基于變量代換的“湊微法”不定積分教學策略

劉丹 李澤華 方明亮

【摘要】一元函數的不定積分是高等數學積分理論中的重要基礎，其中第一類換元積分法常常因為其靈活性、復雜性成為教學的難點.本文提出在第一類換元積分法——“湊微法”的教學過程中使用變量代換的技巧開展教學，可以幫助學生更好地理解“湊微”的實質.同時，變量代換也是一種簡潔、有效的積分方法.

【關鍵詞】不定積分;第一類換元積分法

【基金項目】2017年廣東省高等教育教學改革項目“高水平大學建設目標下本科專業人才培養質量標準研究”（粵高教函[2018]1號），華南農業大學教改項目（JG17018）.

在高等數學課程中，一元函數的不定積分是積分學理論的一個重要組成部分.它是學生進一步學習一元函數的定積分、多元函數的重積分和線（面）積分乃至微分方程理論的重要基礎，對培養學生思維的靈活性、提高計算能力有著重要的作用.不定積分知識理論比較簡單：一元函數的不定積分是一元函數微分的逆運算，本質上求得一個可導函數，使其導數等于被積函數.因而，可以利用基本求導公式，推導出基本積分公式表.當然，僅有基本積分公式表是難以計算出大部分不定積分的.雖然求積運算是求導運算的逆運算，但是求積是遠遠難于求導的，甚至存在不可積的函數.這就需要輔助計算的技巧、方法，即不定積分的計算方法.總體而言，不定積分的計算方法總體上可以分為兩大類：換元積分法和分部積分法.其中，分部積分法主要用來處理兩種不同類型函數乘積的不定積分，方法簡單，而且目前已經總結出一套較適用的分部積分的“口訣”（反對冪三指），學生容易理解且掌握程度較好.相比較而言，換元積分法，主要用來處理復合函數的不定積分，其靈活性高，而且計算難度比較大，是學生理解和掌握的難點.換元積分法中的第一類換元積分法，又稱為“湊微法”，由于沒有固定的“湊微”模式，學生在學習和實際操作過程中往往需要耐心觀察和多次嘗試才能成功“湊微”，因此，成為學生在學習不定積分時最難以掌握的積分方法.本文對第一類換元積分法的教學方法進行了研究，提出了由“變量代換”過渡到“湊微”的教學策略.

我們首先以同濟大學《高等數學》中的例題為例，來看看傳統的教學方法：

例1?求∫13+2xdx.

分析?被積函數13+2x=1u，u=3+2x.這里缺少dudx=2這樣一個因子，但由于dudx是個常數，故可改變系數湊出這個因子：

13+2x=12·13+2x·2=12·13+2x（3+2x）′，

從而令u=3+2x，便有

du=d（3+2x）=2dx，于是

∫13+2xdx=∫12·13+2x·（3+2x）′dx=12∫1udu=12ln|u|+C=12ln|3+2x|+C.

這種教學方法不僅對“換元”的過程解釋得煩瑣、復雜，往往讓學生摸不著“頭腦”，因而，在開始學習階段，許多學生并不能很好地掌握這種方法.

通過多年的教學實踐，我們認為完全可以在開始實施教學的階段，直接教授學生使用變量代換的方法來積分;而在學生掌握“變量代換”的方法之后，可以采用“湊微”與變量代換相結合的教學方法，幫助學生實現到“完全湊微法”的過渡;在學生完全熟練掌握之后，可以省略變量代換的過程，直接“湊微”.

我們仍以上述例1來說明.

事實上，在給出例1的正確解答前，我們可以讓學生先看下面的錯解：

∫13+2xdx=ln|3+2x|+C.

上述解法顯然是錯誤的，因為積出來的函數的導數并不等于被積函數.產生這種錯誤的原因在于：被積函數13+2x是一個復合函數，外層函數為1u，內層函數為u=3+2x，而積分變量為x，這與基本積分公式∫1udu=ln|u|+C中要求積分變量和被積函數的變量保持一致的積分規則不符.如何解決上述復合函數內部整體變量和積分變量不一致的問題呢？可以采取整體變量代換的技巧：

解?令u=3+2x，對等式u=3+2x兩邊同時求微分，得到du=2dx，因而，dx=12du，此時

∫13+2xdx=∫1u·12du=12ln|u|+C=12ln|3+2x|+C.

注意，關于變量u積出原函數之后，還需要將變量u用3+2x換回，以確保原函數是關于變量x的函數.

我們再用變量代換的方法來看下面例題的解答.

例2?求∫2xex2dx.

分析?注意到被積函數中有復合函數ex2，其內層函數是x2，因而，可以嘗試設u=x2，因而，du=2xdx，或者dx=12xdu，此時原被積表達式可化為∫eudu，這是一個基本積分公式，求出原函數之后，再將u用x2代換即可求出該不定積分.

解?令u=x2，則du=2xdx，

所以∫2xex2dx=∫eudu=eu+C=ex2+C.

例3?求∫cosxxdx.

解?令u=x，則du=12xdx，故

∫cosxxdx=2∫cosudu=2sinu+C=2sinx+C.

通過對上述三個例題的分析及解答過程，我們可以發現，相對于傳統教材的分析和教學方法，直接使用變量代換的教學方法更加簡潔、明了，也能讓學生更容易理解和掌握.

在學生完全領會和掌握使用變量代換的技巧求不定積分之后，我們可以考慮將“湊微”的思想融入其中，我們以例1和例2為例來說明這個過程.

例4?求∫13+2xdx.

分析?注意到被積表達式13+2x是一個復合函數，其內層函數是3+2x，因而，考慮將積分變量從x變為3+2x，由于d（3+2x）=2dx，故dx=12d（3+2x），即∫13+2xdx=∫13+2x·12d（3+2x）.再設u=3+2x，可以更清楚地看到，原不定積分可化為∫1u·12du=12ln|u|+C=12ln|3+2x|+C.

例5?求∫2xex2dx.

分析?因為被積函數中含有復合函數ex2，其內層函數為x2，且dx2=2xdx，于是∫2xex2dx=∫ex2dx2，令u=x2，則原式=∫eudu=eu+C=ex2+C.

上面兩個例題的分析與解答過程可以總結為：首先找出被積函數中的復合函數，再湊出被積函數的內層函數的微分，然后做變量代換，化為基本初等積分公式，從而求出不定積分.因而，第一類換元積分法的本質就是在微分上“湊出”復合函數的內層函數，并最終轉化為已知積分公式的函數（尤其是基本初等函數）的不定積分.

在學生比較熟練地掌握了“湊微”的技巧，特別是能記住一些常見的“湊微”公式之后，我們可以省略上述變量代換的步驟，直接“湊微”，直接求外層函數的不定積分即可.

最后，要強調的是，要想熟練掌握和運用該技巧，需要學生首先牢固記住常見的“湊微”公式.其次，我們認為在引導學生“湊微”時，先觀察、尋找被積函數g（x）中的復合函數f（φ（x）），然后利用其他部分函數和dx湊出微分d（φ（x）），再根據前后恒等的關系，乘微分可能產生的系數的倒數.在教學過程中，利用動畫或者板書的形式來展現這一過程，均能取得比較好的教學效果.

事實上，變量代換的技巧，不僅僅是幫助學生理解“湊微法”的橋梁，也是一種較為方便的積分方法.對層數較多的復合函數，如果直接使用“湊微”法，往往需要逐層“湊微”，過程復雜，計算難度大.但若直接采用變量代換的方法，卻能起到“直達”目的的效果.

當被積函數是由兩層以上的函數復合而成時，如果采用湊微法，往往需要多次連續湊微，對大部分學生來說具有相當大的難度.然而，采用變量代換法，直接將內層函數（不管有幾層）設為變量u，往往能直達目的，直接將形式煩瑣的被積表達式簡化為基本積分公式.

但是，我們也應該明確，變量代換法只是求不定積分的眾多方法中的一種，并不能用來解決所有的不定積分.如∫x31+x2dx，這個題目就不能直接用變量代換的方法求解，而是需要先對被積函數進行一定的變形，再“湊微”或者變量代換.總之，不定積分的計算方法靈活、技巧性高，在引導學生掌握了基本的方法和技巧后，要想達到熟練的程度，還需要一定量的課后練習.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]范云曄.一元函數不定積分湊微分法求解技巧的幾點思考[J].數學學習與研究，2016（17）：114，116.

[4]熊歐.不定積分湊微分法的教學新探[J].數學學習與研究，2018（21）：12，14.

[5]李小斌，朱佑彬.不定積分的一個注記[J].高等數學研究，2018（6）：15-17.