一招割補法　制勝求面積

姚娟妹

數學世界浩瀚如海，代數幾何變幻無窮。平面直角坐標系中求不規則圖形的面積問題時常出現。求不規則圖形的面積沒有公式可直接運用，看似不可能解決，但是如果能把它變成可以計算出面積的規則圖形，那么問題就迎刃而解。我們以平面直角坐標系中求三角形的面積為例，領略其中的奧妙。

一、直接利用三角形面積公式

例1 如圖1，已知A（1，-1），B（1，3），C（-3，1），求△ABC的面積。

【點撥】如圖2，該三角形有一條邊AB∥y軸，AB的長度等于A、B兩點的縱坐標差的絕對值，AB邊上的高CD等于C、D兩點的橫坐標差的絕對值，再將AB、CD的長度代入三角形面積公式即可。當三角形有一邊平行于坐標軸時，通常以這條平行于坐標軸的邊作為三角形的底邊，易于求解。

【解析】如圖2，過點C作CD⊥AB于D，AB=4，CD=4，S_△ABC=1/2×AB×CD=1/2×4×4=8。

二、化“不規則”為“規則”

例2 如圖3，在平面直角坐標系中，已知A（0，-2），B（4，2），C（1，8），求△ABC的面積。

【點撥一】初看此題，△ABC為“不規則”圖形，感覺無從下筆。仔細看圖就會發現，我們只要過三角形的頂點作x軸或y軸的平行線，把三角形補成一個矩形，再用該矩形的面積減去其他3個“規則”三角形的面積，即可求解。這種方法我們稱為“補形”。

【方法一】如圖4，分別過A、C作x軸的平行線，過B作y軸的平行線，得到矩形ADEF，S_△ABC=S_矩形ADEF-S_△ABD-S_△BCE-S_△ACF=18。

【點撥二】當三角形的三邊都不平行于坐標軸時，可以過三角形的某一頂點作z軸或者y軸的平行線，將三角形分割成兩個三角形，再分別求這兩個三角形的面積。這種方法稱為“分割”。

【方法二】（有興趣的同學可嘗試）如圖5，過B作BE∥x軸，交y軸于點E，交AC于點F;過C作CG_LBE于點G。CG=8-2=6，AE=2-（-2）=4。由A（0，-2），C（1，8），可以求得直線AC的解析式為y=10x-2，又由BE∥x軸，可得F點坐標為（2/5，2），所以BF=4-2/5=18/5，故：S_△ABC=S_△ABF+S△_BCF=1/2×BF×AE+1/2×BF×CG=18。

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求平面直角坐標系中三角形面積一般先確定三角形的頂點坐標，找準三角形的底和高。也可以將三角形補成一個規則圖形，如矩形。或者將三角形分割成兩個三角形，然后再求解。上述題目除了用割補法求解，還可以考慮用等積變換等方法來解，有興趣的同學可以嘗試一下。