原子分子光子系統(tǒng)的耗散相互作用和退相干

景 俊

（浙江大學(xué)物理學(xué)系光學(xué)研究所，杭州 310027）

1 引言

原子分子系統(tǒng)與量子化的電磁場或光子模式耦合的系統(tǒng)［1］無論在理論還是實驗方面都是非相對論量子力學(xué)研究的主要對象和模型［2-4］.如果將系統(tǒng)拓展到人工原子、超導(dǎo)回路、離子阱、光子晶格、量子點等新量子平臺［5-11］，那么它不僅涵蓋了傳統(tǒng)的原子分子物理和量子光學(xué)的主要內(nèi)容，而且構(gòu)成量子信息和量子調(diào)控的物理基礎(chǔ)［12，13］.正如在單個二能級原子和單模激光場的耦合模型——Jaynes-Cummings模型中所觀察到的，如果不考慮能量耗散和量子退相干效應(yīng)，那么它的動力學(xué)是相干且可逆的.這正是薛定諤方程所描述的結(jié)果.

對人工原子，包括量子點、超導(dǎo)量子比特、里德堡原子，以及新穎電磁輻射源，包括激光、微波激射、同步輻射、微波源的廣泛研究涵蓋了從無線電波到遠紅外的頻段與原子分子系統(tǒng)的耦合，從而在相當程度上再次引起人們對原子與光相互作用的興趣.新的研究方法能夠獲得有關(guān)原子和分子結(jié)構(gòu)以及動力學(xué)的更確切的信息、從而有助于控制原子和分子的內(nèi)部和外部自由度、并且產(chǎn)生新的輻射形式.這些進展已經(jīng)引來越來越多的物理學(xué)家、化學(xué)家、其他研究人員和工程師對物質(zhì)和低能輻射之間發(fā)生的作用［14-17］產(chǎn)生興趣.

本文的目標是為已經(jīng)具有一定量子力學(xué)和原子分子物理基礎(chǔ)的研究人員介紹在開放量子力學(xué)框架下研究原子與光相互作用的基礎(chǔ)理論，特別是關(guān)于量子系統(tǒng)退相干動力學(xué)的描述理論——主方程.主方程及其等價方法構(gòu)成了整合涉及物質(zhì)―輻射相互作用的幾乎所有物理方面的基本工具［18-23］.

2 開放量子系統(tǒng)與量子退相干

在量子力學(xué)基本問題方面，含時薛定諤方程以及馮諾伊曼方程已經(jīng)在原則上提供了閉合量子系統(tǒng)的動力學(xué)方程.如果不計較開放系統(tǒng)的環(huán)境或者噪聲對它的影響和作用，或者擁有對全部希爾伯特空間的計算能力，就沒有必要在開放量子系統(tǒng)的框架下處理問題.但實際上對于大多數(shù)實際問題這兩者都是無法做到的.

首先定義何為環(huán)境.在全量子框架下，環(huán)境是與量子系統(tǒng)相互作用的另一個量子系統(tǒng)，擁有足夠多、足夠復(fù)雜的自由度，以至于相對人們感興趣的量子系統(tǒng)而言，是不受控制的.具有可操作性的處理方案的前提是通過測量或物理建模給出環(huán)境自由度的統(tǒng)計性質(zhì).這些性質(zhì)包括且不限于玻色統(tǒng)計或費米統(tǒng)計、譜密度函數(shù)、關(guān)聯(lián)函數(shù)、溫度——如果它處在熱力學(xué)平衡態(tài)下的話.然后通過理論推演，使得這些統(tǒng)計性質(zhì)反映在受研究的量子系統(tǒng)的動力學(xué)方程中.

其次何為噪聲.布朗運動中的漲落可以當作是一種經(jīng)典噪聲，按照漲落—耗散定理的要求，它具有一定的關(guān)聯(lián)函數(shù)和譜密度函數(shù)，它們兩者互為傅里葉變換關(guān)系.量子系統(tǒng)面對的噪聲，可以是經(jīng)典噪聲，也可以是量子噪聲.在物理上，兩者都要符合漲落—耗散定理；在特定情況下，符合一定關(guān)聯(lián)函數(shù)的經(jīng)典噪聲和量子噪聲對系統(tǒng)的影響在系綜統(tǒng)計后不可區(qū)分.因此有時可以用噪聲取代環(huán)境自由度的全量子化處理.在純量子框架下，噪聲可以直接用環(huán)境算符以及耦合系數(shù)直接表達出來.就其效應(yīng)而言，有時需要特別指出，哪些噪聲造成了系統(tǒng)的退極化和能量耗散，哪些噪聲不涉及能量損耗而直接反映出同一系綜內(nèi)不同量子系統(tǒng)在相位上的脫散.前者反映了原子分子系統(tǒng)的布居數(shù)在高低能態(tài)上的轉(zhuǎn)移；后者代表了相位關(guān)聯(lián)的消失.對量子系統(tǒng)而言，前者當然也同時引起系統(tǒng)間失去相位上的固有聯(lián)系，但后者在許多文獻中才被稱為“純量子的退相干”.

因此量子退相干本質(zhì)上是一種量子力學(xué)效應(yīng)，與經(jīng)典耗散或隨機漲落有所區(qū)別，雖然后者也會引起量子效應(yīng).在哥本哈根學(xué)派定義的量子測量假設(shè)以及后來由馮諾伊曼嚴格化后的量子測量理論中，不難發(fā)現(xiàn)退相干是量子測量的效應(yīng).測量儀器扮演了量子化的環(huán)境自由度的角色，系統(tǒng)根據(jù)與待測物理量配套的測量儀器指針態(tài)展開的本征基矢做隨機投影.無論是讀出結(jié)果的測量，還是不讀結(jié)果的測量，指針態(tài)對應(yīng)的本征基矢之間的相干項在測量后全部消失了.在廣泛關(guān)注量子信息處理的前沿研究中，退相干顯然是任何量子處理，特別是量子計算，或任何必須利用量子線性疊加原理優(yōu)勢的技術(shù)不可回避的問題.它在絕大多數(shù)時候顯然是難以逾越的障礙.根據(jù)DiVincenzo為可行的量子計算機定出的必須滿足的若干條件，量子系統(tǒng)的相干時間除以量子門的運行時間必須足夠大，否則量子線路模型就沒有實際價值.所以無論是量子物理的基本問題，還是量子前沿技術(shù)的發(fā)展，都需要人們重視退相干過程的基礎(chǔ)研究，從而設(shè)計出提高量子相干時間的方案，或者要么回避、要么正面利用退相干效應(yīng).這里不對此做展開.

3 主方程的推導(dǎo)方法

現(xiàn)在進入技術(shù)性環(huán)節(jié)——如何建立開放的原子分子系統(tǒng)的退相干動力學(xué)主方程.“主”這個詞意思就是關(guān)注某一少自由度或少體系統(tǒng)，而把其環(huán)境或不關(guān)心的希爾伯特子空間對該系統(tǒng)的作用考慮到方程的結(jié)構(gòu)和參量中去，最后得到方程僅含有少自由度或少體系統(tǒng)的算符.假設(shè)初始時刻系統(tǒng)與環(huán)境是沒有耦合的，即ρT（0）=ρS（0）?ρE（0），且整體哈密頓量可寫為：

其中HS是系統(tǒng)的自由哈密頓量，HE是環(huán)境的自由哈密頓量，HI=∑iSi?Ei是系統(tǒng)與環(huán)境相互作用哈密頓量，這里的Si和Ei分別表示系統(tǒng)和環(huán)境的算符，Si代表第i種量子退相干通道.α用來衡量相互作用哈密頓量相對系統(tǒng)自由哈密頓量的相對幅度，一般符合微擾論的要求.為簡單起見，以下在相互作用表象下進行推導(dǎo)，即對所有算符O，都有

首先從整體系統(tǒng)的馮諾伊曼方程出發(fā)（它總是成立的）：

然后對該方程做第一步馬爾可夫近似以及玻恩近似，即將（4）式的ρT（s）替換為ρT（t），物理上拋棄了從初始時刻到當下時刻之前的系統(tǒng)演化歷史對系統(tǒng)當前變化量的貢獻，而是只關(guān)心當下時刻的貢獻，數(shù)學(xué)上帶來的誤差為O（α3）.并讓方程等號兩邊都對環(huán)境部分自由度進行部分求跡，從而得到關(guān)于系統(tǒng)密度算符的二階微擾的動力學(xué)方程（注意在下面這個方程后，不再使用約等號）：

其中第一項正比于TrE［Ei（t）ρE（0）］，也就是環(huán)境算符Ei的期望值，可以將其設(shè)為零.這本質(zhì)上不是一個假設(shè)，因為總可以令HI→∑iSi?（Ei-〈Ei〉）、HS→HS+α∑i〈Ei〉Si.在環(huán)境弛豫時間遠小于系統(tǒng)動力學(xué)時間的假設(shè)下，可以認為環(huán)境狀態(tài)基本不變（一般可認為環(huán)境處在熱力學(xué)平衡態(tài)），這就得到了微擾論下的玻恩-馬爾可夫主方程（Born-Markov master equation）：

它在二階微擾成立的前提下可以包含量子環(huán)境的結(jié)構(gòu)參量，也就是各模式與系統(tǒng)的相對耦合強度、各模式自身的本征頻率的統(tǒng)計信息，因而在許多文獻中也被稱為“非馬爾可夫”主方程.注意它不是“精確主方程”［23］，因為沒有包含結(jié)構(gòu)化的環(huán)境對系統(tǒng)動力學(xué)的所有階次的貢獻.從微擾論物理的角度需要進一步明確兩點：1，主方程的建立基于系統(tǒng)-環(huán)境相互作用哈密頓量與系統(tǒng)自由哈密頓量之間存在能量/時間的尺度分離，否則對全部希爾伯特空間的計算就不可避免了.2，環(huán)境的狀態(tài)一般默認為熱力學(xué)平衡態(tài)，那么系統(tǒng)在環(huán)境噪聲下的隨機量子躍遷過程和耗散應(yīng)該受到漲落-耗散定理的限制.

4 真空環(huán)境下的Lindblad主方程

以下用相對具體的一個例子進一步推演，為簡單起見，將α吸收進方程.假設(shè)相互作用哈密頓量HI=S B?+S?B.系統(tǒng)跳躍算符滿足S（t）≡eiHStS e-iHSt=S e-iω0t，其中ω0是原子分子系統(tǒng)本征頻率.環(huán)境自由哈密頓量為環(huán)境集體湮滅算符為B=∑kgkak.這里ak是玻色環(huán)境的湮滅算符，gk是耦合系統(tǒng)與第k個模式的耦合系數(shù).所以在相互作用表象下，

于是玻恩-馬爾可夫主方程可具體表達為

其中兩個含時系數(shù)的定義是

這里暗含環(huán)境狀態(tài)ρB為熱力學(xué)平衡態(tài)的假設(shè).另外對于許多本征頻率為微波波段的人工原子而言，光頻波段的電磁環(huán)境因為能量與之遠不匹配而總可以認為處在真空或零溫.所以可合理假定電磁環(huán)境處在真空態(tài)或零溫，則有

其中J（ω）=∑k|gk|2δ（ω-ωk）是環(huán)境態(tài)密度或模式密度函數(shù).而G（t）=0.略加計算，即將F（t）的積分上限推至無窮，消除其含時特征，也就是執(zhí)行第二步馬爾可夫近似，就可以得到相互作用表象下的Lindblad型主方程：

5 討論

需要再次強調(diào)的是，主方程是量子力學(xué)框架下的動力學(xué)方程——不難發(fā)現(xiàn)它在幺正變換下保持形式不變.一個合理的主方程必然得到合法的系統(tǒng)密度矩陣，也就是每一時刻的系統(tǒng)密度矩陣必然是半正定的.動力學(xué)方程所對應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)的映射必須是全正定且跡守恒（Complete Positive Trace-preserving）.要得到特定物理體系的主方程，原則上應(yīng)從特定全量子模型出發(fā)，仿照前文步步推演，不可以做過分的非物理的近似.比如將玻恩-馬爾可夫主方程的積分上限推至無窮有時候在短時動力學(xué)中會帶來非正定的問題，其物理原因就是這種近似違背了物理定律的因果律.以Lindblad方程為代表的現(xiàn)象學(xué)方程，比如量子光學(xué)領(lǐng)域熟悉的光學(xué)布洛赫方程，只要保證系數(shù)為正常數(shù)，就不會帶來非物理的結(jié)果.但是它不能反映強耦合情況下的物理，比如非馬爾可夫效應(yīng).另外跳躍算符應(yīng)用系統(tǒng)哈密頓算符的本征態(tài)基矢展開，從而在物理上對應(yīng)真實的量子跳躍（quantum jump）過程.只有本征態(tài)基矢之間的瞬時量子跳躍才能正確地描述微觀量子過程.

值得指出的是，只有極其少數(shù)特定主方程可以得到解析解.比如純退相位（pure dephasing）模型和零溫環(huán)境下的少數(shù)量子跳躍模型.有時不得不采用量子跳躍方法（quantum jump method）、量子軌跡方法（quantum trajectory approach）或量子郎之萬方程替代量子Lindblad 方程進行數(shù)值求解.比如可以證明：以下的量子態(tài)擴散方程（一種量子軌跡方程或隨機薛定諤方程）［24，25］與Lindblad方程完全等價：

其中z*是滿足系綜平均條件的高斯型白噪聲，這里M［·］是指對系綜求平均值.求解隨機薛定諤方程后還要對噪聲軌跡求系綜平均，從而得到密度矩陣ρS（t）=M［|ψt（z*）〉〈ψt（z*）|］.

6 總結(jié)和展望

量子退相干理論在當前研究中的興起和應(yīng)用伴隨著單量子系統(tǒng)的實驗實現(xiàn).通常布洛赫方程或者愛因斯坦幾率方程被用來描述受到電磁場驅(qū)動的原子分子系綜的動力學(xué).但離子阱、單模腔、量子點、超導(dǎo)回路等新興量子平臺的發(fā)明提供了觀察和操控單個粒子的可能性.對輻射場信息的獲取，比如通過對系統(tǒng)發(fā)射到環(huán)境內(nèi)光子的探測，會導(dǎo)致系統(tǒng)波函數(shù)的突變.無論是探測到光子還是沒有探測到，也就是零結(jié)果，都會導(dǎo)致信息的增加.這樣新的洞察便會注入到原子光子動力學(xué)及耗散過程中，這就發(fā)展出新的退相干動力學(xué)方法.除了對物理的新洞察，這些方法也會使得對復(fù)雜問題的模擬成為可能，比如用主方程方法也可處理激光冷卻問題.