圓周率是怎樣算出來的

梁衡

《九章算術》成書于公元四五十年間，集我國古代數學之大成，歷代有不少人曾為它作注，但都碰到一個難題，那就是圓周率（現在叫π，它是圓周和直徑之比）。很古時候，人稱“徑一周三”，即π=3。王莽新朝時精確到3.1547，東漢時張衡又精確到3.1466，三國時劉徽為《九章算術》作注，則認為最精確的應是3.14。四百多年來眾說不一。

祖沖之一接觸到圓周率問題，便被困擾得坐臥不安。他的住所里，雪白的粉墻上畫了一個大大的圓圈，地上也是大圈套著小圈，桌上到處是紛亂的紙。他背著手在房間里踱來踱去，一會兒好像自己走進了墻上那個大圓圈中，一會兒又好像桌上那一堆圓圈一齊涌進自己的腦子里，如亂麻一團。唉，這周徑之比到底是如何得出的呢？他又回到桌前抽出劉徽注的那本《九章算術》坐下來邊讀邊想。

這時屋里還有一個十三四歲的男孩，他是祖沖之的兒子，叫祖暅。別看他小小年紀，卻天資聰穎，戲耍之余常愛在父親身邊推算那些數字和圖形。今天他看到地上這許多圓圈感到很新鮮，便單腿在地上跳起圈來。突然聽到父親拍案喊道：“有了！”將他嚇了一跳，忙跑過去拉著父親的衣袖問道：“什么有了？”

“辦法有了。暅兒，你看劉徽這里不是明明寫著割圓術嗎？只要將一個圈內接上正多邊形，不斷地割下去，求出多邊形的周長，不就有了圓周率了嗎？暅兒，你會嗎？”

“我會，用爸爸教過的勾股定理一一去求就是了。”

“道理簡單，算起來可就費勁了。從今天起，咱爺兒倆就來辦這件事，你可要十分仔細啊。”

說完，祖沖之到院里搬來幾根大竹子，操起一把刀破成細條，又一一斬成短截，整整干了兩天，地上堆起了一座竹棍的小山。現在聽起來奇怪，搞計算怎么先干起竹木活來？原來，當時既沒有阿拉伯數字可以筆算，當然更沒有現在的計算機，運算全靠一種叫算籌的原始工具。它是用竹木削成的一根根小棍，用來拼擺成各種數字。擺數字分縱橫兩式，一切加、減、乘、除全靠用這些木棍在桌上擺來擺去。擺數時，一般自左而右第一、三、五位用縱式，二、四、六位用橫式。

再說，祖沖之將這一切準備停當之后，便在地上畫了一個直徑為一丈的大圓，將圓割成六等分，然后再依次內接十二邊形、二十四邊形、四十八邊形……他都按勾股定理用算籌擺出乘方、開方等式，一一求出多邊形的邊長和周長。

你想這祖沖之何等聰明，他知道求圓周率要用直徑除以正多邊形的周長，所以他把直徑的長定為長度單位，比如說是一丈，計算多邊形周長時也以丈為單位，就可以避免每次的除法運算，每個多邊形周長的量數即是圓周率一個近似值，這樣一次次求多邊形的周長便一次次逼近圓周率了。

祖暅也在那個大圓圈里跳進跳出地幫他拿算籌，記數字。就這樣直算得月落烏啼，直算得雞鳴日升，那竹棍擺成的算式從桌上延到地下，又滿地轉著圈子，一屋上下全都是些竹碼子。這批算籌又都是些新破的竹子，還沒有來得及打磨，祖沖之用手捏著、想著、擺著，不消幾日，漸漸指頭都被磨破，那綠白相間的新竹竟染上了紅紅的血印。

正是：

公式定理雖無聲，原來卻是血凝成。

莫言數字最枯燥，多少前人拼搏情。

他們父子這樣不分晝夜地割著算著。這天，他們割到第四次，圓周已被分為九十六份，真是如攀險峰，愈登愈難。當年劉徽就是到此止步，而將得到的3.14定為最佳數據。

夜靜更深，小祖暅早已眼皮沉重，東倒西歪地想睡了。祖沖之想，這些日子也實在辛苦了這孩子，便忙打發他去睡覺。他推開窗戶，深吸了幾口這建康城里夜深時分甜甜的空氣，看了一會兒星空，又轉過身來看著地上那個大圓。那內接的九十六邊形，與圓都快接近于重合了。按說能算到這一步已經實在不易，用這個數字再去為《九章算術》作注，也就完全可以了。他用拳頭捶了捶酸乏的后腰，又摸摸纏著布條的手指，向墻邊的書架踱去，忽然背后唰啦啦一陣響聲。

他猛一回頭，哎呀！原來剛才未關窗戶，一陣夜風吹起窗幔，把竹籌擺起的許多算式掃得七零八落，拋撒一地。這式子剛擺完還沒有來得及驗算，也未抄下得數，要知每算一遍就要進行十一次加減乘除和開方，多么繁重的勞動啊！

祖沖之一下撲在地上，用還滲著血的十指捧起一掬算籌，對著沉寂的夜空，低聲喊道：“老天啊！你也和戴法興一樣，如此欺人。”他一甩衣袖，索性將桌上的殘式全部拂去，又重新擺布起來。

就這樣不知又過了多少天，只知花開花落，月缺月圓，父子倆把地上那個大圓直割到兩萬四千五百七十六份，這時的圓周率已經精確到了3.14159261。祖沖之知道這樣不斷割下去，內接多邊形的周長還會增加，更接近于圓周率，但這已到了小數點后第八位，再增加也不會超過0.00000001丈，所以圓周率必然是3.1415926<π<3.1415927。

當時祖沖之就把圓周率定在這“上下二限”之間。這上下限的提法確是祖沖之首創，他得出的圓周率精確值在當時世界上已遙遙領先，直到一千年后才有阿拉伯數學家阿爾·卡西的計算超過了他，所以國際上曾提議將圓周率命名為“祖率”。