一道數(shù)學競賽命題的證明及推廣

張靖華

【摘要】把兩全等的n多邊形疊放在一起如果重疊部分是一個2n邊形，則此2n邊形的編號為奇數(shù)的邊長的平方和等于編號為偶數(shù)的邊長的平方和.

【關鍵詞】全等;相似;疊放;奇數(shù)邊;偶數(shù)邊

1988年全國初中數(shù)學聯(lián)賽第二試第3題：如圖1所示，已知△PQR和S△P′Q′R′是兩個全等的等邊三角形，六邊形ABCDEF的邊長記為：AB=a1，BC=b1，CD=a2，DE=b2，EF=a3，F(xiàn)A=b3.求證：a21+a22+a23=b21+b22+b23.

證明?設等邊三角形面積S△PQR=S△P′Q′R′=S，六邊形ABCDEF的面積SABCDEF=S′，

由題設知：

S△APB∽S△CQ′B∽S△CQD∽S△ER′D∽S△ERF∽S△AP′F.

由相似三角形的性質(zhì)知

S△APB∶S△CQ′B=a21∶b21，?（1）S△CQD∶S△CQ′B=a22∶b21，?（2）S△ERF∶S△CQ′B=a23∶b21，?（3）

S△CQ′B∶S△CQ′B=b21∶b21，?（4）S△ER′D∶S△CQ′B=b22∶b21，?（5）S△AP′F∶S△CQ′B=b23∶b21.?（6）

（1）+（2）+（3）（S△APB+S△CQD+S△ERF）∶S△CQ′B=（a21+a22+a23）∶b21，（7）

（4）+（5）+（6）（S△CQ′B+S△ER′D+S△AP′F）∶S△CQ′B=（b21+b22+b23）∶b21，（8）

S△APB+S△CQD+S△ERF=S△PQR-S′=S-S′，（9）

S△CQ′B+S△ER′D+S△AP′F=S△P′Q′R′-S′=S-S′.（10）

由（7）～（10）得a21+a22+a23=b21+b22+b23.證畢.此命題可推廣到正n邊形中.

定義?n邊形A1A2A3…An-1An的邊A1A2，A2A3，A3A4，…，An-1An，AnA1依次記為a1，a2，a3，…，an-1，an（n≥3）腳標為奇數(shù)的邊叫奇數(shù)邊，腳標為偶數(shù)的邊叫偶數(shù)邊.

定理?如圖2所示，兩個全等的正n邊形P1P2P3…Pn-1Pn，和正n邊形Q1Q2Q3…Qn-1Qn，疊放在一起，如果重疊部分是一個2n邊形A1A2A3…A2n-1A2n（n≥3），則此2n邊形的奇數(shù)邊的平方和等于偶數(shù)邊的平方和.

證明?設正n邊形的面積為S，2n邊形的面積為S′，把2n邊形A1A2A3…A2n-1A2n的邊依次記為：a1，a2，a3，…，a2n-1，a2n;把以a1，a2，a3，…，a2n-1，a2n為邊的三角形依次記為：△1，△2，△3，…，△2n-1，△2n，把其對應的三角形面積依次記為：

S△1，S△2，S△3，…，S△2n-1，S△2n.則△1∽△2△3∽…∽△2n-1∽△2n.由此可知：

∑ni=1S△2iS△1=∑ni=1a2ia12=1a21∑ni=1a22i，（1）

∑ni=1S△2i-1S△1=∑ni=1a2i-1a12=1a21∑ni=1a22i-1，（2）

∑ni=1S△2i=∑ni=1S△2i-1=S-S′.（3）

由（1）～（3）知：∑ni=1a22i-1=∑ni=1a22i證畢.