法

王偉林，宋旭民，王 磊

(航天工程大學(xué)，北京 101400)

0 引 言

在航天活動(dòng)日益頻繁的今天，失效衛(wèi)星等空間碎片的數(shù)量迅速增加，發(fā)展空間碎片主動(dòng)清除技術(shù)對(duì)于維護(hù)太空環(huán)境穩(wěn)定、推進(jìn)我國(guó)的在軌服務(wù)能力和維護(hù)太空安全具有重要意義[1]。空間碎片沒(méi)有合作標(biāo)識(shí)、存在不確定性機(jī)動(dòng)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對(duì)制導(dǎo)控制方法的快速性、實(shí)用性、魯棒性、安全性提出了更高要求。

進(jìn)行航天器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模，是研究目標(biāo)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和特性識(shí)別，開(kāi)展自主導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制的重要前提和基礎(chǔ)。一個(gè)好的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，會(huì)得到一個(gè)好的軌跡規(guī)劃，從而使航天器的控制簡(jiǎn)化，操控精度得到保障。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究多沿襲已有的交會(huì)對(duì)接、編隊(duì)飛行的相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模方法，或者從便于數(shù)值計(jì)算的角度進(jìn)行建立，對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表征能力不足[2]。

1 現(xiàn)有研究綜述

1.1 基于對(duì)偶四元數(shù)的姿軌一體化控制

目前研究較多的一種思路是采用對(duì)偶四元數(shù)的姿軌一體化方法[3-4]，用對(duì)偶四元數(shù)來(lái)描述慣性系下兩者體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即旋轉(zhuǎn)和平移的一般剛體變換。Charles定理指出：任何一般性剛體運(yùn)動(dòng)都可以通過(guò)繞某個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)和沿該軸的平移實(shí)現(xiàn)，平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的組合像螺旋式的運(yùn)動(dòng)，通常用“螺旋變換”或“螺旋運(yùn)動(dòng)”描述。對(duì)偶四元數(shù)是對(duì)偶數(shù)與四元數(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，類似于單位四元數(shù)可以描述姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)，對(duì)偶四元數(shù)可以描述剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，旋量可以看做標(biāo)量部分為零的對(duì)偶四元數(shù)(對(duì)偶向量)。

但翻滾目標(biāo)航天器的質(zhì)心、質(zhì)量、慣量等信息都是未知，所以確定目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系存在不確定性。其次，對(duì)偶四元數(shù)利用向量代數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，形式較為復(fù)雜、物理意義不明確，不能采用傳統(tǒng)基于矢量的運(yùn)算法則，導(dǎo)致目前一些成熟的控制算法不能應(yīng)用，不利于控制器的設(shè)計(jì)和控制精度分析，需要建立一種更為簡(jiǎn)潔、快速、工程易于實(shí)現(xiàn)的控制策略。

1.2 姿態(tài)、軌道的同步控制方法

目前應(yīng)用和研究最廣泛的是基于目標(biāo)軌道坐標(biāo)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制方法。CW方程是解決航天器近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)的線性化方程，其前提條件是目標(biāo)運(yùn)行在圓軌道上，兩個(gè)航天器的相對(duì)距離遠(yuǎn)小于目標(biāo)器的地心距，基礎(chǔ)坐標(biāo)系原點(diǎn)建立在目標(biāo)航天器上。TH方程進(jìn)一步推導(dǎo)得到與偏心率和真近點(diǎn)角相關(guān)的解析解，適用于橢圓軌道。CW(TH)方程也是目前航天器交會(huì)對(duì)接領(lǐng)域應(yīng)用最廣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。

針對(duì)非合作目標(biāo)接近問(wèn)題，很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上開(kāi)展了姿軌一體化控制。采用CW(TH)方程作為相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)模型，并采用歐拉角、四元數(shù)或者羅德里格斯參數(shù)來(lái)描述相對(duì)姿態(tài)信息，通過(guò)建立一體化的運(yùn)動(dòng)模型，將姿軌同步問(wèn)題轉(zhuǎn)換為消除跟蹤誤差的問(wèn)題，很多學(xué)者基于此模型開(kāi)展了控制器設(shè)計(jì)的研究。文獻(xiàn)[5-6]基于θ-D方法研究了姿軌同步最優(yōu)控制的問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]基于TH方程研究了基于凸優(yōu)化算法的制導(dǎo)方案。Sun[8]研究了魯棒自適應(yīng)控制器在超近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制中的應(yīng)用。袁利等[9]基于CW方程和四元數(shù)研究了六自由度位姿終端滑模自適應(yīng)控制器。相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型建立在目標(biāo)航天器坐標(biāo)系下，需要將控制輸入向捕獲航天器本體坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，由于在一個(gè)控制周期內(nèi)，捕獲航天器本體姿態(tài)角的變化和相對(duì)姿態(tài)測(cè)量誤差的存在，會(huì)使得姿態(tài)影響了相對(duì)位置的控制，即存在相對(duì)姿態(tài)和相對(duì)位置的耦合；其次建立在非合作目標(biāo)上的基準(zhǔn)坐標(biāo)系精度有限，影響控制精度，因此該方法只適用于己方失效目標(biāo)的捕獲。CW制導(dǎo)的軌跡往往會(huì)回兜，容易使得軌跡進(jìn)入禁飛區(qū)，存在碰撞風(fēng)險(xiǎn)，另外CW制導(dǎo)的最后脈沖可能比較大、制動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)，也存在安全隱患[10]。

針對(duì)上述安全隱患，在合作目標(biāo)交會(huì)工程實(shí)際任務(wù)中，近距離導(dǎo)引前段通過(guò)差分GPS等測(cè)量信息進(jìn)行相對(duì)導(dǎo)航，建立CW方程來(lái)描述航天器與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；近距離導(dǎo)引末段通常采用基于視線的平行導(dǎo)引方式，指兩個(gè)飛行器在交會(huì)過(guò)程中，視線的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在參考坐標(biāo)系內(nèi)為零，也即兩者之間的視線在交會(huì)過(guò)程中保持平行，保證航天器沿視線方向接近目標(biāo)，越接近目標(biāo)脈沖越小，較好克服了CW制導(dǎo)帶來(lái)的問(wèn)題。

但是在與空間碎片這類非合作目標(biāo)交會(huì)任務(wù)中，需要建立坐標(biāo)原點(diǎn)在捕獲航天器上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，傳統(tǒng)CW方程并不適用。其次，平行導(dǎo)引法雖然具有良好的軌道特性，但需要知道較多的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)信息且對(duì)測(cè)量信息的準(zhǔn)確性較為敏感，魯棒性較差，并不適用于空間碎片這類非合作目標(biāo)。通過(guò)上述綜述分析，由于對(duì)偶四元數(shù)工程應(yīng)用性的不足以及傳統(tǒng)CW制導(dǎo)不適用于非合作目標(biāo)交會(huì)，目前認(rèn)為最有應(yīng)用前景的就是基于視線制導(dǎo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。

2 視線制導(dǎo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

激光雷達(dá)、激光測(cè)距儀、成像式交會(huì)敏感器是近距離的主要測(cè)量手段，特點(diǎn)是精度高、信息量豐富，既有角度信息也有距離信息，甚至相對(duì)姿態(tài)信息。基于上述相對(duì)敏感器提供的測(cè)量信息進(jìn)行近距離制導(dǎo)，視線制導(dǎo)是目前最廣泛的近距離制導(dǎo)方式，具有需求信息少、易于實(shí)現(xiàn)、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。以視線制導(dǎo)中的比例導(dǎo)引律為例進(jìn)行說(shuō)明，比例導(dǎo)引律與平行交會(huì)法類似，都是基于速度導(dǎo)引的兩點(diǎn)導(dǎo)引方式，控制指令如下：

(1)

考慮到近距離導(dǎo)引段的測(cè)量信息中包含相對(duì)距離信息，在真比例導(dǎo)引律基礎(chǔ)上，引入視線方向控制，從而將傳統(tǒng)攔截領(lǐng)域的比例導(dǎo)引律擴(kuò)展應(yīng)用到自主交會(huì)的制導(dǎo)。

2.1 傳統(tǒng)視線制導(dǎo)方法

傳統(tǒng)的視線制導(dǎo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程建立在視線坐標(biāo)系和發(fā)射慣性坐標(biāo)系下，如圖1所示：

圖1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系

視線坐標(biāo)系下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為：

(2)

式中：ω為視線坐標(biāo)系相對(duì)慣性系的角速度在視線坐標(biāo)系下的表達(dá)式，ω=[ωx,ωy,ωz]T。

在交會(huì)對(duì)接任務(wù)中，需要考慮目標(biāo)軌道坐標(biāo)系中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，涉及的主要參數(shù)是r,α,β。r為追蹤器與目標(biāo)的相對(duì)距離，α為視線與其在目標(biāo)器軌道平面上的投影之間的夾角，也稱之為高低角，β是該投影與目標(biāo)速度方向的夾角，稱為方位角。

(3)

式中：ωoT為目標(biāo)的軌道角速度，一般考慮為小量，可以忽略。從上文公式中看出，常規(guī)的視線坐標(biāo)系下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)存在耦合作用(ωxωy項(xiàng))。

傳統(tǒng)的視線坐標(biāo)系僅考慮了高低角和方位角，沒(méi)有考慮視線繞自身的旋轉(zhuǎn)，建立的三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程存在耦合因素，不能直觀體現(xiàn)與非合作目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)特性。

2.2 微分幾何學(xué)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制中的應(yīng)用

微分幾何學(xué)是用于研究空間曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的有效方法，利用曲率和撓率來(lái)描述空間曲線的旋轉(zhuǎn)，在制導(dǎo)領(lǐng)域最初應(yīng)用是用來(lái)推導(dǎo)空間純比例導(dǎo)引律(PPN)。在古典微分幾何理論中，空間中任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都可以用三個(gè)固連的正交矢量{n,b,t}(切向、法向、副法向)來(lái)描述，即Frenet-Serret活動(dòng)標(biāo)架，F(xiàn)renet標(biāo)架在弧長(zhǎng)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程稱為Frenet-Serret公式，即

(4)

式中：上標(biāo)“′”表示對(duì)弧長(zhǎng)s求導(dǎo)，κ為曲線的曲率，表示質(zhì)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其切向發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的程度；τ為曲線的撓率，表示質(zhì)點(diǎn)的密切面(由t和n組成)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的程度。

Chiou等[11]首先在弧長(zhǎng)域內(nèi)構(gòu)造了理想情況下的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程：

(5)

式中：上標(biāo)“′”表示對(duì)弧長(zhǎng)s求導(dǎo)，“″”代表了對(duì)弧長(zhǎng)s的二階導(dǎo)數(shù)。并在此基礎(chǔ)上提出了弧長(zhǎng)域內(nèi)的微分幾何制導(dǎo)指令：

(6)

(7)

因此對(duì)比式(5)和式(7)，交會(huì)制導(dǎo)方程中多了下面一項(xiàng)：

(8)

從而得到交會(huì)制導(dǎo)的曲率和撓率指令(式(9)和(10))。

但文獻(xiàn)[12]未考慮撓率，僅研究了二維平面內(nèi)的交會(huì)問(wèn)題。

(9)

(10)

3 三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模及制導(dǎo)律研究

2.2節(jié)的公式仍是建立在慣性系下，t代表絕對(duì)運(yùn)動(dòng)速度方向，中間用到了視線坐標(biāo)系中的er,eω，er×eω，有必要基于微分幾何理論建立描述相對(duì)位置和速度的動(dòng)力學(xué)模型，更加直觀的反應(yīng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系。

Li等[13]進(jìn)一步研究了時(shí)域化方法，基于Frenet-Serret活動(dòng)標(biāo)架理論提出了視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系和視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面的概念，將三維空間的曲線相對(duì)運(yùn)動(dòng)降低到兩維空間視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

(11)

其中，er為相對(duì)視線方向單位矢量，eω為視線角速度的方向，定義eθ=eω×er，eθ垂直于視線。從而構(gòu)建基于er,eθ和eω的視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。er和eθ組成視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面(Instantaneous rotation plane of LOS, IRPL)，eω為該平面的法向。ωs為視線轉(zhuǎn)率，ωs=ωseω。Ωs是eω也即IRPL的旋轉(zhuǎn)角速度，Ωs=Ωser。

視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)在追蹤器的質(zhì)心，相對(duì)速度可以表示為：

(12)

其中，下標(biāo)t和c分別代表目標(biāo)和追蹤器，相對(duì)加速度可以通過(guò)對(duì)式(12)求導(dǎo)得到：

(13)

將式(11)代入式(13)，相對(duì)加速度表達(dá)式轉(zhuǎn)換為：

rωsΩseω+Δg

(14)

式(14)可以改寫(xiě)為如下的三個(gè)標(biāo)量子方程：

(15)

其中，at和ac分別代表目標(biāo)和追蹤器的加速度，“r，θ和ω”分別代表控制加速度沿er，eθ和eω三個(gè)方向的分量。在后續(xù)的推導(dǎo)中式(15)的重力加速度項(xiàng)Δg被省略。

下文將基于視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，引入沿視線方向控制，提出視線方向速度可控的增廣比例導(dǎo)引律(Augmented proportional navigation, APN)。

3.1 增廣比例導(dǎo)引律

3.1.1基于反饋線性化的APN

為實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的自主接近，追蹤器的推力(控制加速度)由兩部分組成，一部分是沿視線方向，用于控制追蹤器接近目標(biāo)的速度；一個(gè)是垂直視線方向，用于控制視線轉(zhuǎn)率。

論文在垂直視線方向的控制采用經(jīng)典的真比例導(dǎo)引律(True proportional navigation, TPN)，這也是本文提出的增廣比例導(dǎo)引律的來(lái)源。需要指出的是作者在文獻(xiàn)[14]中首次提出了增廣比例導(dǎo)引律的概念，研究了兩個(gè)追蹤航天器利用僅測(cè)角信息協(xié)同接近機(jī)動(dòng)目標(biāo)的場(chǎng)景，適合于中遠(yuǎn)距離接近。本文中的增廣比例導(dǎo)引律的輸入信息是兩個(gè)測(cè)角和相對(duì)距離信息，適用于近距離接近場(chǎng)景。

式(15)建立描述三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)的一般模型，從而給出了控制器設(shè)計(jì)的統(tǒng)一框架。依據(jù)式(15)和上述增廣比例導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)思路，研究可以得到視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型：

(16)

式中：N是導(dǎo)航系數(shù)，通常取值為3～5。

(17)

其中，acon是acr的常數(shù)項(xiàng)。因?yàn)槟繕?biāo)不機(jī)動(dòng)，所以Ωs等于零，相反如果目標(biāo)機(jī)動(dòng)，Ωs會(huì)逐漸減小到零，因此建立的三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程同樣可以應(yīng)用于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的自主接近制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。

(18)

(19)

可以根據(jù)式(18)和式(19)，代入初始相對(duì)狀態(tài)，得到追蹤器對(duì)目標(biāo)接近時(shí)間，及接近速度的解析表達(dá)式。

(20)

(21)

將式(19)和式(21)代入式(17)的第2式:

(22)

(23)

利用

(24)

對(duì)式(23)積分，得到ωs的解析解。

(25)

3.1.2指數(shù)減速型APN

(26)

追蹤器和非合作目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以通過(guò)求解這個(gè)二階微分方程得到。因此可以通過(guò)改變式(26)右函數(shù)a來(lái)得到不同接近軌跡，從而滿足不同任務(wù)需求。指數(shù)形式的相對(duì)運(yùn)動(dòng)函數(shù)關(guān)系如下式：

r=r0·eλt

(27)

求導(dǎo)得到：

(28)

(29)

3.1.3基于滑模控制的APN

本小節(jié)研究了一種非線性控制方法，基于指數(shù)趨近律的滑模控制方法，用于APN沿LOS方向的控制。狀態(tài)方程如下：

(30)

(31)

(32)

定義基于指數(shù)趨近律的控制指令：

(33)

式中：ε和k是參數(shù)(ε,k>0)，sgn(·)是符號(hào)函數(shù)，控制系統(tǒng)穩(wěn)定性可以通過(guò)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)得以證明。

(34)

3.2 仿真分析

本小節(jié)給出增廣比例導(dǎo)引律的仿真結(jié)果。目標(biāo)的初始狀態(tài)為：半長(zhǎng)軸7043.14 km，軌道傾角98°，升交點(diǎn)赤經(jīng)14°，近地點(diǎn)幅角60°，初始真近點(diǎn)角30°。追蹤器相對(duì)于目標(biāo)的初始位置：[4386.28，308.60， 3204.43] m，相對(duì)速度[-57.7，2.1，-38.5] m/s。近距離導(dǎo)引段屬于相對(duì)導(dǎo)航階段，飛行過(guò)程從幾公里到百米量級(jí)，因此文章認(rèn)為當(dāng)兩者相對(duì)距離達(dá)到50 m時(shí)仿真結(jié)束。下文給出常減速接近、指數(shù)接近、非線性滑模控制(SMC)三種制導(dǎo)方法的對(duì)比分析，并給出研究結(jié)論。圖2和圖3給出了相對(duì)距離和相對(duì)速度變量的時(shí)間變化曲線。

圖2 相對(duì)距離曲線對(duì)比圖

圖3 相對(duì)速度曲線對(duì)比圖

圖3中橫軸代表時(shí)間，縱軸代表相對(duì)速度，則曲線下的面積代表追蹤器和目標(biāo)的初始相對(duì)距離，因此三種情況下都是相等的，常減速模型用時(shí)最短，而基于滑模控制的APN用時(shí)最長(zhǎng)。因?yàn)樗俣惹€的切線是瞬時(shí)加速度，滑模控制模型的最大加速度值是三種模型中最大的，因此對(duì)推力系統(tǒng)的要求更高，而且其燃耗也是最多的，ΔV=97.9 m/s。在表1中，給出了三種方法的性能比較。

表1 三種方法的比較

采用零控脫靶量(Zero-effort-miss,ZEM)來(lái)對(duì)制導(dǎo)律的精度進(jìn)行分析，其值可采用如下公式計(jì)算：

(35)

從表1各項(xiàng)數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出，常減速APN在時(shí)間、燃耗、最大加速度和零控脫靶量幾項(xiàng)指標(biāo)上都具有優(yōu)勢(shì)。綜上，基于視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)引入視線方向的控制，建立了可用于非合作目標(biāo)自主交會(huì)的增廣比例導(dǎo)引律框架，有效拓展了微分幾何理論的應(yīng)用。微分幾何的制導(dǎo)指令加速度施加方向nm在瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面之外，滿足下述關(guān)系：

(36)

將式(36)代入式(15)得到，得到式(37)，與式(17)對(duì)比可以看出，兩者本質(zhì)上可以通過(guò)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換得到對(duì)應(yīng)的制導(dǎo)指令，兩者的區(qū)別在于改進(jìn)的微分幾何制導(dǎo)律表達(dá)式簡(jiǎn)潔實(shí)用，物理意義明確，可以推導(dǎo)得到解析解，便于進(jìn)一步開(kāi)展控制精度分析。

(37)

3.3 姿控模型簡(jiǎn)化

追蹤器在接近目標(biāo)過(guò)程中，需要保證觀測(cè)敏感器視線始終指向目標(biāo)，基于微分幾何理論引入視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面后，只需考慮航天器本體坐標(biāo)系和視線瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的相對(duì)幾何關(guān)系，避免了復(fù)雜的坐標(biāo)變換，簡(jiǎn)化了姿態(tài)控制模型。

假定觀測(cè)敏感器安裝在航天器本體系X軸方向，考慮到敏感器視場(chǎng)等因素，因此要求X軸與視線方向重合，指向目標(biāo)。在接近非合作目標(biāo)過(guò)程中，會(huì)存在快速、大角度的姿態(tài)機(jī)動(dòng)，本文選擇誤差四元數(shù)方法描述航天器相對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，避免奇異性。選擇PID控制器，滿足收斂時(shí)間快、魯棒性好、對(duì)抗大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)有效性好、輸出穩(wěn)定等要求。下文給出了考慮姿態(tài)的六自由度控制結(jié)果，相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)模型采用基于滑模控制的APN制導(dǎo)律，并假定姿控發(fā)動(dòng)機(jī)為常值推力發(fā)動(dòng)機(jī)(1N)，追蹤器三軸主慣量為[2, 5, 7] kg·m2，力臂大小為[0.3, 0.6, 0.6]m，初始姿態(tài)角和姿態(tài)角速率都等于零。

圖4 X軸方向控制力矩

圖5 Y軸方向控制力矩

圖6 Z軸方向控制力矩

圖7 誤差四元數(shù)曲線

根據(jù)仿真結(jié)果可以看出，追蹤器在推力器作用下，能夠快速到達(dá)期望的姿態(tài)，其中在制導(dǎo)初始階段，因?yàn)橐暰€(LOS)方向與體坐標(biāo)系X軸指向間差別較大，姿控發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)機(jī)較頻繁。在接近目標(biāo)后期，導(dǎo)引頭能夠穩(wěn)定指向目標(biāo)，較好的實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)指向跟蹤。

3.4 進(jìn)一步思考

針對(duì)上文特定問(wèn)題，滑模變結(jié)構(gòu)控制雖然在燃耗方面并不占優(yōu)，但對(duì)系統(tǒng)外部干擾具有強(qiáng)魯棒性，考慮到非合作目標(biāo)自主交會(huì)中測(cè)量、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等的不確定性，引入滑模控制對(duì)提升APN的制導(dǎo)效能有重要意義。第3.1節(jié)提出的APN對(duì)接近時(shí)間并沒(méi)有要求，而是由初始相對(duì)狀態(tài)決定的。在前文推導(dǎo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程過(guò)程中，可以通過(guò)軸向的控制實(shí)現(xiàn)對(duì)接近時(shí)間的控制。實(shí)現(xiàn)對(duì)非合作目標(biāo)有限時(shí)間接近，這對(duì)于空間碎片主動(dòng)清除、空間救援等時(shí)間緊急任務(wù)具有重要意義。因此本小節(jié)將引入有限時(shí)間收斂的滑模控制律，從而建立有限時(shí)間接近制導(dǎo)律(Finite time convergence augmented proportional navigation, FTCAPN)。

3.4.1控制器設(shè)計(jì)

(38)

式中：ε>D>d(t)，β>0，1>η>0，β增加或者η降低都可以增加收斂速率，加速對(duì)目標(biāo)的接近過(guò)程。

3.4.2仿真分析

仿真初始參數(shù)同第3.2小節(jié)，滑模控制器參數(shù)取c=0.1，ε=5，β=2，η=0.1，仿真結(jié)果如圖8～10所示。

圖8 視線轉(zhuǎn)率曲線

圖9 相對(duì)速度曲線

圖10 相對(duì)距離曲線

圖8給出了視線轉(zhuǎn)率的變化曲線，60 s后保持穩(wěn)定，整個(gè)過(guò)程的收斂時(shí)間約83 s。從圖9和圖10中看出，追蹤器與目標(biāo)的初始相對(duì)速度較大，后迅速減小，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的快速接近，整個(gè)過(guò)程的燃耗為98.5 m/s。

從仿真結(jié)果中可以看出，基于現(xiàn)有的控制參數(shù)設(shè)置，F(xiàn)TCAPN可有效完成快速接近目標(biāo)的制導(dǎo)任務(wù)。

4 結(jié) 論

針對(duì)與空間非合作目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，本文首先對(duì)當(dāng)前已有的幾種相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模方法進(jìn)行了綜述分析。對(duì)偶四元數(shù)不能采用傳統(tǒng)基于矢量的運(yùn)算法則，形式較為復(fù)雜、物理意義不明確，缺乏工程適用性；CW方程建立在目標(biāo)航天器上的基準(zhǔn)坐標(biāo)系，適用于合作目標(biāo)交會(huì)，對(duì)于非合作目標(biāo)的接近制導(dǎo)問(wèn)題，存在軌跡回兜、末端脈沖較大、模型精度受限等問(wèn)題。

基于微分幾何理論的增廣比例導(dǎo)引律可克服上述制導(dǎo)方法的不足，物理意義明晰、魯棒性強(qiáng)、制導(dǎo)精度高、工程實(shí)現(xiàn)容易，通過(guò)公式推導(dǎo)分析了增廣比例導(dǎo)引律與傳統(tǒng)視線制導(dǎo)、微分幾何制導(dǎo)的不同，并給出六自由度仿真算例，驗(yàn)證了其可行性。