基于局部安全系數的邊坡滑面搜索

王東英，楊光華，姜 燕，靳曉兵

(1. 廣東省水利水電科學研究院，廣東 廣州 510635；2. 廣東省巖土工程技術研究中心，廣東 廣州 510635；3. 廣東省樂昌峽水利樞紐管理處，廣東 韶關 512200)

邊坡穩定性分析主要包括兩方面工作：一是確定潛在的最危險滑面，二是通過邊坡局部或整體安全系數，分析指定位置處的穩定狀態。極限平衡法和強度折減法是當前邊坡穩定性分析中最常用的兩種方法。極限平衡法基于力或力矩平衡求解安全系數，一般需事先假定滑面形狀，并通過遍歷計算各滑面安全系數，遴選出安全系數最小的滑面。該方法原理簡單易懂，但計算耗時大，且在假定滑面形狀時需要豐富的工程經驗[1-4]。強度折減法是在有限元分析的基礎上，按假定的衰減規律，折減邊坡體的強度參數直至計算不收斂的方法。當前基于強度折減法確定臨界滑面的方法繁多且互不關聯：①基于塑性區或剪應變增量云圖[5-7]；②基于應力或位移等值線[8-9]；③基于位移變化率或等效應變最大值[10-11]。由于各個方法立論依據不一，很難區分哪種方式最適合強度折減法。不僅如此，強度折減法相應的參數折減規律一直是爭議較大的問題，其對應的虛擬應力狀態是否合理也被質疑。楊光華等認為應更全面的從應力位移場角度來認識邊坡穩定問題，可以獲得更全面的認識[12-13]。

事實上，巖土工程的破壞多是由局部破壞逐漸擴展為整體破壞。邊坡的失穩也是因個別點超出容許應力首先破壞，而后由點及面逐步演化、擴展，最終導致邊坡整體滑動的漸進破壞過程。邊坡的整體穩定性受各局部位置穩定性的影響，且當各處安全系數均達到最小值時，邊坡的整體安全系數也達到最小值。因此，通過局部點的安全性評估邊坡的臨界滑面及其安全性理論依據充分，合理可行。

基于上述認識，探究了一種基于局部點的安全性由點及面確定邊坡滑面的方法，并基于各局部安全系數推導了整體安全系數表達式。其中，由點及面的搜索過程應與邊坡的破壞類型相符合。牽引式破壞應自坡腳至坡頂逐步搜索；推動式破壞則相反。以牽引式破壞為例，通過算例分析驗證了滑面搜索和安全系數求解的可靠性，并給定布點間距的合理范圍。

1 基礎理論

1.1 邊坡中的Cauchy問題

以二維邊坡為例，若定義曲線為滑面方程，并給定邊坡滑面的起始點(x0，y0)以及邊坡滑面擴展的控制方程，則可唯一的獲取滑面曲線方程[14]。

邊坡滑面的起始點應與邊坡坡面局部安全系數最小的位置相對應，滑面擴展控制方程的選取應以最優性原理為原則。控制論中的最優性原理表明，最危險滑面應為滑面上各處安全系數均達到最小時對應的滑面。因此，控制方程應以局部安全系數取最小值的方向為準則。

假定邊坡滑面起點坐標為(x0，y0)，以局部安全系數取最小值的方向作為控制準則，則邊坡滑面擴展的控制方程應為：

(1)

式中ψ為局部安全系數最小值方向與x方向的夾角。

由于ψ的數值與該點的應力狀態(σ1，σ3)有關，因此式(1)實質為一階擬線性偏微分方程[15]。只要準確給出滑面起點坐標及合適的布點間距，在應力場精度滿足要求的前提下，可以唯一的確定臨界滑面位置。

1.2 局部安全系數及其方向

假設二維邊坡中某點的應力狀態為(σ1，σ3)(如圖1所示)，則該點在任意方向的應力狀態可表示為：

(2)

假設巖土體服從摩爾庫倫屈服準則，并假定以壓為正，邊坡局部安全系數應為：

(3)

將式(2)代入式(3)有：

(4)

對(4)式中θ求導，即：

(5)

所求θ值即為使式(4)中安全系數K取最小的方向角。分析圖1，自摩爾圓A點到B點，τf與τn均在增大，自B點到C點，τf仍在增大而τn則在減小，因此，使安全系數取最小時對應的方向點應介于A、B之間，2θ的取值為90 °～180°之間，也即安全系數取最小的方向與最大主應力σ1的方向夾角在0～90°間。由于上述表達式求導復雜，采用MATHEMATICA推導其計算結果為：

(6)

進一步化簡并計算對應安全系數，結果為：

(7)

上式中為最小安全系數方向與最大主應力的夾角，順時針轉至σ1時取正值，逆時針轉至σ1時取負值。

邊坡滑面搜索時需要確定最小安全系數方向與x軸正向的夾角，也即式(1)中的ψ。因而需要探究與式(7)中的關系。

根據材料力學應力狀態相關理論，最大主應力與x軸或y軸的夾角公式為：

(8)

假定順時針旋轉為正，則根據不同點的應力狀態，φ的大小可根據以下幾種情況確定。

①當σx>σy且τxy>0，其對應的摩爾應力圓如圖2(a)所示，x軸正向與σ1的夾角為α0(順時針旋轉，取正)，則對應極值角表達式為：

(9)

②當σx<σy且τxy>0，其對應的摩爾應力圓如圖2(b)所示，y軸正向與σ1的夾角為α0(逆時針旋轉，取負)，x軸正向與σ1的夾角為π/2-α0，則對應極值角表達式為：

(10)

③當σx>σy且τxy<0，其對應的摩爾應力圓如圖2(c)所示，x軸正向與σ1的夾角為α0(逆時針旋轉，取負)則對應極值角表達式為：

(11)

④當σx<σy且τxy<0，其對應的摩爾應力圓如圖2(d)所示，y軸正向與σ1的夾角為α0(順時針旋轉，取正)，則x軸正向與σ1的夾角為α0-π/2，其對應極值角表達式為：

(12)

其中β1、β2分別為x軸正向與上、下半應力圓安全系數取最小的方向的夾角。

1.3 基于局部安全系數的邊坡滑面搜索方法

眾多數值分析算例表明[15-16]，對于均質邊坡，多數情況下是坡腳附近區域最先破壞，而后引起鄰近區域的相繼失穩，也即前述的牽引式破壞。以牽引式破壞為例，基于局部安全系數搜索邊坡滑面的步驟闡述如下：

1) 建立數值分析模型，通過有限元或有限差分方法求解自然狀態下邊坡的應力場；

2) 設置搜索間距：在邊坡模型內布置n條等間距的垂直線段，垂直線段要求覆蓋整個邊坡(如圖3所示)。各垂直線段間距為ΔL=L/n，其中L為邊坡總長度；

3) 確定初始離散點位置：通過式(7)計算坡腳附近邊界各局部安全系數值及其極值角ψ，并將安全系數最小者對應的位置坐標設為起點A(x0，y0)，其對應的極值角正切值記為tanψA；

4) 確定滑面其他離散點位置：根據A點坐標及其最小安全系數方向，通過式(13)求解B點坐標(xB，yB)。并應用插值手段獲取B點應力狀態，代入(7)求解B點的安全系數及極值角正切值tanψB，繼而求得下一搜索點C的坐標，重復應力插值及安全系數求解，獲取C點的安全系數及極值角大小。依次類推，直至求解的第m個點不在邊坡內為止；

(13)

5) 形成滑面：連接各個搜索點得到邊坡的臨界滑面。搜索流程如圖4所示。

對于推動式破壞，初始點應為坡頂邊界局部安全系數取最小值處。相鄰點坐標求解應相應調整。

2 邊坡整體安全系數求解

如前所述，邊坡滑面為由點及面逐漸演化、擴展而成。局部區域的安全性勢必影響邊坡整體的穩定性。A Kourdey等[15-16]均指出，推導基于局部安全系數的邊坡整體安全系數意義重大。

若將整個滑面按布點間距劃分為若干微段，根據極限平衡條件，對于每一微段應有下式成立：

(14)

式中ΔLi為第i微段的長度，τfi為微段抗剪強度，τi為微段剪切力，Fi為微段局部安全系數。

則整個滑面上的下滑力應為各微段下滑力之和。若考慮力的方向，該和為各下滑力在投影方向的代數和；若不考慮力的方向，則該和為各微段下滑力的簡單代數疊加，此時整個滑面上的下滑力可表示為：

(15)

根據安全系數的定義，邊坡整體安全系數應為：

(16)

若考慮力的方向性，按矢量和法求得的整體安全系數公式為：

(17)

相較于文獻[17-18]有關局部安全系數與整體安全系數的假定，本文公式推導從安全系數定義出發，物理意義相對明確。

3 算例分析

3.1 方法可靠性驗證

為驗證所提方法的合理性，分別選用文獻[10]和文獻[11]提及的均質邊坡算例分析邊坡滑面，并將結果與經典的的Bishop法及參考文獻的結果作對比。其中文獻[11]中的滑面位置通過最大位移變化率的方法確定；文獻[10]則是基于等效塑性應變方法獲得的滑面位置。兩種方法均基于強度參數同比例折減后的虛擬應力場，且對滑面點進行擬合時對擬合基函數的要求較高。

算例1為一均質土坡，取自澳大利亞(ACADS)邊坡考題，其材料特性為：容重20 kN/m3，粘聚力3.0 kPa，內摩擦角19.6°邊坡模型尺寸如圖5所示，其中H=5 m，a:b=1:2。

采用有限元軟件ABAQUS求解應力場時，邊界條件為底邊固定約束，兩側邊法向約束；而本構條件及屈服準則分別為彈塑性本構、Mohr-Coulomb屈服準則。

求得自然狀態下的應力場后，按照1.3節所述步驟開展滑面搜索工作，滑面搜索結果如圖6所示。

圖6展示了推薦方法、基于最大位移變化率方法及Bishop法得到的滑面結果。對比發現：3種方法所得滑面位置相近，但形狀有一定差別。本文方法在剪出口較為平緩，且剪入口處相對靠后，與Bishop法的圓弧滑面有交叉。

在邊坡的安全性方面，文獻[11]的計算結果基于強度折減法，對應的安全系數為0.989；極限平衡的Bishop法相應的結果為0.986；本文推薦方法所得邊坡整體安全系數為0.963(基于式(16))，小于上述兩方法的結果，結果相對合理。

算例2為一均質黏土邊坡。黏土容重為20 kN/m3，彈性模量為200 MPa，泊松比為0.4，粘聚力為10 kPa，內摩擦角為20°。邊坡模型尺寸如圖7(a)所示，推薦方法、基于等效塑性應變最大值法及Bishop法所得滑面位置如圖7(b)所示。

圖7(b)結果表明，推薦方法、極限平衡法及基于等效塑性應變確定的滑面位置基本一致，且推薦方法相應滑面介于其他兩方法之間，在坡腳位置推薦方法滑面相對較深，符合黏土滑面的基本規律。各方法對應的邊坡穩定性系數分別為：強度折減法1.380，極限平衡法(Bishop)1.361，推薦方法1.348，其數值也小于前兩方法，結果相對合理。

推薦方法所得滑面及邊坡安全性與當前已有方法結果的一致性表明，應用推薦方法分析邊坡穩定性是合理的。因其原理的合理性和操作的簡便性，有推廣應用的價值。

3.2 方法應用探討

本文推薦的滑面搜索方法基于邊坡真實應力場，只要能夠準確計算出邊坡的應力場，就可獲取較為理想的滑動面位置。但潛在滑動面的精確定位顯然依賴于搜索點間距的取值，因此，有必要對搜索點間距的合理取值進行探究。現以算例1為例，分別取用0.2 m、0.8 m、2 m 3個間距對搜索點間距的取值范圍開展研究。

不同搜索點間距對應滑面位置如圖8所示。由圖8可知，間距為0.2 m、0.8 m時搜索得到的滑面位置較為接近，間距為2 m時得到的滑面位置稍深，但相應滑動面位置仍很靠近小間距滑面。筆者也嘗試3 m、4 m兩個間距，但相應的滑面位置偏差較大，在此未列出。

由于間距2 m約等于邊坡長度(即坡面長度的水平投影)的0.1倍，且所得滑面位置與小間距相比偏差不大，推薦搜索點間距的合理取值不大于0.1倍坡長。

4 結論及展望

本文依據控制論中的最優性原理和邊坡中的Cauchy問題，探究了一種基于局部安全系數由點及面確定邊坡滑面的方法。并從安全系數的定義出發推導了基于局部安全系數的邊坡整體安全系數表達式。通過對比分析推薦方法、極限平衡法、基于最大位移變化率或基于等效塑性應變的強度折減法獲得的滑面位置及安全系數結果，驗證了推薦方法的合理性，所得結論主要有：

1) 對于規則的均質邊坡，推薦方法能夠高效獲取臨界滑面位置，并求得可靠的整體穩定性系數；

2) 推薦方法的布點間距控制在0.04倍邊坡總長度內所得滑面結果較為可靠；

3) 與極限平衡法相比，滑面的確定無需遍歷搜索；與強度折減法相比，滑面搜索及安全系數求解建立在真實應力場基礎上，且滑面搜索方法依據充分，規則統一；

4) 本文所提方法是基于邊坡應力場進行計算的，適用于均質巖土邊坡。對于多層介質邊坡，尤其是含軟弱夾層邊坡，由于應力場在介質交界處存在不連續現象，安全系數及極值角在交界處也存在不連續現象，需要通過加入連續性條件控制滑面搜索結果。在這方面，尚需進一步研究。