巧用數學方法實施生物學模型構建教學

左開俊

摘要 根據中學階段學生的認知范圍，常構建的數學模型有圖像模型、函數模型、多邊形模型和幾何模型等。設計和實施“數學模型構建”教學有助于實現教學樣態的多樣化、教學內容的跨學科、教學思想的統一化，使體現生物學科核心素養、科學思維、深度思考的學習和教學活動真正發生。

關鍵詞 數學方法 生物學教學 模型構建教學

中圖分類號 G633.91

文獻標志碼 B

文件編號：1003-7586（2020）08-0012-04

數學模型構建教學是以構建數學模型為載體，在生物學學科核心素養的指導下，通過符號、公式、圖像等數學語言和數學工具，來定量描述生命系統發展狀況的一種教學結構或教學程式。數學模型構建教學最大的特點就是：可以將日常中一個復雜的生物學問題借助數學模型的構建，最終轉化成一個數學問題。《普通高中生物學課程標準（2017年版）》在“教學建議”中強調：教師應培養學生通過文字描述、數學表格、示意圖、曲線圖等方式完成報告，組織交流探究的過程和結果，并進行適當的評價。該段文字折射出來的數學方法思想，確立了數學模型構建教學在新課改中的地位，值得教師對此課題進行深入探討和研究。

1構建數學模型實施生物學教學的常見類型

數學模型是聯系數學知識與實際問題的橋梁，是數學知識在各個領域廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑。教學過程中，通過數學模型構建的方式輔助解決生物學問題，能促進學生綜合運用能力和綜合分析能力的提高;同時，數學模型構建的方式也能使相關復雜的生物學問題變得簡單直觀和一目了然。

1.1圖像模型構建——深入淺出簡單直觀，思維創造能力培養

圖像模型就是將數與各種圖形有機聯合，實現彼此之間的數量關系。圖像模型構建往往能使許多抽象的概念以及眾多概念間的關系脈絡分明地直觀化、形象化呈現。這既有利于創造性思維的培育、探究性教學的實施;也有助于歸納與概括能力的培養、科學性解題思維的訓練。教師若能經常考慮數圖結合，則常會使教學方式別開生面，教學內容直觀易懂。

【教學案例1】“密碼子、反密碼子、氨基酸”三者關系的教學。

生物學教學中，最難教的就是多個知識點間的相互聯系與區別。多個知識點間錯綜復雜的聯系，常讓學生找不到學習或解題的頭緒。此時，若教師利用數圖結合的圖像模型，就會脈絡分明地展現它們彼此間的相互關系和聯系。例如，教師引導學生構建“密碼子、反密碼子、氨基酸”三者關系的圖像模型（圖1），教學效果就會事半功倍。

“密碼子、反密碼子、氨基酸”三者關系的圖像模型概述：正方形代表密碼子，有64種;三角形代表反密碼子，有61種;圓形代表氨基酸，有20種。從圖像模型中可以直觀得出：①一種密碼子只能與一種反密碼子配對，但有三種密碼子是終止密碼子，沒有與之配對的反密碼子;②一種反密碼子只能決定一種氨基酸，一種氨基酸卻可以由好幾種反密碼子或密碼子決定;③有兩種氨基酸（甲硫氨酸和色氨酸）只能由一種反密碼子或密碼子決定。

運用圖像模型構建教學的優點主要有：①深入淺出，簡單直觀。生物學教學過程中，有序地、深層次地向學生們講清楚生物學問題的本質，是教學過程中的一個難點，也是一個重點。蒼白的語言或文字描述，一方面常令一些關鍵詞的地位不能重點呈現;另一方面大量的語言陳述也常令部分學生云里霧里、分辨不清。創建合理的圖像模型，既能使復雜的問題簡單化;又能使抽象的問題直觀化。②思維創造，能力培養。構建圖像模型是一種思維創造，其能通過形象、直觀的數學元素，來提高學生對生物知識的加深與鞏固，幫助學生培養和提高分析問題的能力、解決問題的能力。

1.2函數模型構建——概念鋪展樹立觀念，辨識比對去偽存真

函數模型指對某個具體問題通過“建模”，轉化成函數或方程式，進而解決問題的一種方法。運用到生物學中，就是將具體的生物問題，通過運用生物原理和數學方法將問題中所展示的概念性生物關系轉化為相應的函數，然后利用數學知識和生物規則逐層鋪展，以便尋求認知上的突破。

【教學案例2】“核苷酸種類、脫氧核苷酸和核糖核苷酸成分上異同點”的教學。

新教材在安排“核苷酸種類、脫氧核苷酸和核糖核苷酸成分上異同點”的教學內容時，建立了如圖2所示的概念模型。該概念雖然能很清晰地解決了DNA與RNA在化學組成成分上的異同，但此概念模型未能涵蓋此節的其他兩個概念：①核苷酸的種類;②脫氧核苷酸和核糖核苷酸成分上的異同點。

如何通過模型的再構建，將眾多概念直觀、形象地整體展現呢？教師可以引入函數思想，通過構建函數模型，來開展此部分內容的教學。其教學過程為：（1）依據核苷酸分子組成，構建函數模型：把每個核苷酸分子看成是關于五碳糖和堿基這兩個變量的二元一次函數，記作f（x，y）=x+y+P，其中X∈{核糖，脫氧核糖），y∈{A，G，C，T，U），P（磷酸）可看作是常數，同時當x=核糖時，y≠T，當x=脫氧核糖時，y≠U。

（2）畫出函數模型：根據已設定的元素種類，構建函數模型（圖3）。

（3）觀察模型，得出相關結論：①核苷酸的種類：函數模型中，每個直角三角形分別代表一種核苷酸，第一象限為DNA區，含有4種脫氧核糖核苷酸，即APD、CDP、GDP和TDP四種;第二象限為RNA區，含有4種核糖核苷酸，即ARP、CRP、GRP和URP四種，故核苷酸的種類有8種。②脫氧核苷酸和核糖核苷酸在成分上異同點：根據X軸的正負方向，得出五碳糖的不同，即脫氧核苷酸的五碳糖是脫氧核糖，核糖核苷酸的五碳糖是核糖;根據Y軸正方向區域不同，得出脫氧核苷酸和核糖核苷酸共同的堿基是A、C、G，脫氧核苷酸特有的堿基是T，核糖核苷酸特有的堿基是U。

運用函數模型構建教學的優點主要有：①概念鋪展，樹立觀念。函數模型能夠依據重要概念的元素構成，直觀而清晰地呈現各構成元素之間的異同點，能幫助學生形成正確的生物學重要概念，支撐眾多概念的脈絡化形成，幫助學生建立正確、科學的生物學觀念。②辨識比對，去偽存真。學生通過對兩個或多個概念之間直觀地觀察和比較，能迅速地找出其彼此間的聯系和區別，消除了錯誤概念，建立科學概念;也培養了歸納與概括、分析與辨別的思維品質。

1.3多邊形模型構建——融會貫通推理探究，他山之石可以攻玉

多邊形是指由三條或三條以上的線段連接成的平面圖形。在生物學教學中，構建多邊形模型可以直觀地解決多倍體復雜的減數分裂、受精作用、基因型及比例等問題。這一方面提供了一種避免大量假設與討論的解決問題模式;另一方面也實現了將多維、復雜的問題在推理上可視化。

【教學案例3】“多倍體減數分裂產生配子的基因型及比例”的教學。

人教版高中教材《必修2·遺傳與進化》中在介紹低溫和一定濃度的秋水仙素處理萌發的種子或幼苗，能夠引起細胞內染色體數目加倍的應用時，用常規教學方法來分析二倍體生物產生配子的基因型及比例，學生是可以理解的。但如果將二倍體拓展為多倍體生物體時，常規方法就顯得非常雜亂和繁瑣。如何解決“多倍體減數分裂產生配子的基因型及比例”的教學難題，可以通過構建多邊形模型來進行詮釋。

其教學過程為：（1）展現特殊案例，思考問題。以“基因型為Aa的番茄幼苗，經適宜濃度的秋水仙素處理后形成的四倍體”為案例，引導學生思考。在減數分裂時其形成配子的基因型及比例。（2）根據已有知識體系，進行推理：基因型為Aa的番茄二倍體，經適宜濃度的秋水仙素處理后，變成四倍體AAaa，這四個基因位于四條同源染色體上，在減數分裂形成配子的過程中，兩兩隨機分到一極。③嘗試構建四邊形模型，解決問題：以基因型AAaa中的4個字母A、A、a、a為長方形的四個頂點。減數分裂的實質同源染色體的分離，就可以直觀地表現為字母的兩兩結合，這樣，就順利且直觀地在四邊形模型上完成了三組連線（2條邊長1組;2條寬1組，2條對角線1組），展現了四倍體減數分裂產生配子的基因型及比例的教學了（圖4）。

（提示：如果是類似于AAa的三倍體，在構成四邊形模型時，另一頂點可以用零替代。）運用多邊形模型構建教學的優點主要有：①融會貫通，推理探究，能夠運用學生掌握的多邊形相關知識、證據和邏輯，對生物學議題進行構建、思考、展開論證，培養了學生創新學習和創新思維的能力。②依托多邊形的幾何知識（如四邊形的2條邊長、2條寬、2條對角線）為載體，引導學生將抽象、復雜的生物學行為問題，轉化為形象、可演示的模型行為，體現了新教材的學科間聯系的思想，培養了學生進階認知的品質。

1.4幾何模型構建——情境體驗探尋發現，具身認知覓求真知

幾何模型構建特指在生物教學中，通過創建相應的幾何圖形，并且根據其蘊含的相關知識（如定理、公理等），探尋和發現其與生物學問題之間的共性，達到直接解決問題的一種模式。

【教學案例4】“細胞為什么不能無限長大”的教學。

人教版高中教材《必修1·分子與細胞》在介紹細胞不能無限長大時，設計了一個“運用模型作解釋”的思維訓練，此訓練中將細胞的形狀設計成了一個正方體模型，該細胞模型的構建讓學生們很難用肉眼從生活中找到其影子，一定程度上脫離了學生們的真實生活和認知范疇。筆者在施教此部分內容時，創設了一個真實的生活情境：現場給學生展示了一只熟雞蛋，取出蛋黃交代清楚：未受精的蛋黃，實際上是一個卵細胞。接著，引導學生通過觀察卵細胞，將細胞的形狀構建成一個球體模型。教師將生物學問題轉換成數學問題：卵細胞是通過什么結構從外界汲取營養物質的？汲取營養物質后，卵細胞的生長又是以何種形式呈現的？引導學生達成共識：卵細胞通過細胞膜從外界汲取營養，促進細胞體積的增長。順勢引入“表面積和體積的商”代表的含義為：單位時間內，卵細胞單位體積所攝入的營養物質的量，即卵細胞的生長速率。“表面積和體積的商”越大，卵細胞的生長速率就越快，反之則慢。通過以上的鋪墊，此時就可以根據球體表面積、體積的數學公式，推導出細胞表面積和體積的關系為：細胞生長的速度=S/V=4JIR²/4/3JIR³=3/R。

學生觀察關系式，發現矛盾：隨著卵細胞的生長，細胞的半徑R隨之增大，將其代入關系式就發現，此時細胞生長速率（S/V=3/R）卻趨向于0。即單位時間內，卵細胞單位體積攝入的營養物質量為零時，細胞就可以無限制的長大。很顯然，這個觀點是錯誤的。學生通過推理，得出結論：細胞的表面積與體積的關系，是限制細胞不可能無限制長大的一種原因。

運用幾何模型構建教學的優點主要有：①通過真實情境的體驗，幫助和引導學生構建熟悉的幾何模型（如案例4中的球體），利用學生們已貯存的相關知識（如案例4中的球體表面積和體積），嘗試著去分析和解決生物問題，其有助于培養學生創新學習和創新思維的能力。②教師依托真實存在的生物為載體（例如本節中的蛋黃），培養學生善于從實踐的層面探討或嘗試解決現實生活問題，幫助其樹立生命觀念，培養其勇于探索生命規律的品質。

2巧用數學方法實施模型構建教學的反思與體會

巧用數學知識實施模型構建教學，具有多方面的意義：①實現了教學樣態的多樣化。例如，應用于光合作用教學的曲線模型、應用于細胞分裂教學的柱狀模型和折線模型、應用于遺傳規律教學的集合模型和圖像模型等，一方面為生物學教學的實施提供了多樣化的手段，另一方面也為課堂教學注入了活潑的元素。②實現了教學內容的跨學科。生物學與數學知識的整合，其千變萬化的構象，體現了課程標準強調的學科間的聯系和滲透的要求。通過數學方法實施模型構建教學，加強了生物學與數學學科間的橫向聯系，為學生深層次地理解科學的本質、科學的思想方法和跨學科的科學概念和過程提供了借鑒。③實現了教學思想的統一化。生物學教學中融入數學方法，高度融入了新大綱的要求，如要培養學生學會用數字表格、示意圖、曲線圖等完成報告;能夠將科學、技術、工程學和數學（STEM）知識和能力綜合運用在實踐活動中，解決生活中的實際問題。

巧用數學知識實施模型構建教學時，教師在構建模型的過程中，要多從學生的認知角度出發，多從學生的思維角度出發，多從學生貯備的數學知識出發，開發和探究出易于讓學生接受的數學模型。教師在教學中，只有充分調動了學生的思維，并根據不同生物學問題的特點，引導學生進行有意義的數學模型建構，才能使數學模型內化于學生的頭腦，成為他們分析和解決問題時心智操作的工具。