一次函數(shù)中的“雙解”問題

季黎明

一次函數(shù)是八年級(jí)上學(xué)期的重要一章，是邁入函數(shù)大門的第一步。結(jié)合同學(xué)們學(xué)習(xí)一次函數(shù)的過(guò)程，季老師發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)由于對(duì)一次函數(shù)的概念及圖像性質(zhì)的理解不夠深入，導(dǎo)致錯(cuò)解或漏解。本文以四道典型題目為例，談?wù)勗谝淮魏瘮?shù)的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇見的問題，希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助。

例1 已知關(guān)于x的函數(shù)y=（m-3）x^|m-2|+3是一次函數(shù)，求m的值。

【錯(cuò)解】由題意得：m-2=1或m-2=-1，所以m的值為3或1。

【正解】由m-2=+1得：m=3或1。又因?yàn)閙-3≠0，所以m≠3，所以m的值為1。

【點(diǎn)撥】一般地，形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。上述解答中忽略了k≠0這一信息，當(dāng)k=0即m=3時(shí)，不滿足一次函數(shù)定義。

例2 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過(guò)A（5，0），與y軸交于點(diǎn)B，圖像與坐標(biāo)軸圍成的△OAB的面積為10，求一次函數(shù)解析式。

【錯(cuò)解】設(shè)B坐標(biāo)為（0，b），則OB=b，所以S_△ABC=1/2OA×OB=1/2×5×b=10，則b=4，所以一次函數(shù)可以表示為y=kx+4。又因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+4可得k=-4/5，所以一次函數(shù)解析式為y=-5x+4。

【正解】設(shè)B坐標(biāo)為（0，b），則OB=|b|，根據(jù)上述解答可知|b|=4，則b=±4，所以一次函數(shù)可以表示為y=kx+4。將A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=kx+4和y=kx-4，可得k=-4/5或4/5，所以一次函數(shù)解析式為y=-5x+4或y=4/5x-4。

【點(diǎn)撥】上述錯(cuò)解情形中，忽略了線段長(zhǎng)度的非負(fù)性。一次函數(shù)與y軸相交于點(diǎn)B，但并未明確點(diǎn)B在y軸正半軸還是負(fù)半軸上。當(dāng)B點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí)，b為負(fù)數(shù)，則OB=-b。同學(xué)們要注意坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度的區(qū)別與聯(lián)系。

例3 直線y=mx+m+2不經(jīng)過(guò)第三象限，求m的取值范圍。

【點(diǎn)撥】如何解讀“直線不經(jīng)過(guò)第三象限”？“不經(jīng)過(guò)第三象限”是指經(jīng)過(guò)一、二、四象限或只經(jīng)過(guò)二、四象限或只經(jīng)過(guò)一、二象限。當(dāng)直線只經(jīng)過(guò)二、四象限時(shí)，是一次函數(shù)中的正比例函數(shù)圖像，所以有m+2=0，解得：m=-2。當(dāng)直線只經(jīng)過(guò)一、二象限時(shí)，則m=0，此時(shí)直線y=2平等于x軸。

例4 已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，求一次函數(shù)解析式。

【點(diǎn)撥】本題并沒有明確函數(shù)的增減性，所以y與x的對(duì)應(yīng)需要分類討論。當(dāng)k>0時(shí)，y隨著x的增大而增大，即為上述錯(cuò)解中的情形。當(dāng)k<0時(shí)，y隨著x的增大而減小，此時(shí)x=1對(duì)應(yīng)y=6，x=4對(duì)應(yīng)y=3。

關(guān)于一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，還有諸多類似的誤區(qū)。我們要重視對(duì)概念和圖像性質(zhì)的理解和把握，打牢基礎(chǔ)，不斷提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，為函數(shù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。