切線模量法在分層地基沉降計算中的應用

劉清華，楊光華，，3，4，孫樹楷，姜 燕，，3，4，賈 愷，，3，4

(1.華南理工大學土木與交通學院，廣東 廣州 510641;2.廣東省水利水電科學研究院，廣東 廣州 510635；3.廣東省巖土工程技術研究中心，廣東 廣州 510635；4.廣東省山洪災害突發事件應急技術研究中心，廣東 廣州 510635)

1 概述

地基沉降計算一直是基礎工程設計中的難題，如果地基變形估算不足，小則引起工程建筑開裂，大則可能造成建筑物傾倒等嚴重的工程事故。目前，我國應用最為廣泛的地基沉降計算方法是將壓縮模量作為計算指標的分層總和法，該方法物理概念清晰，計算簡便，易于在工程中推廣應用。但與實際沉降情況相比仍有較大差異，其計算結果需要進 行經驗修正，這是由于壓縮模量是由室內壓縮試驗得到的，采用的土樣已經受到擾動，其土體結構已經破壞。除此之外實驗室內完全側限的邊界條件與土體的實際受力狀態存在差異，因此不能反映出原狀土的非線性變形特征以及土體模量受到應力水平等因素的影響[1]。

原狀土地基的載荷試驗成果曲線能夠反映地基土逐級加載至土體極限狀態過程中的非線性變形特征，因此可以用來確定土體的非線性變形參數，為計算地基的非線性沉降提供準確的參考依據。現有的地基沉降分析方法估算不準確，主要是存在兩個問題：一是無法獲得可靠的土體變形參數；二是無法獲得上部荷載作用下地基土準確的應力分布。而利用現場原位試驗尤其是載荷試驗的成果可以獲得比室內試驗更加可靠的變形參數，這也是載荷試驗可靠性的來源。楊光華教授[2-3]的切線模量法是將現場載荷試驗結果曲線進行雙曲線擬合，求取切線模量法的參數，然后通過切線模量法求得土體在不同應力水平下的切線模量，用于計算地基土的非線性沉降，其結果與采用壓縮模量得到的結果相比更加準確。這是由于土體產生非線性變形，主要是受到了應力水平的影響。對地基不同深度點根據其應力水平由切線模量方程確定出計算點原狀土的切線模量，用該切線模量替代壓縮模量對地基沉降進行分層總和法計算將比直接使用壓縮模量更符合實際情況。

由于切線模量法是建立于壓板試驗基礎上，有讀者認為壓板尺寸小，不能反映深部土體的影響，該方法對深厚土層尤其是分層土能否適用存在疑問。本文通過均質土與不同分層土的沉降對比計算，說明切線模量法同樣能夠用于分層土地基的沉降計算，也能反映分層土地基不同層土體對沉降變化的影響。由此說明切線模量法在分層地基沉降計算中并不依賴于現場壓板試驗，可以由室內試驗或其他原位試驗等方式得到各層土的切線模量法參數，即可以用于反映分層土的影響。楊光華等[4]曾采用旁壓試驗確定深部砂層的切線模量的變化，用標貫試驗確定不同深度砂土的內摩擦角。本文用上硬下軟和上軟下硬的分層土地基的沉降與全硬和全軟土地基的沉降對比計算，驗證了切線模量法對分層地基的沉降計算的適用性。

2 原狀土沉降計算的切線模量法

地基在某一上部荷載pi下增加增量荷載Δpi，則某深度hj處分層厚度為Δhj的土層產生的沉降可近似計算為[3]：

(1)

式中Eij為對應pi在hj處原狀土的等效線模量；假設增量荷載Δp過程中土體的變形是線性的；α為應力分布系數；Δpiα表示Δpi在hj處所產生的應力增量；Δhj為土層分層厚度；Δpi所產生的沉降可按分層總和法確定為：

(2)

Eij的確定是該計算式能否準確計算沉降的關鍵。根據土的本構特性，Eij主要取決于該點處的應力水平，室內土樣試驗可按Duncan-Chang模型確定。

一般可假設土體的壓板試驗p～s曲線為一雙曲線方程，即：

(3)

該曲線任意點的切線導數為：

(4)

(5)

式中D為試驗的壓板直徑；μ為土的泊松比；ω為系數;E0為原狀土的初始切線模量。

式(4)的導數是p～s曲線的切線模量，不是土體的切線模量。假設在某一級荷載Δp下為增量線性，則對壓板試驗引起的沉降增量按半無限彈性體的Bussinesq解為：

(6)

Et為壓板底部位對應某一荷載p處增加一增量荷載Δp時的土體等效切線模量，則：

(7)

(8)

引入一個破壞比系數Rf，則式(8)可改寫為：

(9)

由式(9)可得反映不同荷載水平的土體切線模量，以其代替傳統分層總和法的壓縮模量Es，采用分層總和法，如公式(1)(2)，可計算得到上部某一荷載下的地基沉降量，也可以得到地基逐級加載情況下的p～s沉降曲線，從而為設計施工提供參考。

3 分層土與均質土地基沉降對比

3.1 案例概況

如果土層是均質土，則可以利用壓板試驗的p～s曲線反算原狀土的粘聚力，內摩擦角，也可以由壓板試驗的曲線確定E0、pu值，再由式(9)可得反映不同荷載水平的土體切線模量，以其代替傳統分層總和法的壓縮模量Es，采用分層總和法計算地基沉降。但當土層是多層土時，利用壓板試驗反算c、φ值不方便。但這也不能說明切線模量法就不再適用于多層土的地基沉降計算。從工程經驗來看，一個均質硬土地基和一個上覆硬土層下臥軟土的地基(硬土層參數一致)，應該是有軟弱下臥層的地基沉降更大。現在用切線模量法進行一個案例的計算，驗證切線模量法能夠體現這種差異性。

以下是一個均質硬土地基、均質軟土地基和一個具有軟弱下臥層的上硬下軟分層土地基以及一個相反的上軟下硬分層土地基(不同地基的硬土層、軟土層參數一致，總體計算深度一致)，基礎的尺寸與土層參數如圖1～4所示。對于圖1中均質硬土地基的情況，假設基礎寬度3 m×3 m，埋深d=0.5 m，硬土層c=30 kPa，φ=24°，γ=20 kN/m3，土層厚度為d=6 m。對于圖2中上硬下軟土層的情況，假設基礎寬度3 m×3 m，埋深d=0.5 m，硬土層c=30 kPa，φ=24°，γ=20 kN/m3，土層厚度為d1=3 m，軟土層c=10 kPa，φ=10°，γ=19 kN/m3，土層厚度為d2=3 m。而圖3中地基為均質軟土層，軟土參數與分層土地基一致，土層厚度d=6 m。圖4中上軟下硬土地基取與上硬下軟土地基相同的基礎與土層參數，只是上下土層位置互換。由這些條件通過切線模量法得到兩種均質土地基與兩種分層土地基的p～s曲線進行對比。

實際基礎下地基深寬修正后的承載力特征值為：

fa=fak+ηbγ(b-3)+ηdγm(d-0.5)

(10)

式中b為基礎寬度,m，當小于3 m時按3 m考慮，大于6 m時按6 m考慮；d為基礎埋置深度,m；fak是土層的未修正承載力特征值；ηb、ηd是深寬修正系數。

若已知土的c、φ值，則由c、φ值也可以確定地基深寬修正后的承載力特征值為：

fa=Mbγb+Mdγmd+Mcc

(11)

式中Mb、Md、Mc為承載力系數，由φ值確定；b為基礎寬度,m，大于6 m時按6 m取值，小于3 m時按3 m取值；d為基礎埋置深度,m；c為土層粘聚力強度。

由式(10)可知，若b=3 m，d=0.5 m，則式中的fa值與fak相等。為此，若已知土的c、φ值，則按式(11)用b=3 m，d=0.5 m計算的fa值也應相等于特征值fak，因此，可以用b=3 m，d=0.5 m時的式(11)計算硬土和軟土的承載力特征值fak。

1) 對于硬土，c=30 kPa，φ=24°，其承載力系數根據《建筑地基基礎設計規范》(GB 50007—2011)中的表5.2.5確定，Mb=0.8，Md=3.87，Mc=6.45，得到實際基礎尺寸下的承載力特征值：

fak=fa=3Mbγ+0.5Mdγm+Mcc

=3×0.8×20+3.87×20×0.5+6.45×30

=280.2 kPa。

已知硬土的承載力特征值fak=280.2 kPa，其變形模量E0可以按照文獻[5]表3.9插值得到，E0=21.8+(280.2-200)/(300-200)×(40-21.8)=36.4 MPa。根據文獻[5，6]，變形模量E0與初始切線模量Et0存在Et0=2E0的關系，因此進一步得到硬土層的初始切線模量Et0=72.8 MPa。

2) 對于軟土，c=10 kPa，φ=10°，以此類推可以確定其承載力系數Mb=0.18，Md=1.73，Mc=4.17，得到實際基礎尺寸下的承載力特征值：

fak=fa=3Mbγ+0.5Mdγm+Mcc

=3×0.18×19+1.73×19×0.5+4.17×10

=68.4 kPa。

已知軟土的承載力特征值fak=68.4 kPa，其變形模量E0同樣可以按照文獻[5，6]表3.9插值得到，E0=0.6+(68.4-50)/(100-50)×(4.8-0.6)=2.15 MPa，同理可得軟土層的初始切線模量Et0=4.3 MPa。

3.2 均質硬土地基

采用切線模量法計算圖1均質硬土地基的p～s曲線。基礎寬度b=3 m，埋深d=0.5 m。基礎施加每級荷載增量為50 kPa，即Δp=50 kPa，分層厚度Δh=0.2 m，取每層土的中心點位置進行計算，計算深度h取6 m，故可分30層，以第一級荷載P=50 kPa為例說明計算過程。其中，理論計算時選取的初始切線模量是取前面計算得到的結果。

第一級荷載下，第一層土計算深度為z1=0.1 m，附加應力系數Kc=0.999 6，則該深度處附加應力：

Δσ=50×0.999 6=49.98 kPa，

=978.20 kPa。

該層土的切線模量:

=65.55 MPa。

則第一層的沉降為：

第二層土計算深度為z2=0.3 m，附加應力系數Kc=0.994 4，則該深度處附加應力：

Δσ=50×0.994 4=49.72 kPa；

=1016.62 kPa。

該層土的切線模量為：

則第二層的沉降為：

以此類推，可求得每一層土的沉降值，將每一層土的沉降值疊加，最終求得第一級荷載下土體的最終沉降值：s1=Δs1+Δs2+Δs3+…+Δs27=1.91 mm。

重復以上過程，可求得每級荷載下的沉降值，根據計算結果繪制壓板尺寸下的沉降p～s曲線(見圖5所示)。

可以看到，對于均質硬土層，附加應力會隨深度增加迅速降低，而切線模量會隨深度增加越來越接近初始切線模量，逐漸增大。應力水平也是隨著深度增加而越來越小[7]。因此，土體隨著深度的增加，基底應力擴散到深部的附加應力越來越小，極限荷載相對增加，應力水平降低，但對應深度處土體的切線模量會越大，因而隨著深度的增加，沉降會加快收斂。

3.3 上硬下軟土地基

對圖2上硬下軟土層的地基進行沉降計算，分為兩層，地面下0～3 m和3～6 m分別是淺層硬土和深層軟土。

1) 計算深度取6 m，每層厚度按0.2 m確定，將地基壓縮層分為30層，每層均為0.2 m。

2) 將300 kPa的荷載分為6級加載到基礎，每級荷載50 kPa，確定每一級荷載作用下各個壓縮分層的沉降，將其累加便可得到地基土的最終沉降量。

計算過程中，0～3 m深度的土層取硬土參數φ=24°計算Nr，Nq，Nc，3～6 m深度的土層取軟土參數φ=10°計算Nr，Nq，Nc，不同深度土的pu值由于c值的不同也會發生改變[8]，按照淺層土，深層土的初始切線模量Et1、Et2分別計算不同深度土層的實際切線模量Et，另外，淺層土，深層土的破壞比Rf也分別取值，計算得到每級荷載下的沉降。

按基礎寬度3 m計算得到的p～s曲線如圖8所示。

3.4 均質軟土層地基和上軟下硬土地基

同樣對圖3～4中的均質軟土地基與上軟下硬土地基進行沉降計算，按基礎寬度3 m計算得到的p～s曲線如圖11所示。

將兩種均質土地基與兩種分層土地基的荷載沉降p～s曲線放進一張圖中進行對比(見圖11);將全軟地基與上軟下硬地基在100 kPa下的土層壓縮量沿深度的變化匯總(見圖12);將全硬地基與上硬下軟地基在400 kPa下的土層壓縮量沿深度的變化匯總(見圖13)。

對于上軟下硬分層土地基，可以看到其切線模量分布以及應力水平分布圖在3 m深度的上下土層分界處有一個突變。這是由于土層由軟土過渡到了硬土，切線模量自然大幅增加，傳遞下來的附加應力減少，但深層硬土的極限荷載比軟土大很多，因此應力水平急劇降低，深層硬土的沉降迅速收斂。對于分層土地基土層壓縮量沿深度的變化情況，可以看到在3 m深度處分層土地基的壓縮量都有一個突變，尤其是圖13說明軟弱下臥層對地基沉降影響比較明顯，而均質土地基沒有突變。

從結果來看，以上4種類型的地基(硬土層、軟土層參數一致)，用切線模量法計算出相同上部荷載下的沉降情況，具有軟弱下臥層的地基沉降總是大于均質硬土地基的沉降，而均質軟土地基的沉降總是最大，上軟下硬土地基的沉降則略小于均質軟土地基，這與實際經驗情況一致。與均質硬土地基相比，上硬下軟土地基中軟弱下臥層的存在確實使得地基沉降增加了，而切線模量法能夠體現這種變化，說明這種方法同樣能夠適用于分層土地基的沉降計算，反映出分層土地基不同層土體的影響。

從圖11可見，上軟下硬情況與全軟土的沉降比較接近，從圖12的沉降沿著深度的變化情況可見，沉降珠要是發生于上層3 m土層內，這就是圖11中表現的上軟下硬與全軟土沉降差異不大的原因。而從圖13可見，上硬下軟時沉降主要發生于下臥軟土層，這就是圖11中上硬下軟時的沉降較大于全硬土層的原因，可見切線模量法可以反映分層土的變形特點，可以用于分層地基的沉降計算。

4 結語

本文通過兩種均質土地基以及兩種分層土地基(硬土層、軟土層參數一致)的切線模量法沉降計算對比，得到了相同上部荷載情況下，具有軟弱下臥層的地基沉降總是大于全硬土地基的沉降，而全軟土地基的沉降總是最大，上軟下硬土地基的沉降則略小于全軟土地基的結果，這與實際經驗情況一致。同時通過分析沉降沿深度的變化，說明這種方法同樣能較好的反映分層土地基對沉降的影響，表明切線模量法能夠較好的計算分層地基的沉降。對于多層地基，只要合理確定不同土層的切線模量法需要的土體參數，則可以應用切線模量法進行多層地基的沉降計算。