淺析遞推數列中的化歸方法

鄭慶剛

數學知識是數學能力的載體，數學思想方法是數學知識的高度概括與升華，只有形成了能力才能做到以不變應萬變.

數列是高中代數的重點之一，而遞推數列是數列中方法比較靈活的一種題型，這類題型可以有效地測試學生的邏輯推理能力、運算能力及綜合運用有關知識和方法，檢測學生分析解決問題的能力.筆者結合高中數學教學中的經驗及實踐，對高中階段遞推數列的轉化方法做以下總結.

定義1：數列是由任意相鄰若干項恒成立的關系式給出的，這種關系式稱為遞推式.若給出數列的首項及遞推公式，則該數列是確定的，這種數列叫遞推數列.

定義2：在遞推式中，定義f（an，n）叫作數列元，f（an，n）與f（an，n-1）叫作相同結構數列元.

限于篇幅，本文只對相鄰兩項型遞推式做出總結.兩項型遞推式涉及兩個數列元，解決這種類型遞推的數學指導思想，就是通過變形化歸，使兩個數列元統一成相同結構的數列元，從而使遞推式變成基本型：等差型an=an-1+g（n）（n∈N+，n≥2）、等比型an=qan-1+r（n）（n∈N+，n≥2）.其程序可用下圖表示：

分式線性an=Can-1Aan-1+B取倒數整式線性（等差型、等比型）

非線性遞推數列變量匹配法、因式分解法、取對數法、開方法、換元法等線性遞推數列

例1?（待定常數法）數列{an}滿足a1=1，an=3an-1+2（n∈N+，n≥2），求an.

分析?an與3an-1+2是結構不同的數列元，根據兩者差異，運用待定系數法，兩邊同加一個待定常數，通過構造方程使其轉化成相同結構的數列元.

∵an=3an-1+2，∴an+x=3an-1+2+x，

即an+x=3an-1+2+x3，

令x=2+x3得x=1，∴an+1=3（an-1+1），

∴{an+1}為首項是an+1=2，公比為3的等比數列，

∴an=2·3n-1-1（n∈N+）.

例2?（取倒數法）數列{an}滿足a1=12，an+1=an3-2an（n∈N+），求an.

分析?通過兩邊取倒數轉化成整式線性.

∵an+1=an3-2an，

∴1an+1=31an-2.

令1an=bn，則bn+1=3bn-2，

此類型同例1，解題過程略，

an=13n-1+1（n∈N+）.

例3?（變量匹配法）數列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an（n∈N+），求an.

分析?如果把（n+1）an作為一個數列元，顯然與nan+1不是相同結構數列元，因為下指標（n）與結合量（n+1）不匹配，為此兩邊同除n（n+1）得：

an+1n+1=ann，∴an+1n+1-ann=0，

∴ann是以a11=1為首項，0為公差的等差數列（常數列），

∴ann=1，∴an=n（n∈N+）.

例4?（因式分解法）數列{an}是正項數列，a1=1，（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，n∈N+，求an.

分析?an+1與an結合在一起，無法分離數列元，應先考慮用因式分解的方法使其分離開，

∵（n+1）a2n+1-na2n+an+1·an=0，

∴[（n+1）an+1-nan][an+1+an]=0.

∵an>0，

∴（n+1）an+1-nan=0，∴{nan}為常數列，

∴nan=1，∴an=1n（n∈N+）.

遞推數列的解決過程就是一個不斷轉化消除差異的過程，也就是統一數列元的過程，其實質就是把新情境的遞推數列，通過分析數列元的差異，采取相應的方法統一數列元結構，化歸轉化為兩種典型模式——等差型和等比型，只有深刻理解這種數學思想才能做到以不變應萬變，畢竟方法是教條的，方法只能解某種題型的，面對不斷出現的新問題，只有以數學思想做指導，再結合我們掌握的各種方法，才能更好地分析解決新問題.

【參考文獻】

[1]鄭毓信.數學教育哲學[M].成都：四川教育出版社，2001.

[2]岳宗.怎樣應用遞推法解題[M].呼和浩特：內蒙古人民出版社，1986.

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