考慮繩阻尼的繩系并聯機器人動力學特性分析

彭苗嬌，吳惠松，林麒，周凡桂，柳汀，王曉光

（廈門大學 航空航天學院，廈門361005）

繩索具有線密度低、強度高、柔性好等特點，因此廣泛應用于各種工程領域，包括斜拉橋［1］、船舶起重［2］、繩系衛星［3］、大型射電望遠鏡［4］、風洞試驗［5-7］等。繩索的阻尼特性是影響機構功能的重要因素之一，也是設計中需要考慮的重要參數。繩索的材料、長度、直徑、預緊力不同，都會導致繩索阻尼有較大差異，而目前尚缺乏可靠、完整的繩索阻尼數據庫可供查詢。

阻尼的理論計算方法有復數特征值法、模態應變能法、有限單元法和Rayleigh-Ritz法等［8-12］，但是這些方法基于線性黏彈性振動理論，即假定振動過程中張力、幾何形狀等不變，忽略了阻尼的非線性特性，且計算方法復雜，無法高效準確地對阻尼進行評價。現有文獻對繩阻尼的研究均針對粗繩（直徑＞2mm）［13-16］，由于阻尼的非線性，文獻［17-19］中提到的針對粗繩阻尼的理論計算方法不一定能適用于細繩（直徑≤2mm），因此本文采用實驗方法研究細繩的阻尼特性。

目前，繩系并聯機構具有工作空間大、負載能力強、剛度高等特點，已成為國內外的研究熱點［4-7］。特別在風洞試驗領域，繩系并聯機構作為一種新型支撐方式，與傳統的硬式支撐相比，具有剛度大、對流場干擾小、易實現高速及復雜規律的運動等優點［20］，近年來引起國內外學者廣泛關注。然而，在現有文獻中，大部分未考慮繩阻尼的影響，個別雖考慮了繩阻尼，但繩阻尼系數是虛構值。汪選要等［21-22］將柔索簡化成剛度為常值的彈簧，建立了并聯柔索機構的動力學模型，進行了軌跡跟蹤控制的研究，但沒有考慮繩阻尼的影響。劉欣等［23］考慮了繩的彈性變形，進行了繩牽引并聯機器人的運動控制研究，但沒有考慮繩阻尼的影響。文獻［24］的研究表明，繩阻尼對末端執行器的位姿具有顯著的影響，但繩阻尼系數是虛構值。文獻［25］考慮繩索彈性、阻尼和拉伸效應，給出了繩牽引并聯支撐系統的振動特性，但繩阻尼比是虛構值。高估或低估繩索阻尼，將給繩系并聯機構的設計帶來較大誤差，甚至影響機構整體的安全性。因此，研究繩索的阻尼特性，并分析繩阻尼對繩系并聯機構的動力學特性的影響具有重要意義。

不失一般性，本文以應用于風洞試驗新型支撐的繩系并聯機器人（W ire-driven Parallel Robot，WDPR）為例，研究繩阻尼對WDPR在風洞試驗中的動力學特性的影響。本文提出了測量繩阻尼的實驗方法，解決了細繩阻尼的測量困難；通過采用繩阻尼比的實驗測量值，建立WDPR的有阻尼動力學方程，分析風洞來流沖擊作用下WDPR的動力學響應，給出了繩阻尼對WDPR動力學特性的影響判據。

1 繩阻尼特性測試

阻尼比的定義是阻尼系數與臨界阻尼系數之比［26］，用于表達結構體標準化的阻尼大小。根據阻尼的產生機制［27］，本文研究繩的內部阻尼，即來自于材料內部各種微觀和宏觀過程的機械能耗散，以下簡稱阻尼。

1.1 實驗原理

目前，對繩阻尼的測量一般采用激光位移計或應變片測量的方式［15，18-19］，而這2種方法均不適用于細繩（直徑≤2mm）的阻尼測量。因為繩太細，激光位移計的測量變得十分困難甚至不可用；粘貼應變片，則會改變細繩的動特性，影響阻尼測量結果的準確性。本文采用高速相機測量的方式，屬于非接觸式的測量方式，由于無需在繩索上附加任何質量元件，繩索本身的特性不被改變，特別適用于細繩（直徑≤2mm）阻尼的測量，同時也適用于粗繩（直徑＞2mm）。

實驗原理如圖1（a）所示。實驗時先將繩索張緊，在繩索中央懸掛重物施以載荷；待重物穩定后突然釋放重物，即對繩索中央施加瞬間激勵，使其做自由衰減振動；采用高速相機拍攝繩索中央部位的振動過程；從所拍繩索振動視頻中提取繩索振幅最大處的位移信息進行數據處理和分析，得出與繩索阻尼特性相關的參數。通過該實驗裝置可測量不同長度、直徑、預緊力和材料的繩索的阻尼參數。

繩阻尼實驗裝置的實物圖如圖1（b）所示。實驗臺架采用歐標6060L雙槽工業鋁型材搭建，以保證實驗臺架具有良好的強度、剛度和穩定性；并以水平儀校核其水平度和垂直度。采用型號為CHC-S的拉力傳感器（量程為200 N，精度為0.1%）測量繩張力。采用高速相機（型號：FASTCAM Mini AX200）獲取繩索振動位移。標定板用于在數據后處理中確定繩索在振動中的實際位移。

圖1 繩阻尼實驗原理及裝置Fig.1 W ire damping experimental principle and device

圖2 實驗繩樣本Fig.2 Wire samples for experiment

如圖2所示，選擇3種不同直徑的Kevlar繩作為實驗樣本，其物性參數如表1所示。通過設置不同的繩索參數（直徑d、預緊力作用下的初始繩長L0和預緊力T0）進行實驗，得到不同繩索參數下的阻尼比。

表1 繩樣本的物性參數Table 1 Physical param eters of w ire sam p les

1.2 數據處理方法

采用對數衰減法進行數據后處理。記繩中點振動位移響應為dy。圖3為實驗數據dy隨時間衰減的曲線。

如圖3所示，Ai代表繩振動衰減曲線dy的一個峰值，Ai+r代表第r個周期后的峰值，可得［27］

則對數衰減率δ為

由式（2）可得繩阻尼比ζ的表達式為

通過實驗測得繩索的振動位移響應曲線，利用式（2）和式（3）進行數據處理，即可得到繩阻尼比。

圖3 繩在豎直面內的振動位移響應（d=0.6mm，L0=1m，T0=30N）Fig.3 Vibration displacement response of wire in vertical plane（d=0.6mm，L0=1m，T0=30N）

1.3 實驗結果

不同直徑、不同初始繩長的Kevlar繩在不同預緊力作用下的阻尼實驗結果如圖4～圖6所示。

從圖4可見，繩阻尼比隨預緊力的增加而減小。T0∈［20，80］N時，繩阻尼比的下降速率很快；T0∈［90，145］N時，繩阻尼比的下降速率趨于平緩，且繩阻尼比隨預緊力的變化呈現非線性。

圖4 繩阻尼比與預緊力的關系（d=0.6mm，L0=1m）Fig.4 Relationship between wire damping ratio and preload（d=0.6mm，L0=1m）

圖5 繩阻尼比與初始繩長的關系（d=0.6mm）Fig.5 Relationship between wire damping ratio and wire length（d=0.6mm）

圖6 繩阻尼比與繩直徑的關系（L0=1m）Fig.6 Relationship between wire damping ratio and wire diameter（L0=1m）

圖5表明，繩阻尼比隨初始繩長的增加而增大，但曲線變化較為平坦。在不同預緊力作用下，繩阻尼比隨初始繩長的變化速率基本相同。預緊力為80 N時，繩阻尼比的分散度更小。

從圖6可見，繩阻尼比隨繩直徑的增加而增大。當預緊力為30 N時，隨著繩直徑的增加，繩阻尼比明顯增大；但當預緊力為80 N時，隨著繩直徑的增加，繩阻尼比的增大很不明顯。因此，預緊力越小，繩阻尼比隨繩直徑的變化將不能忽略。

2 動力學建模

2.1 WDPR動力學建模

圖7（a）為八繩牽引的六自由度WDPR原理樣機示意圖［28］。WDPR原理樣機采用8根Kevlar繩做牽引繩，將飛機模型懸掛在空中；改變牽引繩的長度可對模型六自由度的運動進行控制。所建造的WDPR原理樣機如圖7（b）所示。

如圖8所示，以靜坐標系OXYZ為參考系，飛機模型的位姿記為X=［XP，YP，ZP，φ，θ，ψ］T，（XP，YP，ZP）為沿3個坐標軸的平動，（φ，θ，ψ）為繞3個坐標軸的轉動。

在靜坐標系OXYZ下，第i根繩的繩長矢量定義為

圖7 WDPR原理樣機Fig.7 WDPR prototype

圖8 WDPR運動學示意圖Fig.8 Kinematic schematic diagram ofWDPR

記Li為第i根繩的實時繩長，則有

根據Newton-Euler法，飛機模型的動力學方程如下：

在風洞試驗中，作用在飛機模型上的氣動力和力矩有升力、阻力、橫向力、俯仰力矩、偏航力矩和滾轉力矩，其表達式如下［29］：

2.2 繩張力建模

考慮繩阻尼，采用彈簧模型對繩索進行建模，得到繩張力的表達式如下：

式中：T為繩張力；ku為未變形繩的剛度；c為繩阻尼系數；L為實時繩長；Lu為未變形的繩長。

根據繩阻尼系數和繩阻尼比的定義有

式中：ζ為繩阻尼比，其數值可通過第1節的實驗測得；ms為繩單位長度質量。

式中：E為繩彈性模量；A為繩未變形時的橫截面積；ρw為繩的體密度。

再根據應變公式有

聯立式（9）～式（12），可得繩阻尼系數為

所以，繩張力矢量表達式為

式中：Ku=diag（ku1，ku2，…，ku8）；Cw=diag（c1，c2，…，c8）；L=［L1，L2，…，L8］T；Lu=［Lu1，Lu2，…，Lu8］T。

2.3 WDPR的有阻尼動力學方程

聯立式（6）、式（14）和式（15），可得WDPR的有阻尼動力學方程為

3 繩阻尼對WDPR動力學特性的影響

本節基于式（16）給出的WDPR的有阻尼動力學方程，研究風洞來流作用下，WDPR的動力學響應受繩阻尼的影響。

3.1 仿真條件

仿真中所用的繩參數及飛機模型參數如下：

1）繩參數。如表1所示，采用3種不同直徑的Kevlar繩做牽引繩，為了便于比較，彈性模量統一取E=21.9GPa。

2）飛機模型采用SDM 標模，模型質量m=1.093 kg，機翼參考面積S=0.026 594m2，平均氣動弦長cA=0.092 m，模型關于質心的慣量矩陣為

3）來流條件。以縱向測力試驗［29］（模型側滑角為0°，在一系列攻角下進行測量）為例，來流速度V=17m/s，空氣密度ρ=1.29 kg/m3，飛機模型攻角12°，升力系數CL、阻力系數CD、俯仰力矩系數Cm見參考文獻［28］。

為了克服非線性動力學方程的求解困難，本文采用隱式的變階Runge-Kutta數值積分方法，對式（16）進行求解。

3.2 結果與分析

通過仿真分析，得到WDPR的動力學響應曲線，如圖9～圖12所示。其中，飛機模型的位姿響應以飛機模型沿OX方向的位姿變化和俯仰角變化為例。

圖9 飛機模型沿OX方向位姿變化Fig.9 Attitude variation of aircraftmodel along OX direction

如圖9所示，當繩直徑為0.6mm時，不考慮阻尼的情況下，飛機模型沿OX方向的位姿變化的峰-峰值為0.1mm；考慮阻尼的情況下，飛機模型沿OX方向的位姿變化的初始峰-峰值也為0.1mm，且隨時間緩慢變小，但變化幅度不大。當繩直徑為2mm時，不考慮阻尼的情況下，飛機模型沿 OX 方向的位姿變化的峰-峰值僅為0.01mm；考慮阻尼的情況下，飛機模型沿OX方向的位姿變化的初始峰-峰值也為0.01mm，且隨時間快速變小，在t=3 s后趨于穩定。

圖10 飛機模型俯仰角變化Fig.10 Pitching angle variation of aircraftmodel

如圖10所示，當繩直徑為0.6mm時，不考慮阻尼的情況下，飛機模型俯仰角變化的峰-峰值為0.1°；考慮阻尼的情況下，飛機模型俯仰角變化的初始峰-峰值也為0.1°，且隨時間緩慢變小，但變化幅度不大。當繩直徑為2mm時，不考慮阻尼的情況下，飛機模型俯仰角變化的峰-峰值僅為0.01°；考慮阻尼的情況下，飛機模型俯仰角變化的初始峰-峰值為0.006°，且隨時間快速變小，在t=2 s后趨于穩定。

在來流作用下，飛機模型位姿變化的同時，繩張力也隨之變化。令ΔT=T-T0，ΔT為繩張力的變化量，T為飛機模型位姿變化過程中的實時繩張力。以繩5為例，如圖11所示，對于不同粗細的繩，不考慮阻尼的情況下，繩張力變化的峰-峰值為2N；考慮阻尼的情況下，繩張力變化的初始峰-峰值也為2 N。在考慮阻尼的情況下，直徑為0.6mm的繩的繩張力隨時間緩慢變小；而直徑為2mm的繩的繩張力隨時間快速變小，在t=2 s后趨于穩定。

圖11 繩張力變化Fig.11 W ire tension variation

綜上所述，在來流作用下，采用直徑較大的繩，飛機模型位姿變化和繩張力變化在短時間內能趨于穩定。因此，在繩對流場的影響可以接受的情況下，采用直徑較大的繩，WDPR的穩定性更好。

圖12為飛機模型位姿響應和繩張力響應曲線的局部放大圖。從圖12可見，無阻尼情況下，飛機模型的位姿和繩張力呈周期性振蕩；考慮阻尼的情況下，飛機模型的位姿和繩張力呈衰減振蕩，且繩直徑較大時，振蕩衰減得越快。說明繩阻尼對WDPR的動力學響應具有減振作用，且繩直徑越大，繩阻尼的減振作用越明顯。特別地，對于直徑小于2mm的細繩來說，相比無阻尼的情況，繩阻尼對飛機模型位姿及繩張力的振蕩頻率和相位的影響很小，基本可以忽略。

圖12 WDPR動力學響應Fig.12 Dynamic response ofWDPR

3.3 繩阻尼的影響判據

根據上述分析，直徑不同的繩，對WDPR動力學響應的影響明顯不同。以繩5為例，根據式（13），不同直徑繩的阻尼系數如表2所示。由于阻尼比和繩直徑不同，導致阻尼系數有很大差別，從而導致WDPR 的動力學響應明顯不同。

表2 不同直徑繩的阻尼系數（繩5）Table 2 Dam ping coefficient of w ire w ith different diam eters（W ire No.5）

直徑不同的繩，其阻尼比不同，并且初始繩長、初始繩張力的不同，都會影響繩的阻尼系數。因此，以繩阻尼系數作為因變量，取2種不同直徑的繩，分析其阻尼系數的變化對WDPR動力學響應的影響。定義當量系數ηX、ηP、ηT，對飛機模型位姿和繩張力進行無量綱化處理：

式中：pX0為無阻尼時飛機模型沿OX方向位姿變化的峰-峰值；pXc為有阻尼時飛機模型沿OX方向位姿變化5 s后的峰-峰值；pP0為無阻尼時飛機模型俯仰角變化的峰-峰值；pPc為有阻尼時飛機模型俯仰角變化5 s后的峰-峰值；pT0為無阻尼時繩張力變化的峰-峰值；pTc為有阻尼時繩張力變化5 s后的峰-峰值。

如圖13所示，當繩阻尼系數c＞0.6 N·s/m時，無阻尼與有阻尼的動力學響應峰-峰值之比將超過10，即繩阻尼的減振作用變得很顯著，特別是直徑粗的繩比直徑細的繩，其阻尼的作用更明顯。因此，在WDPR的設計中，可根據式（13）和實測的繩阻尼比計算得到，當繩阻尼系數c滿足以下條件：c＞0.6 N·s/m時，不論繩直徑粗細如何，其阻尼對WDPR 動力學特性的影響不能忽略。

圖13 繩阻尼系數變化對WDPR動力學響應的影響Fig.13 Influence of wire damping coefficient variation on dynamic response of WDPR

4 結 論

本文以應用于風洞試驗模型支撐的繩系并聯機器人WDPR為例，研究繩阻尼對WDPR動力學特性的影響，得出以下結論：

1）考慮繩阻尼的情況下，當繩直徑較小（d＜1mm）時，飛機模型位姿變化和繩張力變化的峰-峰值隨時間緩慢變小，但變化幅度不大；當繩直徑較大（d≥2mm）時，飛機模型位姿變化和繩張力變化的峰-峰值隨時間快速變小，并在3 s后趨于穩定。因此，在繩對流場的影響可以接受的情況下，采用直徑較大的繩，WDPR的穩定性更好。

2）繩阻尼對WDPR動力學響應的影響主要體現在響應幅值上，繩直徑越大，繩阻尼對WDPR動力學響應的減振作用越明顯。特別地，對于直徑小于2mm的細繩來說，相比無阻尼的情況，繩阻尼對飛機模型位姿及繩張力的振蕩頻率和相位的影響很小，基本可以忽略。

3）當繩阻尼系數大于0.6 N·s/m時，不論繩直徑粗細如何，其阻尼對WDPR動力學特性的影響不能忽略。

綜上所述，本文提出的建模方法和研究結果可為WDPR的設計提供指導。此外，繩阻尼的非線性特征及其隨不同參數的變化規律，將在今后進一步開展研究。