從多項式逼近角度證明泰勒定理

顧 穎

(宿遷學(xué)院文理學(xué)院 江蘇宿遷 223800)

英國數(shù)學(xué)家布魯克泰勒在其著作《正和反的增量法》中首次提及泰勒公式，泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重點和難點，具有十分重要的理論與應(yīng)用價值[1]。它在近似計算，不等式證明，函數(shù)性態(tài)分析等方面發(fā)揮著重要的作用，同時也是計算數(shù)學(xué)中多項式插值，數(shù)值微積分，微分方程數(shù)值解等算法的理論基礎(chǔ)。本文從多項式逼近的角度首先給出泰勒多項式，進(jìn)而證明泰勒定理。

從本例結(jié)果中可看出對于y=sin x 在x=0 附近，當(dāng)用一次多項式逼近它時，精度僅能達(dá)到x 的高階無窮小，但當(dāng)用三次多項式逼近時，精度就提升到x3的高階無窮小了。回歸到一般的函數(shù)y=f (x)，在點x0附近，能否用多項式逼近該函數(shù)呢？

由一元函數(shù)微分知識，得到當(dāng)y=f (x)在點x0可導(dǎo)時，有

一、泰勒多項式