被動式電液負載模擬器的變增益滑模控制研究*

何龍飛，金曉宏，阮 軍，魏 航

(武漢科技大學 機械自動化學院，湖北 武漢 430081)

0 引 言

被動式電液負載模擬器是一種半實物類仿真器，其能夠模擬實際環境中的載荷，實現對如舵機位置系統等大功率驅動系統進行高精度加載。由于電液負載模擬器要根據被加載舵機的位置變化，實時地跟蹤并加載相應的載荷譜，它是一種存在強位置擾動的力控制系統。

但被動式電液負載模擬器自身存在大量的非線性環節，同時與舵機位置系統之間又相互耦合，這就要求電液負載模擬器能夠與舵機位置系統同步工作，且不受舵機運動的干擾。為此，提高系統輸出精度的關鍵就是研究如何補償電液伺服力系統中的非線性環節，以及被加載舵機的位置干擾。

很多學者為提高電液負載模擬器的輸出精度進行了深入的研究，其方法大致可以分為兩類：

(1)結構補償。如鄭大可等[1]將舵機位置系統與模擬器剛性連接部位改為滑動摩擦的形式，搭建單向摩擦加載式電液負載模擬器實驗樣機，并建立該負載模擬器的線性數學模型；李閣強等[2]將加載執行元件設計成復式雙層結構，實現變被動加載為主動加載的目的，并仿真分析了小梯度加載下電液負載模擬器的性能。

(2)控制補償。如LI J等[3]從最小相位系統出發，將專家PID控制理論應用于電液伺服力控制系統，提高了系統的響應速度和動態性能；趙孟文等[4]采取以CMAC神經網絡控制算法與PID控制算法結合的方法，減少了多余力；LI Jian-ying等[5]利用模型參考自適應控制，分析了電液負載模擬器的自適應參數調整規律，提高了輸入跟蹤的快速性和準確性；鄧洋等[6]針對彈性負載發生器系統穩定性受彈性負載影響的問題，引入了前饋控制，解決了負剛度負載時系統的穩定性問題；程方明等[7]采用二階微分正反饋補償系統，分析了在負載彈性剛度含有負值時，以及外負載力方向切換時，系統的穩定性問題，結果表明系統能夠達到3 Hz的頻寬；張旭等[8]討論了負載剛度和液壓剛度在系統主要行程范圍內變化，對系統動態特性的影響，并采用高階系統跟隨低階參考模型的自適應控制方法，提高了系統的動態特性和精度。

滑模變結構控制能夠在系統達到滑模面后，對參數攝動和外結構干擾具有不變性，即自身具有強魯棒性；但傳統滑模變結構控制會帶來系統的抖振。TALEB M等[9]提出了一種能減少系統抖振的增益自適應滑模變結構控制方法，并給出了一個控制不確定非線性系統的解決方案。

針對被動式負載模擬器的特點，在考慮活塞在不同位置時容積效應的影響的基礎上，本文采用帶有摩擦模型的非線性數學模型；利用Lyapunov函數來證明系統在變增益滑模控制器下是漸進穩定的，并借助Matlab/Simulink模塊，來仿真討論在變增益滑模控制器下負載模擬器的性能。

1 負載模擬器非線性建模

本文的研究對象是被動式電液負載模擬器，如圖1所示。

圖1 電液負載模擬器原理圖

從圖1中可以看出：右側為被動式電液負載模擬器，通過電液伺服閥控制負載模擬器的液壓缸左右兩腔壓力差，可實現對舵機位置系統的加載；左側為舵機位置系統，其作為負載模擬器的承載對象，會對模擬器產生位置干擾。

將電液伺服閥視為一節慣性環節，則其閥芯位移方程為：

(1)

式中：xv—伺服閥閥芯位移，m；τv—伺服閥響應時間，s；ki—電流-閥芯位移增益系數，m/A；u—伺服閥輸入電流，A。

考慮到伺服閥的輸出電流飽和，即有：

(2)

電液伺服閥閥口的流量方程為：

(3)

式中：q1，q2—通過伺服閥進入/流出液壓缸左、右兩腔的流量，m3/s；p1，p2—液壓缸左、右兩腔壓力，Pa；ps，pr—供油壓力、回油壓力，Pa；Cd—流量系數；ω—滑閥面積梯度，m；ρ—油液密度，kg/m3。

液壓缸兩腔的壓力動態方程為：

(4)

式中：Ee—油液有效體積彈性模量，Pa；A—液壓缸活塞的有效面積，m2；xp—模擬器活塞位移，m；Cip—液壓缸內泄漏系數，m3/(s·Pa)；pL—負載壓力，Pa，其中pL=p1-p2；V1，V2—液壓缸左、右兩腔有效容積，m3，其中V1=V01+Axp，V2=V02-Axp；V01，V02—液壓缸左、右兩腔初始有效容積，m3。

系統力的平衡方程為：

(5)

式中：m—折合在活塞桿上的綜合質量，kg；Bp—黏性阻尼系數，N·s/m；F—活塞桿受到的力，N；fF—非線性摩擦力，N。

采用非線性連續光滑可微函數[10]逼近，其中有：

fF=a1[tanh(c1xp)-tanh(c2xp)]+
a2tanh(c3xp)+a3xp

(6)

式中：a1，a2，a3—各類摩擦特性的幅值大小；c1，c2，c3—與摩擦特性的形狀有關的系數。

(7)

其中，函數f1、f2分別為：

(8)

函數R1、R2分別為：

(9)

2 控制器設計

高為炳教授[11]從滑模變結構原理出發，利用趨近律對滑模的趨近運動進行了限制，進而改善了趨近運動的動態品質。典型的趨近律可以分為：等速趨近律、指數趨近律和冪次趨近律。這里，考慮到對象中存在有界擾動，采用具有良好特性的二階滑模特性的雙冪次趨近律。

雙冪次趨近律[12]表達形式為：

(10)

式中：s—待選取滑模面；h1，h2，h3—h1，h2∈(0,+∞)，h3∈(0,1)。

設系統的輸出力為y=Ax3，期望輸出力為yd=Ax3d，即控制器的設計目標就是使系統的實際輸出負載壓力x3盡可能地跟蹤期望輸出負載壓力x3d。

首先定義輸出誤差變量為：

e=x3-x3d

(11)

對式(11)求導可得：

(12)

設計變增益滑模面為：

(13)

其中：

(14)

對式(13)求導可得：

(15)

式中：

(16)

其中：|d|≤D，D∈(0，+∞)。

設計的控制器為：

(17)

式中：

(18)

定義Lyapunov函數為：

(19)

對式(19)求導，并將式(12，13，15，17)代入，可得：

(20)

當-h2|s|2+h3+D|s|≤0時，根據式(20)可得：

(21)

當-h1|s|2-h3+D|s|≤0時，根據式(20)可得：

(22)

即根據式(21，22)可得：

(23)

根據式(23)可得，系統狀態s將在有限時間內收斂到：

|s|=min{(D/h1)1/1-h3(D/h2)1/1+h3}

(24)

通過式(24)可得，增大h1、h2，能夠減少系統狀態s的穩態誤差界。

3 數值仿真及結果分析

根據被動式電液負載模擬器的數學模型，本文建立Matlab/Simulink數值仿真模型。設置步長為1×105s，采用ode23 s算法，計算相對誤差取1×10-6。

仿真計算所采用的參數[13]如表1所示。

表1 液壓系統參數

選取式(6)中參數：a1=177，a2=63，a3=4 000，c1=500，c2=80，c3=900，可得摩擦力曲線，如圖2所示。

圖2 摩擦力曲線

選取式(10)中參數：h1=17，h2=17，h3=0.5。選取式(14)中的參數：k1=11，k2=150，k3=1 000，k4=0.001，有σ∈[10，160]。

針對式(14)中的參數σ，取最小值、變增益、最大值的3種情況分別進行仿真：

(1)參數σ取其最小值11，記控制器為uA；

(3)參數σ取其最大值161，記控制器為uC。

將模擬器的期望輸出設為：yd=3 000+500(t+0.5 s) N，干擾位置系統斜坡期望位移如圖3所示(其中包含一個同向位置切換擾動和一個反向位置切換擾動)。

圖3 斜坡干擾期望位移

模擬器響應曲線如圖4所示。

圖4 干擾位移為斜坡時模擬器期望輸出為yd=3 000+500(t+0.5 s)N的響應曲線

誤差曲線如圖5所示。

圖5 干擾位移為斜坡時模擬器期望輸出為yd=3 000+500(t+0.5 s) N的誤差曲線

圖5顯示：未加入位移擾動，且采用uB時，模擬器輸出的超調量為3.19%，最大誤差為期望輸出值的0.38%；采用uA時，模擬器的的超調量分別為3.17%，最大誤差分別為期望輸出的1.14%；采用uC時，模擬器的的超調量為41.88%，最大誤差為期望輸出的0.14%。

加入位置系統同向斜坡擾動時，采用uB時，模擬器輸出的最大誤差為期望輸出值的0.26%；而采用uA和uC時，模擬器的最大誤差分別為期望輸出的3.58%和0.25%。

加入位置系統反向斜坡擾動時，采用uB時，模擬器輸出的最大誤差為期望輸出值的0.41%；而采用uA和uC時，模擬器的最大誤差分別為期望輸出的5.54%和0.39%。

在干擾位移為斜坡時，采用uA的模擬器誤差最大，而采用uC的模擬器誤差最小。但采用uB的模擬器誤差均能保持在期望輸出的5%以內。

將模擬器的期望輸出設為：yd=3 000+500sin(8πt+0.5 s) N，干擾位置系統期望位移如圖6所示。

圖6 正弦干擾期望位移

負載模擬器的響應曲線如圖7所示。

圖7 干擾位移為正弦時負載模擬器期望輸出為yd=3 000+500sin(8πt+0.5 s)的響應曲線

誤差曲線如圖8所示

圖8 干擾位移為正弦時負載模擬器期望輸出為yd=3 000+500sin(8πt+0.5 s)的誤差曲線

圖8顯示：未加入位移擾動時，采用uB時，模擬器輸出的超調量為3.19%，最大誤差為期望輸出值的3.73%；采用uA時，模擬器的超調量為3.17%，最大誤差為期望輸出的37.58%；采用uC時，模擬器的超調量為41.88%，最大誤差為期望輸出的3.44%。

加入舵機位置系統正弦擾動時，采用uB時，模擬器輸出的最大誤差為期望輸出值的2.54%；而采用uA和uC時，模擬器的最大誤差分別為期望輸出的36.78%和2.54%。

在干擾位移為正弦時，采用uA的模擬器誤差最大，而采用uC的模擬器誤差最小。但采用uB的模擬器誤差均能保持在期望輸出的5%以內。

為詳細對比以上3種控制器uA、uB和uC的綜合性能，本文采用以下指標，來模擬模擬器輸出響應時，達到并保持在終值±2%內所需的調節時間。

其最大跟蹤誤差和超調量如表2所示。

表2 負載模擬器加載性能

表2結果表明：本文采用變增益的雙冪次趨近律滑模控制器uB的模擬器，與采用定增益的雙冪次趨近律滑模控制器uA的模擬器相比，其最大誤差減少93.11%，與定增益的雙冪次趨近律滑模控制器uC的模擬器相比，超調量減少38.69%。

4 結束語

針對被動式電液負載模擬器的加載精度和響應速度問題，本文設計了一種具有變增益的雙冪次趨近律滑模控制器，通過Lyapunov函數證明了在該控制器下，系統是漸進穩定的，同時既能保證系統的控制輸入是連續的，又能保證系統輸出的超調量不超過5%，且最大誤差不超過5%。

仿真實驗驗證了本文所設計的參數σ為變增益的控制器uB；在參數σ取最小值時，相比定增益控制器uA和最大值定增益控制器uC，其超調量減少了38.69%，最大誤差減少了93.11%。