巧設物理情境推導公式

陳錦華

摘? ?要：設置恰當的物理情境，運用初等數學推導簡諧運動和單擺的周期公式以及正弦交流電的有效值和平均值.通過推導過程的教學，填補高中物理教材的不足，達到對教材內容進行二次開發及補充的目的。

關鍵詞：簡諧運動和單擺;周期公式;正弦交流電;有效值;平均值

在大學物理教材中，單擺的周期公式和正弦交流電的有效值分別用高等數學的微分方程和微積分推導，而在高中物理教材中是直接給出結果，并沒有具體的推導過程，使得學生對該結果及其物理意義的理解比較膚淺。其實教學中，只要設置恰當的物理情境，運用初等數學知識，也可以推導出上述的兩個結果，并且還可以推導出簡諧運動的周期公式和正弦交流電的平均值。

1? 推導簡諧運動和單擺的周期公式

1.1? 推導簡諧運動的周期公式

物理情境1：如圖1，在光滑水平桌面上的O點固定一枚釘子，把勁度系數為k、原長為零的彈簧一端套在釘上，另一端系一個質量為m的小球。把彈簧拉長后，使小球在桌面上做半徑為r、角速度為ω的勻速圓周運動[ 1 ]。

上述物理情境把彈簧的原長理想化（設為零），但胡克定律仍適用于彈簧。以O點為位移起點，則小球的位移為r，彈簧的伸長量也為r。小球受到的向心力等于彈簧彈力F，根據勻速圓周運動的規律可知

F=-mω2r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

根據胡克定律可知

F=-kr? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

（1）、（2）式中的負號表示F與r方向相反。

小球做勻速圓周運動的周期

T=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

由（1）、（2）、（3）三式可得

T=2π? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

取O點到小球初始位置的方向為x軸的正方向，小球從初始位置開始做勻速圓周運動轉過角度θ時，小球的位移r和受到的彈簧彈力F在x軸上的分量分別如圖2的rx和圖3的Fx所示，由圖2和圖3可得

rx=rcosθ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

Fx=Fcosθ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

由（2）、（5）、（6）三式可得

Fx=-krx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

由（7）式可知，小球在x軸上的分力Fx和分位移rx滿足簡諧運動的受力特征，故小球在r軸上的分運動為簡諧運動，分力Fx作為分運動（即簡諧運動）的回復力。根據分運動與實際運動的等時性原理可知，小球在x軸上的分運動（即簡諧運動）與小球實際運動（即勻速圓周運動）的周期相同，所以簡諧運動的周期公式與（4）式相同。

1.2? 推導單擺的周期公式

由于單擺在擺角很小時是做簡諧運動[ 2 ]，其回復力F=x，其中的即為（4）式的k，將k=代入（4）式可得，單擺的周期公式為T=2π。

通過上述推導過程，不僅可以加深學生對簡諧運動和單擺周期公式的理解，還可以讓學生認識到勻速圓周運動和簡諧運動之間的聯系，培養學生知識遷移解決物理問題的能力。

2? 推導正弦交流電的有效值和平均值

2.1? 推導正弦交流電的有效值

物理情境2：設有兩個阻值都為R的電阻，分別通過電流i1和i2，i1和i2的瞬時值分別為

i1=Imsinωt? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

i2=Imcosωt? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

上述物理情境中，i1和i2在一個周期內的i-t圖像分別如圖（4）和圖（5）所示。有多種方法可以證明i1和i2的有效值相等，其中學生比較容易理解的證明方法是：圖4的i1在時間0到T/4、T/4到T/2、T/2到T三個階段的i-t圖線，分別與圖5的i2在時間到T、0到T/4、T/4到三個階段的i-t圖線相同，所以i1和i2在上述三個對應階段產生的熱量分別相等，故在一個周期內，i1和i2產生的熱量也相等。根據交流電有效值的定義可知，i1和i2的有效值I相等。

由（8）、（9）兩式可知，i1和i2的瞬時功率分別為

P1=i12R=Im2Rsin2ωt，

P2=i22R=Im2Rcos2ωt。

由以上兩式可知，i1和i2的瞬時功率之和為0880D64A-C198-45C2-8E33-7F10A71B8D9C

P1+P2=Im2R（sin2ωt+cos2ωt）=Im2R? ? ? ? （10）

由（10）式可知，i1、i2的瞬時功率之和等于定值Im2R，則i1、i2功率之和的平均值也等于Im2R，故i1和i2在一個周期內產生的總熱量

Q=Im2RT? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

根據交流電有效值的定義可知， i1和i2在一個周期內產生的總熱量為

Q=2×I2RT? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

由（11）、（12）兩式可得，正弦交流電的電流有效值I=。同理可得：U=，E=。

2.2? 推導正弦交流電的平均值

物理情境3：如圖6，單匝線圈的面積為S，總電阻為R，在磁感應強度為B的勻強磁場中，以角速度ω勻速轉動，轉動的初始時刻線圈平面與B垂直。

對于物理情境3，根據正弦交流電產生的知識可知，線圈上產生正弦交流電，其電流的瞬時值i=Imsinθ，其中Im=，θ為線圈從初始時刻開始轉過的角度。

線圈從開始到轉過角度θ的過程，電流平均值為

====? ? ?（13）

將Im=代入（13）式，可得正弦交流電的電流平均值

=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

同理可得

=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）

由以上三式可知，正弦交流電的平均值會隨角度（或時間）的變化而變化。

正弦交流電的有效值和平均值是學生容易混淆的兩個概念，通過推導正弦交流電的有效值和平均值，可以加深學生對有效值和平均值物理意義的理解，明確有效值和平均值的區別與聯系。

新課標的教學理念認為，教材只是最基本、最重要的課程資源之一，教材與師生應該形成一個相互影響、相互豐富、相互補充的系統。普通高中課程標準教材除了具有時代性、基礎性和選擇性外，還具有一定的開放性，教材沒有必要也不可能把所有的問題都講清。本文的推導過程是基于教材內容和學生現有知識的實際情況，對教材內容進行二次開發及補充，這樣可以豐富教學內容，加深學生對物理概念和規律的理解，培養學生知識遷移解決物理問題的能力，提高教學質量。

參考文獻：

[1]繆庚平.巧用物理知識 求解擺線弧長[J].物理教師，2006，27（8）：4.

[2]繆庚平.牛頓第一定律教學中的三個疑惑[J].中學物理教與學，2009（8）：24-25.0880D64A-C198-45C2-8E33-7F10A71B8D9C