一次函數解析式中神奇的參數

在一次函數的大家庭中，有這樣一種形式的解析式，在對它進行探究的過程中，給我們以驚喜。

【問題】無論k取何值，直線y=kx-k都經過一個定點，求這個定點的坐標。

我們不妨先任取幾個k的值，作出圖像：

如圖1，分別取k的值為1，-2，1/2，得直線l₁，l₂，l₃，解析式分別為l₁：y=x-1，l₂：y=-2x+2，l₃：y=1/2x-1/2。由圖可知，三條直線都經過同一點（1，0）。把（1，0）代入y=kx-k中成立，由此可知無論k取何值，直線y=kx-k都過定點（1，0）。

那么，能否從代數的角度去分析，得出這個結果呢？我把原式改寫為：y=（x-1）·k。若k的值發生改變，則點的坐標也發生改變。而題為“求一定點”，故當x取某個值時，無論k取何值，y總有固定不變的取值。而這種情況，只有當k前“系數”為零時才能滿足，即x=1，y=0。故其經過定點（1，0）。

來個相關變式題，看你能接招不？變式：求原點到y=kx-3k+2的最大距離。

怎么樣？??？還不過癮？那再來一個，“頭腦風暴”再次開始。接招：如圖3，已知直線l₁：y=-2x+4與直線l₂：y=kx+b（k≠0）在第一象限內交于點M，若直線l₂與x軸的交點為A（-2，0），則k的取值范圍是__________________。

一種思路，從臨界位置考慮，直線l₂分別過“臨界點”（0，4）和（2，0），再由（-2，0）這一點，分別求出對應的兩條直線解析式，這樣由“數形結合”便能得出k的取值范圍。

我們也可利用前兩題所得結論：當x前的系數與常數用同一參數表示時，該直線必經過一個定點。倒過來說，若其經過一個定點，則x前的系數與常數可用同一參數表示。此題中直線l₂過一定點（-2，0），可設l₂：y=（x+2）k，即y=kx+2k，則它與y軸的交點為P（0，2k）。因為它與l₁的交點在第一象限，則0<2k<4，所以0

神奇的參數，確實能帶來神奇的解法！

老師點評

“從特殊到一般”“找共性”，這一研究問題的基本思路，翟遠航同學在本題中進行了很好的演示。不僅如此，他還善于總結、反思、類推。在平時的學習過程中，大家若能做到凡事探個究竟，找出問題的本質所在，那么也可以做到“舉一反三”，達到“會一題，通一片”的學習效果。