一題多解開闊思路

孫晉芳

很多時候我們能通過多種方法解決同一個問題，從而感知題中蘊含的數(shù)學(xué)思想。請看以下兩例，一起感受“一題多解”的魅力。

例1 若點P（a，b）在第三象限，則點M（b-1，-a+l）在第____象限。

【分析】首先我們要掌握各象限內(nèi)點橫、縱坐標的特征，判斷出a、b的正負情況，再根據(jù)對橫、縱坐標的理解判斷出點M的橫坐標與縱坐標的正負情況，最后反過來根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標特征進行解答。

方法一：特殊值法

令a=-1，b=-1，則b-1=-2，-a+1=2，∴M（-2，2），

∴點M（b-1，-a+1）在第二象限。

方法二：抓住各象限內(nèi)點的坐標特征

∵點P（a，b）在第三象限，

∴a<0，6<0，

∴6-1<0，-a+1>0，

∴點M（b-1，-a+1）在第二象限。

方法三：數(shù)形結(jié)合

∵如圖1，點P（a，b）在第三象限，

∴a<0，b<0，

∴-a>0，b<0，

∴點（b，-a）在第二象限。

∴將點（b，-a）向左平移1個單位，向上平移1個單位，平移后的點仍在第二象限，∴點M（b-1，-a+1）在第二象限。

【點撥】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標的符號特征。記住各象限內(nèi)點的坐標的符號是解決問題的關(guān)鍵，在此基礎(chǔ)上可以給出不同的解題方法。

例2 已知：在平面直角坐標系中如圖2，點A的縱坐標為4，AD⊥x軸，OA⊥AB，且OA=AB，求四邊形OABC的面積。

【分析】此題的難點在于僅知道點A的縱坐標，即AD的長度，不能直接求出四邊形OABC的面積，因此需要我們構(gòu)造和轉(zhuǎn)化。

方法一：如圖3，過點A作AE⊥CB，垂足為E，這樣根據(jù)條件可證得△ADO≌△AEB，易證四邊形ADCE為正方形，那么四邊形OABC的面積即為正方形ADCE的面積16。

方法二：如圖4，過點B作BF⊥AD，垂足為F，這樣根據(jù)條件可證得△ADO≌△BFA，所以S_{四邊形OABC}=2S_△ADO+S_{長方形BFDC}=2×1/2 AD·OD+DC·DF

=AD·OD+AD·（AD-AF）

=AD·OD+AD·（AD-OD）

=AD²=16。

【點撥】本題考查了同學(xué)們對點的坐標的深度理解，若能將其與幾何圖形結(jié)合起來，通過割補法進行轉(zhuǎn)化，將有限的條件運用起來，便能迎刃而解。

同學(xué)們應(yīng)學(xué)會從不同角度、不同方位和不同的運算過程進行聯(lián)想，以獲取更多有益的知識，也可以將一些煩瑣的甚至枯燥無味的習(xí)題變得充滿趣味。