品異曲同工之妙嘵思想方法之恒

顧云霞

我們仔細研讀中考題，會發現有些是一類經典題型的變形，出題人改變問題背景、條件、圖形等，將一些重要的思想方法巧妙地編織在題型中，從而達到“異曲同工之妙，思想方法之永恒不變”的效果。下面我們就來體驗一下2019年無錫中考的第16題，感受一下“型之異，魂之恒，法之妙”。

例題 （2019·江蘇無錫）已知一次函數y=kx+b的圖像如圖1所示，則關于x的不等式3kx-b>0的解集為____。

【解析】由圖像可知：k<0，b<0，一次函數y=kx+b交x軸于點（-6，0），代入得-6k+b=0，化簡得b=6k;再代入3kx-b>0得3kx-6k>0，由k<0求得答案為x<2。

【點評】本題主要考查利用數形結合思想，得出一次函數與一元一次不等式的關系。具體地說，就是由函數圖像上的“形”能得出哪些“數”上的關系式，再結合問題目標分析數據，運用條件解決問題。就圖像上唯一的定點（-6，0），我們通常會將它代入函數關系式得到k、b的關系式，而要由它求出解集，自然又會想到消元思想。將之代入不等式消元，在解不等式的最后一步時，我們只能再回到圖形中去確定“k<0”這一隱含條件，最終得解。這些自然推理便是數形結合思想和消元思想的運用——魂之恒。

【聯想】（2015.江蘇徐州）若函數y=kx-b的圖像如圖2所示，則關于x的不等式k（x-3）-b>0的解集為（ ）。

A.x<2 B.x>2 C.x<5 D.x>5

【解析】∵一次函數y=kx-b經過點（2，0），∴2k-b=0，b=2k;代入不等式k（x-3）-b>0，移項得：kx>3k+2k，即kx>5k;由圖像知：k<0，∴解集為x<5。故選：C。

【點評】本題與上題有異曲同工之妙。不同的是，此題還可用整體思想求解：令t=x-3，則關于x的不等式k（x-3）-b>0的解集可變為先求關于t的不等式kt-b>0的解集。而由一次函數y=kx-b的圖像可直接看出不等式kt-b>0的解集為t<2，即x-3<2，解得x<5。這真是“型之異”后的“法之妙”啊！

【變型】（2018·江蘇徐州）若函數y=kx+b的圖像如圖3所示，則關于x的不等式kx+2b<0的解集為（ ）。

A.x<3 B.x>3 C.x<6 D.x>6

【解析】由圖像可知：一次函數y=kx+b經過點（3，0），且k<0，b>0。將點代入解析式可得3k+b=0，則b=-3k。∵kx+26<0，∴ kx-6k<0，即kx<6k。又∵k<0，∴x>6。故選：D。

【亮點】本題亦能體現出異曲同工之妙，但還有一個妙法：可將kx+2b<0轉化為kx+b<-b，它的解集也就是一次函數y=kx+b的圖像在直線y=-b圖像的下方時所對應的x的取值范圍，如圖4所示。由圖像可看出解集為x>a（a>3），因此答案只能選D。

通過這類中考題的體驗，我們感受到在學習函數時要重視數形結合思想、轉化思想、整體思想和消元等思想的綜合運用，讓“數”插上翅膀，讓“形”更具形象，讓“法”更加奇妙，讓“數學思想之魂”永恒不變，從而快捷簡便地解決數學問題。

同類練習：

1.（2019·山東濱州）如圖5所示，直線y=kx+bk<0）經過點A（3，1），當kx+b<1/3x時，x的取值范圍為______。

2.（2014.湖北鄂州）如圖6所示，直線y=kx+b過A（-1，2）、B（-2，0）兩點，則0≤kx+6≤-2x的解集為____。

參考答案：1.x>3;2.-2≤x≤-1。