平面直角坐標系中“混”“漏”要不得

郭金網

在學習平面直角坐標系時，由于對平面直角坐標系的基本特征、點的坐標的意義等知識理解不到位，常常會出現“混淆”和“漏解”的情況。

一、橫坐標、縱坐標的順序混淆

例1 點P（3，-4）到x軸、y軸的距離分別是______。

【錯解】點P到x軸的距離是3，到y軸的距離為4。

【錯解分析】本題的錯因在于未能正確理解點的坐標與點到坐標軸之間的距離的關系。要求一點到坐標軸的距離，應該先過該點分別向x由和y軸作垂線，再找出到兩坐標軸的距離。由于點P的橫坐標是3，縱坐標是-4，所以點P到x軸的距離是|-4|=4，到y軸的距離為|3|=3。

【正解】點P到x軸的距離是4，到y軸的距離為3。

例2

已知點P（m-1，m）在x軸上，則點P的坐標為______。

【錯解】點P的坐標為（0，1）。

【錯解分析】本題的錯因在于將坐標軸上點的特征搞混淆了，錯以為x軸上的點的橫坐標為0。事實上，x軸上的點的縱坐標為0，y軸上的點的橫坐標為0。

【正解】點P的坐標為（-1，0）。

二、橫坐標、縱坐標的符號混淆

例3 點P（m-1，n），如果m>1，n<0，那么點P在第幾象限？

【錯解】第二象限。

【錯解分析】本題的錯因在于未能搞清各個象限點的橫坐標、縱坐標的符號情況：第一象限內點的橫坐標、縱坐標的符號都為正;第二象限內點的橫坐標為負，縱坐標為正;第三象限內點的橫坐標、縱坐標的符號都為負;第四象限內點的橫坐標為正，縱坐標為負。

【正解】由于m-1>0，n<0，所以點P在第四象限。

例4點P（3，-4）關于x軸對稱的點的坐標是____。

【錯解】（-3，-4）。

【錯解分析】本題錯在未能弄清平面直角坐標系內對稱點的關系：兩點關于x軸對稱，橫坐標相同，縱坐標互為相反數;兩點關于y軸對稱，橫坐標互為相反數，縱坐標相同;兩點關于原點對稱，橫坐標、縱坐標都互為相反數。

【正解】（3，4）。

三、考慮問題不全面出現漏解

例5 已知點P到兩坐標軸的距離都為5，則點P的坐標為____。

【錯解】（5，5）。

【錯解分析】本題的錯因在于由已知條件僅僅想到了對應的橫坐標、縱坐標都為5，未能考慮到距離是一個非負數，而點的坐標可以取任意實數。這里不僅要考慮第一象限內的點，還應該考慮其余象限內的點。

【正解】（5，5），（-5，5），（-5，-5）（5，-5）。

例6

已知A、B、C三點的坐標分別為（0，0），（2，0），（1，2），若以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則D點的坐標是____。

【錯解】（3，2）。

【錯解分析】本題的錯因在于形成思維定式，只考慮了D點在第一象限內的情況。要使得以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，應該分類討論，即分別以AB、AC、BC為對角線來討論，進而求出對應的D點坐標。

【正解】（3，2），（1，-2），（-1，2）。

對于“混淆”和“漏解”的問題，我們通常的解決途徑有兩種：一是熟練理解平面直角坐標系的基本特征和規律，用代數方法來解;二是根據題目意思畫出圖形，數形結合，輕松得解。