化圓為方及立方倍積的尺規(guī)思考

【摘要】用空間多一個(gè)維度結(jié)合壓縮相似理念給出了一種關(guān)于1°的角的尺規(guī)畫法之后，在這同一理念下又解決了任意角的尺規(guī)等分問題.

【關(guān)鍵詞】化圓為方;立方倍積;三等分角.

話說化圓為方、立方倍積、三等分角都是二千五百年前古希臘王朝遺留的幾何難題.可喜的是《整數(shù)度角的尺規(guī)作圖》用空間多一個(gè)維度結(jié)合壓縮相似理念完美地給出了1°角的尺規(guī)畫法.于是與整數(shù)度角有關(guān)的尺規(guī)心結(jié)都能迎刃而解.

由于立方倍所積涉及的方程為：

2v3=V3.（1）

（1）中v，V分別為兩立方體的邊長，將（1）的兩邊同時(shí)開立方得：

32v=V.（2）

（2）中32之值的小數(shù)點(diǎn)后有永無止境的小數(shù)數(shù)位，而這無疑是一汪叫作32=1.2599210498949……的深深海洋，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，在這樣機(jī)關(guān)重重的苦海中顛簸，立方倍積之舟永遠(yuǎn)也不可能到達(dá)幾何的尺規(guī)港灣.由于化圓為方所涉及的方程為：

πR2=S2.（3）

（3）中R為圓的半徑，S為正方形的邊長，將（3）兩邊同時(shí)開平方得：

πR=S.（4）

（4）中π之值是一個(gè)超越數(shù)的算術(shù)平方根，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，有此神秘之君作祟，化圓為方的尺規(guī)作圖根本就不可能用普通的方法求得答案.那么怎樣才能清除前進(jìn)中的障礙而到達(dá)那理想的目的地呢？對此我們不妨取（4）為例來解釋：

第一，從數(shù)軸OX的原點(diǎn)O開始，令化圓為方中的半徑R=1，因已知π=1.7724531023415……進(jìn)而知道式中各小數(shù)位上的數(shù)與OX軸上的點(diǎn)有各自的對應(yīng).由于本求作過程有序且連續(xù)，故我們可從π之值的任意指定小數(shù)位開始操作，若把式中的第一小數(shù)位定義為第一級(jí)精度，則知緊隨其后會(huì)有第二級(jí)精度、第三級(jí)精度……

第二，利用第一級(jí)精度數(shù)字7，可設(shè)a1=1.8，b1=1.7，此中a1的小數(shù)位比b1的小數(shù)位大1，這是把π之值的第一小數(shù)位后的數(shù)去除（即縮小）而定為b1，并在b1的小數(shù)位上加1（即增大）而定為a1，如此則a1和b1成了OX軸上的特定已知點(diǎn)，且因做過增大和縮小處理，知π之值處在a1和b1之間，即知有范圍式a1>π>b1存在.因a1和b1的小數(shù)位相差1，知在1.7與1.8之間還有1.71，1.72，1.73，…，1.79存在.依次作線段a1b1中各等分點(diǎn)的垂線，則有交點(diǎn)c1，c2，c3，…，c9產(chǎn)生，從π之值的等式中知第二級(jí)精度數(shù)字是7，進(jìn)而知此7是處在過c6和c8的兩垂線之間，即知有范圍式c8>π>c6存在，可以看到c8>π>c6控制的范圍比a1>π>b1縮小了許多.

第三，與第一級(jí)精度操作的情形完全相同，由于第二級(jí)精度數(shù)字是7，在照前面的縮小和增大中，設(shè)a2=1.78，b2=177，而知a2和b2是OX軸上的特定已知點(diǎn)，且因做過增大和縮小的處理，知π之值處在a2和b2之間，即知有范圍式a2>π>b2存在.由于a2和b2的最后一位小數(shù)相差1，知在1.77與1.78之間還有1.771，1.772，1.773，…，1.779存在.依次作線段a2b2中的各等分點(diǎn)的垂線，則知有交點(diǎn)d1，d2，d3，…，d9產(chǎn)生，又從π之值的等式中知第三級(jí)精度數(shù)字是2，而知此2處在過d1和d3的兩垂線之間，即有范圍式d3>π>d1存在，可以看到d3>π>d1控制的范圍比a2>π>b2又縮小了許多.

第四，由于第三級(jí)的精度數(shù)字是2，在照前面的縮小和增大的過程中，可設(shè)得a3=1.773，b3=1.772，且我們認(rèn)識(shí)到在1.772與1.773之間還有1.7721，1.7722，1.7723，…，17729存在，依次作線段a3b3中各等分點(diǎn)的垂線，則知有交點(diǎn)e1，e2，e3，…，e9產(chǎn)生，從π之值的等式中，我們了解到第四級(jí)的精度數(shù)字是4，進(jìn)而知此4處在過e3和e5的兩垂線之間，此即知有范圍式e5>π>e3存在，可以看到e5>π>e3控制的范圍比a3>π>b3又縮小了許多許多.

第五，按照上述一級(jí)接一級(jí)的垂線的作圖，進(jìn)而可完成第四級(jí)、第五級(jí)……的精度操作.由于本文指定的操作是從π之值的第一小數(shù)位開始，且知a1b1的十分之一是a2b2，a2b2的十分之一是a3b3，a3b3的十分之一是a4b4……我們把文中線段變化的情形定義為精度速率，則知從第一級(jí)到第二級(jí)的精度速率為110、從第二級(jí)到第三級(jí)的精度速率為1102、從第三級(jí)到第四級(jí)的精度速率為1103……如若把“圓周率詩”的算術(shù)平方根中的已知小數(shù)位設(shè)為n，則知最后的一個(gè)步驟的精度速率為110n（即10-n）.如若把線段a1b1之長確定為10 cm，則本精度操作只需進(jìn)行有限的十多次就知π之值已然被縮短到了一個(gè)很小的范圍之內(nèi)，乃至其長縮短到比一個(gè)原子的直徑還要短了許多，比如確定原子的直徑為10-10 cm吧，我們?nèi)钥蓪ζ溟L依次進(jìn)行過各等分點(diǎn)的垂線的尺規(guī)畫作，如果感覺這個(gè)距離太小，則可從思考里放大千倍萬倍再作無窮級(jí)的操作，回到現(xiàn)實(shí)之時(shí)，再看此距之小，定然叫人驚詫莫名.而π之值就處在這樣相互靠近的兩根現(xiàn)實(shí)的垂線之間，于是我們說此種作垂線的操作的所有要素早已渾然一體，而π之值的尺規(guī)作圖就是此渾然一體的垂線與OX軸形成的交點(diǎn).

總之，以上方法是過已知點(diǎn)作垂線的最典型的尺規(guī)作圖，雖π之值的作圖位置是我們在利用各級(jí)精度數(shù)字，機(jī)械地一步一步地作垂線的過程中間接得出的，但這畢竟使得化圓為方的尺規(guī)作圖第一次真正意義地?cái)[在了世人的面前.

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