計算線性遞推數列通項的一個一般性方法

王勇

【摘要】本文利用矩陣若當標準型理論，給出了計算線性遞推數列通項的一般方法.

【關鍵詞】若當標準型;線性遞推數列;數列通項

一、引?言

根據數列的初始項和線性遞推公式計算該數列的通項技巧性較強，因此，尋求解決這類問題的一般方法就很有必要.

二、若當標準型簡介

定義?形如Ji=λi1λi1λiri×ri的矩陣稱為ri階若當塊.

由若干個若當塊構成的分塊對角陣：

J=J1J2Js 稱為若當標準型.

定理?任一矩陣A∈Cn×n都與某一個若當標準型J相似，即存在可逆矩陣P∈Cn×n使得P-1AP=J.

由P-1AP=J得A=PJP-1，從而對任一正整數n，

有An=PJnP-1=PJ1J2JsnP-1

=PJn1Jn2Jns P-1，

其中Ji=λi1λi1λiri×ri，用數學歸納法可證得

Jki=λkiC1kλk-1iC2kλk-2i…Cri-1kλk-ri+1iλkiC1kλk-1i…Cri-2kλk-ri+2iC1kλk-1iλkiri×ri.

據此可以計算出任一方陣的n次冪.

三、線性遞推數列通項的計算

根據上述理論，對線性遞推數列：a1=a，a2=b，an+2=kan+1+lan（a，b，k，l均為已知常數），可以按如下步驟求出其通項：

（1）根據條件得

an+2an+1=kl10an+1an

=kl102anan-1=…=kl10na2a1

=kl10nba.

（2）根據矩陣論相關方法求出矩陣kl10的若當標準型λ1δ0λ2（δ=0或1）.

（3）根據若當標準型λ1δ0λ2求出可逆矩陣P使得

P-1kl10P=λ1δ0λ2，

從而kl10=Pλ1δ0λ2P-1，

kl10n=Pλ1δ0λ2nP-1，

其中λ1δ0λ2n=λn100λn2，當δ=0;λn1nλn-110λn1，當δ=1.

（4）由an+2an+1=kl10nba=Pλ1δ0λ2nP-1ba，經計算后可得數列通項an+1.

四、算?例

例?給出線性遞推數列：a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an，求出此數列通項.

解?an+2an+1=2-110an+1an=2-1102anan-1

=…=2-110na2a1=2-110n21，

經計算可求得可逆矩陣P=1110使得

P-12-110P=1101，

從而

2-110n=P1101nP-1=11101n011110-1

=n+1-nn1-n，

于是an+2an+1=2-110n21=n+1-nn1-n21

=n+2n+1，

從而an+1=n+1，

故此數列的通項為an=n（n=1，2，…，k，…）.

五、結?語

本文給出了一個計算線性遞推數列通項的一般性方法，此方法稍加改變也可用來求含有常數項的線性遞推數列：a1=a，a2=b，an+2=kan+1+lan+c（a，b，k，l，c均為已知常數）的通項，這時只需把主要步驟：an+2an+1=kl10an+1an改成an+2an+11=klc100001an+1an1即可.

【參考文獻】

[1]徐仲，等.矩陣論簡明教程：第二版[M].北京：科學出版社，2005.