多維溝通：讓模型思想培養落地生根

周虹

[摘 要]學生的知識是散點式的，通過有效溝通知識之間的聯系，可以幫助學生主動建構知識網絡，從而更好地抓住概念的本質，提升整體把握數學知識的能力。

[關鍵詞]溝通;模型;理解

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0032-02

【課前思考】

通過學習人教版教材五年級下冊“長方體和正方體”，一方面，學生將公式“長方體體積=長×寬×高”熟記于心，而對公式“體積=底面積×高”比較陌生;另一方面，大部分學生認為只有長方體、正方體才能用體積公式計算，遇到底面為梯形、三角形的柱體就無從下手。這說明學生對于體積公式的理解依然處在記憶層面，只關注到體積計算的形，而忽視了對體積的本質理解。因此，在練習課中，教師要在溝通上做文章，打破學生的思維定式，通過多維度溝通，幫助學生更好地理解體積的本質，建立知識網絡。

【教學過程】

一、第一次溝通：溝通體積公式間的關系

1.感受面動成體的過程

師：這是一個長方形，把它向上平移2厘米，掃過的區域是個怎樣的形狀？

生（齊）：長方體。（師課件驗證）

2.回顧并溝通體積計算公式的關系

師：回憶長方體的體積公式，這幾個體積公式可以概括成哪一個公式？

生1：用a×b表示底面的面積（S底），則長方體體積公式可以概括成V=S底h。

生2：用b×h表示左面的面積（S左），那么高就是a，則V=S左×a。（師課件演示）

師：用a×h表示正面的面積，那么高就是？（生3：b），則V=S正×b。（師課件演示）

師：原來“底面積×高”中的底面積不單表示底面的面積，還可以表示任意一個面的面積，只要乘上與這個面垂直的棱的長度，都可以計算體積。

【教學思考：旨在溝通體積計算公式間的聯系，通過問題“這幾個體積公式可以概括成哪一個公式？”引發學生思考，促進對體積公式的本質理解。借助幾何直觀，引導學生對體積計算公式進行聯系、溝通，幫助學生順利打通V=abh與V=Sh間的關系，理解長方體體積計算的本質就是某一個面的面積乘上與這個面垂直的棱的長度。】

二、第二次溝通：溝通體積計算方法間的聯系

1.自主嘗試計算柱體的體積

師：這是一個由大正方形剪去一個小正方形后得到的多邊形（如圖1實線部分）。想一想，如果把這個多邊形向上平移5厘米，掃過的區域是什么形狀？（師課件演示）

師：你能求這個立體圖形的體積嗎？有幾種方法？

2.柱體體積計算方法交流

生1：把這個立體圖形看成由兩個長方體組合而成，則該立體圖形的體積=2×2×5+4×2×5 。

生2：把這個立體圖形看成一個大長方體減去一個小長方體，則該立體圖形的體積=4×4×5-2×2×5。

生3：用兩個這樣的立體圖形可以拼成一個大長方體，則該立體圖形的體積=（4+2）×4×5÷2。

生4：用底面積乘高來計算它的體積。因為這個立體圖形是由一個多邊形向上平移后得到的，則該立體圖形的體積=（4×4-2×2）×5。

師：觀察這些計算方法，你有什么發現？

生5：每種方法都有“×5”，即表示“×高”。

師：那么算式的其他部分表示什么？我們利用運算定律給這些算式變形，看看能發現什么？如算式2×2×5+4×2×5，根據乘法分配律可寫成（2×2+4×2）×5。

生6：同理，算式4×4×5-2×2×5可寫成（4×4-2×2）×5。

生7：根據乘法交換律，算式（4+2）×4×5÷2可寫成（4+2）×4÷2×5。

生8：我發現變形后的算式，“×5”就是指乘高，算式前面部分就是求底面積。

師：是嗎？如4×2+2×2是指哪一部分的面積？

生9：底面是長方形和正方形拼成的組合圖形的面積。

生10：4×4-2×2可看成底面是大正方形減去小正方形后的面積。

師：雖然這幾種算法不同，但是它們都有“×5”，就是乘高，而算式前面部分都在求底面積，所以求這個立體圖形的體積其實就是底面積乘高。（板書完善）

師：可以把圖2中涂色的這個面當成底面，用底面積乘高求它的體積嗎？為什么？

生11：不能。如果把這個長方形當底面，向后平移后底面不一樣了。

師：那么底面應該有什么特點？

生12：底面應該有與之相對且大小形狀都相等的面。

師：看來不是所有的面都可以當底面。想一想，哪些立體圖形的體積可以直接用底面積乘高來解決？

（學生解答）

師：能直接用底面積乘高計算體積的立體圖形，它們和長方體一樣，都可以看成由一個底面向一定的方向平移掃過的空間，我們把它們叫作柱體，柱體的體積用底面積乘高計算。

【教學思考：學生通過“自主計算—比較溝通—得出通式”三個步驟深刻理解“體積=底面積×高”的本質，實現了從長方體到一般柱體的貫通，有效遷移學習和建構知識，做到了舉一反三、觸類旁通。】

三、第三次溝通：滲透模型思想

問題1：（如圖3）校門口綠化帶上建了一排長和寬為1m，高為50cm的正方形花壇，并在花壇內距各邊15cm處挖一個底面是正方形的長方體坑用于種樹，請問一個這樣的花壇需要多少石料？

生1：將花壇的體積看成4個長方體體積的和來計算，列式是15×（100-2×15）×50×2+100×15×50×2。

生2：用大長方體體積減去挖掉的小長方體體積，就是石料的體積，列式是100×100×50-70×70×50。

師：這樣列式其他同學看得明白嗎？

生3：生2用底面積乘高來計算。因為這個花壇可以看成底面是100×100-70×70的形狀向上平移50cm所形成的圖形。

師：如圖4所示，就是我們之前研究過的柱體。看來在解決問題時，要善于聯系，找一找這是我們學過的哪個數學模型，這樣解決起來就容易了。

問題2：如圖5所示，A容器中裝有60dm?水，水面高7.5dm，倒一部分水到B容器，使A、B容器的水面一樣高，這時水面的高度是多少？（學生獨立練習）

生1：因為A容器的底面積是B容器的2倍，當A、B容器的水面一樣高時，A容器所裝水的體積是B容器所裝水的體積的2倍，這樣只需把原來A容器中的水平均分成3份，B容器占1份，所以算式是60÷3=20（dm?），20×1÷（2×2）=5（dm）。

生2：也可以這樣算，7.5÷3=2.5（dm），2.5×2=5（dm）。

生3：要使A、B容器的水面一樣高，A容器里水的形狀是個柱體，B容器里水的形狀也是個柱體，拼在一起還是個柱體，那么60÷（4×2+2×2）=5（dm）。

師（出示圖6）：這樣拼呢？這三種情況都能用“體積÷底面積=高”來計算嗎？為什么？

生3：怎么拼都是一個柱體，都可以用“體積÷底面積=高”來計算。

師：看來我們要學會聯系，都是柱體，都可以用體積除以底面積來解決問題。

生4：還可以列方程求解。設水面高xdm，4×2×x+2×2×x=60，x=60÷（4×2+2×2），x=5。

師：這個方程中也有“體積÷底面積”，你找到了嗎？

生4：60÷（4×2+2×2）。

師：在解決實際問題時，一定要學會找到我們熟悉的數學模型。

【教學思考：重在溝通數學與生活的聯系，提高數學學習的應用價值。在日常學習中，現實問題與數學模型是割裂的，因此本環節提供兩個現實問題，讓學生自覺運用模型，運用柱體體積公式解決問題，實現“數學模型—現實問題”的轉化，感受到運用模型思想解題的優越性與便捷性。】

四、自主回顧，感受溝通的作用

師：今天這節課你有什么收獲？

生1：我發現不僅長方體、正方體的體積可以用底面積乘高來計算，其他柱體的體積也可以用底面積乘高解決。

生2：解決問題時要善于聯系，看看是我們學過的什么數學問題。

師：是的，數學很多知識、方法都是相通的，我們要善于聯系、溝通，學會找數學模型，這樣解決問題就會很簡單許多。

【教學思考：通過自主回顧，讓學生產生頓悟感，強化其對學習方法的理解，學會用溝通的思想去解決問題，打通知識、貫通方法和溝通問題，從而體會到數學學習的魅力。】

（責編 李琪琦）