三參數冪函數與點繪法在水文Z～Q關系曲線擬合中的對比分析

覃 毅

（河池水文中心巴馬水文中心站，廣西 河池 547000）

0 引言

在水文實際工作中，通常采用目估法繪制一條光滑的Z～Q關系曲線，但該方法受人為主觀因素影響，查讀的隨意性較大，且過程較為繁瑣，工作效率和質量不高。Excel軟件匯集了大量的圖表繪制、分析處理工具及數據計算等功能，極大地滿足了水文分析工作需求，利用Excel 對水文資料進行處理和分析，可以極大地減少水文工作者的工作量，提高工作效率和質量，尤其是本文提及的利用Excel中圖表繪制功能及規劃求解工具對Z～Q關系曲線的擬合提供了很大便利[1]，通過與人工曲線的對比分析，其擬合成果的準確性和實用性俱佳，具有廣泛的推廣應用價值。

1 方法的原理

1.1 Excel“規劃求解”

“規劃求解”是Excel 的一組假設分析程序。借助“規劃求解”可求得Excel中目標單元格達到的最優值。“規劃求解”將直接或間接地對與目標單元格中公式相關聯的一組單元格中的數值進行優化調整，最終在目標單元格公式中求得期望的結果。在創建模型過程中，可以對“規劃求解”模型中的可變單元格數值應用約束條件，約束條件可以引用其他影響目標單元格公式的單元格[2]。

1.2 三參數冪函數與Z～Q關系曲線

通過分析實測流量點據分布散點圖，我們可以大致判斷其Z～Q關系曲線符合冪函數的曲線類型，為便于利用計算機進行相關的水文分析與計算，我們利用近似的冪函數表達Z～Q關系。當水位流量關系點據呈單一曲線分布時，在Excel 中應用規劃求解的方法進行關系曲線擬合適宜采用三參數冪函數，即

其中：Z為水位，m；Q為流量為待率定參數。等式兩邊分別取對數得到：

Z、Q為一組實測水位、流量數據，三參數冪函數公式中的a，b，c可以由Excel對多組實測水位、流量數據率定而得，由式（1）（2）可知關于Z的函數與參數a、b及流量Q相關程度較高，而當Q為 0 時，Z=c，此時參數c的物理意義即為斷面的河底高程。在應用規劃求解的過程中，可以使得工作表上某個預設值達到最優，對于利用三參數冪函數擬合水位流量關系曲線就是存在S，使得：

2 應用實例

龍泉站位于廣西河池市巴馬縣甲篆鎮甲篆村弄拉屯，屬于新建地下泉流量站，巴馬縣中心水文站于2018年3月起對該站開展水位流量關系率定及相關工作，去除不合理的實測點據后，目前已收集水位流量數據共28份。現利用Excel三參數冪函數擬合其Z～Q關系曲線并與人工擬合的曲線進行對比分析。

（1）將實測水位流量數據按水位從低到高排序，并繪制Z～Q關系散點圖，如圖1所示。

圖1 龍泉站Z～Q關系散點圖

（2）參數率定前的數據處理。首先在Excel 表格的兩列輸入實測的水位、流量數據，然后各賦予參數a，b，c一個初始值，通過式（1）計算每個實測流量Q實i對應的規劃求解水位Zi，再求規劃求解水位Zi與其對應實測水位Z實的方差，在表格最后一行累計方差；

（3）利用規劃求解進行參數率定。單擊Excel數據工具欄，找到規劃求解命令，彈出對話框后，在“設置目標”對話框中選中表格最后一行累計方差單元格，規劃求解是通過改變擬合參數，使得累計方差最小，故設置目標單元格的值為“最小值（N）”，“可改可變單元格”框選參數a，b，c所在的單元格。“遵循約束”應該根據實際情況設置，通過式（1）可以看出，當Q=0時，Z=c，此時c值實際上就是河底高程，為避免通過求解得到c的值小于河底高程值，可在“遵循約束”中添加一約束條件：“c所在單元格＞=250.62”（注250.62 為龍泉站河底高程值）；“選擇求解方法”選擇“非線性求解GRG”，然后單擊“求解”命令，彈出“規劃求解收斂于當前的解，可滿足所有的約束”即說明參數率定成功，點擊“確定”后參數a，b，c所在的單元格出現率定后的值，求解結束。

經率定后參數a，b，c的值分別為0.541，2.585和250.79，得到三參數冪函數公式即為：

3 三參數冪函數與人工點繪曲線的對比分析

3.1 人工擬合曲線

根據圖1 的實測水位流量點據分散情況，采用目估的方法手工繪制一條通過散點中心的光滑曲線，該曲線就是人工擬合該站的Z～Q關系曲線，再利用人工查圖的方法得到Z～Q關系曲線的推流節點數據。

3.2 三參數冪函數擬合曲線

利用規劃求解后得到的三參數冪函數公式后，可再次利用Excel 計算功能，通過賦予不同的Q值，得到相應的水位Z，從而得到一系列Z～Q值，這就是三參數冪函數擬合曲線的推流節點數據。

3.3 繪制曲線

利用Excel 中的繪圖功能，將上述兩組推流結點數據繪制帶平滑曲線的散點圖，見圖2。

3.4 關系曲線檢驗

根據《水文資料整編規范》（SL247-2012）的技術指標，按三類精度水文站精度指標對龍泉站人工擬合曲線及三參數冪函數擬合曲線進行精度檢驗[3]，各項指標精度檢驗對比結果見表1。

圖2 龍泉站Z～Q關系曲線

表1 龍泉站三參數冪函數與人工擬合Z～Q曲線精度檢驗對比結果

3.5 對比結果及誤差分析

三參數冪函數擬合的Z～Q關系曲線的各項檢驗指標均達到三類精度水文站標準，而人工擬合的Z～Q關系曲線的“隨機不確定度”超出三類精度水文站標準。龍泉站Z～Q關系曲線精度受實測水位流量點據個數及低水紊流擾動影響，低水部分“系統誤差”和“隨機不確定度”偏大，龍泉地下泉流量站常年出流量較小，進行流量測驗時又受儀器精度、測量條件環境等條件限制，測量結果存在誤差，從關系曲線檢驗情況來看，三參數冪函數擬合的曲線精度較人工擬合的曲線更穩定，達到三類精度水文站指標，滿足水文定線推流工作需求。

4 結語

在水文資料整編中，Z～Q關系的分析是最基礎的工作之一，Z～Q關系曲線的合理性決定了流量資料推求的質量。傳統人工擬合曲線受個人的經驗和水平影響較大，當比例不能滿足查讀精度時還需對曲線作放大處理，工作略顯繁瑣，其分析、計算和查讀的結果也因人而異，而利用Excel 規劃求解工具擬合Z～Q關系曲線，不但可以更好地擬合水位、流量數據，簡化Z～Q關系曲線繪制工作，而且更加方便和精確地查讀水位流量數據，大大提高了工作效率，經過與人工擬合曲線對比分析，其擬合成果的準確性和實用性俱佳，在水文實際工作中具備推廣應用價值。

當然，采用該方法擬合Z～Q關系曲線仍存在局限性，比如Z～Q關系呈現多條或者繩套曲線時，很難利用該方法實現曲線的擬合分析，又如在低水部分的擬合存在較大不確定性，其擬合過程還需參照手工繪制結果，低水部分若能綜合兩種擬合方法，可使定線更加合理精準。