改進(jìn)排序的梯形直覺模糊Choquet Bonferroni算子的多屬性群決策方法

羅世華，劉 俊

(江西財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，江西 南昌 330013)

1 引言

MAGDM是將群體中的各決策者對有限方案的多個屬性評價信息按照某種規(guī)則集結(jié)為一致或妥協(xié)的群體偏好[1]，已廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)效益評價、競爭力評價、環(huán)境質(zhì)量考核等情形。隨著決策信息的復(fù)雜性和不確定性與日俱增，采用精確的實值刻畫評價信息會造成決策意見的失真，1965年Zadeh[2]提出模糊集(FS)的概念，使用不確定數(shù)表達(dá)評價信息。但在實際建模過程中，僅依靠隸屬度很難完整的表達(dá)專家贊成、反對和猶豫的心理活動。基于此，1986年Atanassov[3]提出直覺模糊集(IFS)，IFS較FS更能細(xì)膩地表達(dá)不確定評價信息的模糊性本質(zhì)。隨著研究的深入，直覺模糊評價信息拓展到區(qū)間直覺模糊數(shù)[4]、三角直覺模糊數(shù)[5]、梯形直覺模糊數(shù)[6]，直覺模糊集及其拓展在MAGDM領(lǐng)域的研究已成為現(xiàn)代決策科學(xué)的一個重要分支。

李登峰[7]、徐澤水[8]等理論成果引領(lǐng)學(xué)者們對IFS的研究不斷深入，萬樹平[9]綜述了直覺模糊集從誕生之后20多年的研究現(xiàn)狀。但近年來對于直覺梯形模糊數(shù)的研究相對較少，關(guān)于梯形直覺模糊數(shù)的MAGDM更是鳳毛麟角。TrIFN從另一個角度對IFS進(jìn)行了拓展，將離散的模糊數(shù)連續(xù)化，更方便地描述模糊評價信息。王堅強(qiáng)和張忠定義了TrIFN的期望值[10]，距離公式和加權(quán)算術(shù)平均算子[11]，得分函數(shù)、精確函數(shù)和幾何算子。萬樹平和董九英[12]提出了基于TrIFN有序加權(quán)集成算子和混合集成算子的MAGDM方法。劉培德和左甲[13]提出TrIFN加權(quán)算數(shù)平均算子、TrIFN有序加權(quán)二次平均算子、TrIFN混合加權(quán)二次平均算子。Wu Jian和Cao Qingwei[14]定義了一些幾何聚合算子，如TrIFN加權(quán)幾何算子，TrIFN有序加權(quán)幾何算子，誘導(dǎo)TrIFN有序加權(quán)幾何算子，誘導(dǎo)TrIFN混合算子。

學(xué)者們在決策過程中發(fā)現(xiàn)，不同屬性間普遍存在著關(guān)聯(lián)性，并不都像以上文獻(xiàn)中表述的那樣相互獨立，它們存在互補(bǔ)或者冗余，不完全滿足可加性。基于評價信息為直覺模糊數(shù)時，Grabisch等[15]提出的Choquet積分算子提供了有效的解決方案，充分考慮其重要性和相互作用。大量研究人員將Choquet積分算子拓展到各種模糊環(huán)境中，Tan Chunqiao[16]探討了基于Choquet積分算子的IFS和區(qū)間IFS的幾何集成算子。萬樹平和董九英[17]基于模糊測度和Choquet積分，定義了三角直覺模糊Choquet積分算子解決MADM問題。朱佳翔等[18]給出了基于離散Choquet積分的TOPSIS算子。除了Choquet積分算子，Bonferroni均值(BM)算子[19]也有捕獲輸入?yún)?shù)的相互關(guān)系的能力。Dutta和Guha[20]將TIFN與BM算子結(jié)合，提出了梯形直覺模糊Bonferroni平均算子(TrIFBM)。針對屬性之間存在優(yōu)先級關(guān)系，Xu和Yager[21]基于BM算子定義了加權(quán)Bonferroni均值(WBM)算子。Zhou Wei和He Jianmin[22]引入規(guī)范化加權(quán)Bonferroni均值(NWBM)算子。然而經(jīng)典的Choquet積分及其上述各種拓展形式并不能對所有屬性間的關(guān)聯(lián)作用進(jìn)行分析,只能度量部分屬性的關(guān)聯(lián)度。

在直覺模糊MAGDM問題中，IFS的排序是確定方案優(yōu)劣排序的重要一環(huán)。1994年Chen等提出得分函數(shù)[23]，被Hong等[24]證明僅靠得分函數(shù)，IFS排序不準(zhǔn)確，進(jìn)而提出了精確函數(shù)。徐澤水[25]將得分函數(shù)與精確函數(shù)綜合考慮區(qū)間IFS排序問題。有關(guān)TrIFN的排序研究還不是很多。萬樹平和董九英[12]根據(jù)TrIFN的隸屬函數(shù)、非隸屬函數(shù)和猶豫度的圖像，從幾何的重心重新定義了TrIFN期望值和預(yù)期得分，給出了TrIFN的排序方法。Das和Guha[26]通過實例分析了文獻(xiàn)[27]中排序方法存在的缺陷，并給出了一種基于質(zhì)心坐標(biāo)的新排序方法，但依然會出現(xiàn)質(zhì)心相同排序失效的情況。

綜上所述，考慮決策中屬性并非完全獨立，本文由傳統(tǒng)的Choquet積分的模糊測度，將屬性間的關(guān)聯(lián)信息轉(zhuǎn)換為待聚合數(shù)據(jù)的權(quán)重信息，克服了其只能度量部分屬性關(guān)聯(lián)度的缺陷，在屬性間存在關(guān)聯(lián)性時依然有效，并且避免了決策者賦予權(quán)重的主觀性，使決策過程更加科學(xué)有效。BM算子與算術(shù)平均值和幾何平均值相比，有著可以反映屬性間相關(guān)性的優(yōu)勢。針對目前TrIFN環(huán)境的MAGDM排序失效的問題，基于文獻(xiàn)[26]，整合隸屬度函數(shù)與非隸屬度函數(shù)的均值、模糊度和函數(shù)圖像質(zhì)心指標(biāo)，通過數(shù)學(xué)表達(dá)式組建成新的TrIFN排序方法。TrIFN環(huán)境下的規(guī)范賦權(quán)調(diào)和均值算子鮮有文獻(xiàn)報道，為此聯(lián)合Choquet積分，BM算子以及新排序方法，提出改進(jìn)排序方法的梯形直覺模糊Choquet Bonferron規(guī)范賦權(quán)調(diào)和均值算子(TrIFCBNWHM)。它可以表達(dá)每個屬性的重要性及相互關(guān)系，替代方案可獲得決策者所有可能的值，通過Choquet積分的模糊測度得到?jīng)Q策的權(quán)重更加合理。本文研究TrIFCBNWHM性質(zhì)、運算法則及其在梯形直覺模糊MAGDM問題中的應(yīng)用，通過對比分析有效證明了新算子的有效性。

2 梯形直覺模糊集理論

王堅強(qiáng)[6]給出TrIFN的定義如下：

(1)

(2)

其中符號“∧”,“∨”分別表示取小取大運算；

3 梯形直覺模糊Choquet Bonferroni規(guī)范賦權(quán)調(diào)和均值算子

在屬性權(quán)重和專家權(quán)重未知情況下，利用Choquet積分將決策信息間的關(guān)聯(lián)信息轉(zhuǎn)換為待聚合數(shù)據(jù)的權(quán)重信息的能力，得到屬性權(quán)重和專家權(quán)重。

定義 3 設(shè)C={c1,c2,…,cn}是一個有限集，h:P(C)→[0,1]稱為模糊測度集合函數(shù)，滿足以下公理[28]：

1)h(φ)=0,h(C)=1；

2)若A?C,B?C且A?C，則h(A)≤h(B)；

3)h(A∪B)=h(A)+h(B)+θh(A)h(B)， 其中θ∈(-1,∞)在Choquet積分中表示指標(biāo)的相互作用。

h(C)

(3)

其中ci∩cj=φ,i≠j對只有一個元素ci的子集合，h(ci)稱為模糊測度，hi=h(ci)。當(dāng)h(C)=1時，可得

(4)

定義 4 令h為(C,P(C))的一個模糊測度,一個有限集C，根據(jù)模糊測度h，Choquet積分函數(shù) 定義如下[15]：

f(c(i))

(5)

其中(i)為f(c(i))的一個置換，且F(n+1)=0，F(xiàn)(i)={c(i),c(i+1),…,c(n)}，0≤f(c(1))≤f(c(2))≤…≤f(c(n))。

結(jié)合Bonferroni平均算子[19]和Choquet積分算子，本文提出梯形直覺模糊Choquet Bonferroni規(guī)范賦權(quán)調(diào)和均值算子。

(6)

其中wi=h(F(i))-h(F(i+1))，根據(jù)式(3)求h(F(i))的值。

由TrIFCBNWHM的定義可知，它具有冪等性、可交換性和單調(diào)性。由TrIFN的運算律，可得定理1。

(7)

鑒于文章篇幅，此部分證明略。

則

4 改進(jìn)梯形直覺模糊數(shù)排序方法

此部分整合隸屬度函數(shù)與非隸屬度函數(shù)的均值、模糊度和函數(shù)圖像質(zhì)心指標(biāo)，通過數(shù)學(xué)表達(dá)式組建成新的TrIFN排序方法，避免了質(zhì)心相同時TrIFN排序失效。

4.1 隸屬度與非隸屬度均值和模糊數(shù)

(8)

滿足以下條件：

(9)

(10)

(11)

(12)

為了計算簡潔，定義如下

(13)

(14)

(15)

(16)

4.2 隸屬度與非隸屬度函數(shù)圖像的質(zhì)心指標(biāo)

質(zhì)心差距：

(17)

質(zhì)心指標(biāo)：

(18)

梯形直覺模糊數(shù)的隸屬度函數(shù)和非隸屬度函數(shù)根據(jù)式子(1)、(2)給出，如圖1所示：

隸屬度與非隸屬度各點坐標(biāo)如下所示：

圖1 梯形直覺模糊數(shù)的隸屬度及非隸屬度函數(shù)

4.3 TrIFN排序方法

基于以上有關(guān)的定義，計算每個梯形直覺模糊數(shù)的排序指標(biāo)，ξ∈[0,1]是決策者的偏好權(quán)重。

(19)

(20)

5 決策方法

具體操作步驟如下：

步驟2：由專家給出各屬性和屬性集的模糊測度。

步驟4：考慮到專家的自我認(rèn)知和判斷水平的不一致，他們的偏好存在差別，對各專家的背景進(jìn)行考察，確定專家的模糊測度h(di),(i=1,2,…,k)。

6 實例分析

全球環(huán)境問題成為人們?nèi)找骊P(guān)注的現(xiàn)實問題，越來越多的注意力集中在各個行業(yè)綠色生產(chǎn)上。 汽車公司選擇最佳綠色供應(yīng)商的關(guān)鍵要素之一是制造過程。通過預(yù)先評估，之后對4家供應(yīng)商Si在4個標(biāo)準(zhǔn)替代方案下進(jìn)一步評估：產(chǎn)品質(zhì)量C1,技術(shù)能力C2，污染控制C3，環(huán)境管理C4。該公司擁有一批來自4個部門的決策者：生產(chǎn)部門D1，采購部門D2，質(zhì)量檢驗部門D3，工程部門D4。實例數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[31]，并將排序結(jié)果與其他算子進(jìn)行對比分析，來說明本文提出的算子應(yīng)用的可行性。

步驟1：專家構(gòu)建規(guī)范化的決策矩陣如下表1-4

表1 專家D1給出的判斷矩陣A1

表2 專家D2給出的判斷矩陣A2

表3 專家D3給出的判斷矩陣A3

表4 專家D4給出的判斷矩陣A4

步驟2：據(jù)專家意見，屬性指標(biāo)的模糊測度為：h(c1)=0.4,h(c2)=0.25,h(c3)=0.37,h(c4)=0.2由式(4)計算θ1=-0.44，故由式(3)得h(c1,c2)=0.6,h(c1,c3)=0.7,h(c1,c4)=0.56,h(c2,c3)=0.58,h(c2,c4)=0.43,h(c3,c4)=0.54,h(c1,c2,c3)=0.88,h(c1,c2,c4)=0.75,h(c1,c3,c4)=0.84,h(c2,c3,c4)=0.73,h(c1,c2,c3,c4)=1。計算得到四個標(biāo)準(zhǔn)得權(quán)重向量為w1=(0.27,0.19,0.34,0.2)T。

步驟3：集結(jié)

0.5,0.2),

0.7,0.25),

0.5,0.4),

0.5,0.5).

0.6,0.2),

0.6,0.4),

0.5,0.3),

0.5,0.4).

0.5,0.25),

0.6,0.2),

0.47,0.2),

0.5,0.4).

0.5,0.5),

0.6,0.3),

0.5,0.4),

0.5,0.35)

步驟4：考慮到專家的自我認(rèn)知和判斷水平的不一致，他們的偏好存在差別，對各專家的背景進(jìn)行考察，確定專家的模糊測度h(d1)=0.5，h(d2)=0.28,h(d3)=0.15,h(d4)=0.18。同上，計算得θ2=-0.27，h(d1,d2)=0.74，h(d1,d3)=0.63，h(d1,d4)=0.66，h(d2,d3)=0.42，h(d2,d4)=0.45，h(d3,d4)=0.32，h(d1,d2,d3)=0.86，h(d1,d2,d4)=0.89，h(d1,d3,d4)=0.78，h(d2,d3,d4)=0.58，h(d1,d2,d3,d4)=1。計算4部門的權(quán)重向量w2=(0.42,0.26,0.14,0.18)T。

步驟5:對上述16組梯形直覺模糊數(shù)算子集結(jié)，

步驟6：使用新提出得排序方法對上述4組梯形直覺模糊數(shù)排序，決策者的偏好權(quán)重ξ=0.5。

質(zhì)心指標(biāo):

質(zhì)心差距分別為：

λ1=0.0729,λ2=0.0468，λ3=0.0348，λ4=0.

當(dāng)決策者偏好權(quán)重ξ∈[0,1]取不同值時，運用Matlab反映TrIFN值變化情況. M排序指標(biāo)與N排序指標(biāo)的結(jié)論一致，同時也驗證了排序方法的有效性.如圖2和圖3所示:

圖2 不同決策權(quán)重下M排序指標(biāo)值

圖3 不同決策權(quán)重下N排序指標(biāo)值

為了進(jìn)一步說明提出的TrIFCBNWH算子的有效性和可行性，與文獻(xiàn)[31]中匯總的幾種算子(梯形直覺模糊PHA算子、梯形直覺模糊FIOWHM算子、廣義Bonferroni調(diào)和均值算子、Hamacher算子、模糊Frank冪平均算子和廣義Einstein有序加權(quán)平均算子)處理上述供應(yīng)商選擇問題進(jìn)行算子聚集排序?qū)Ρ妊芯浚Y(jié)果如表5所示。

由表5可知，利用梯形直覺模糊Frank冪平均算子和Frank冪平均算子，選擇最佳方案排序大不相同，由于這些算子未能有效減弱不公平數(shù)據(jù)的影響。而通過梯形直覺模糊FIOWHM算子和Hamacher算子聚合，所得結(jié)果相同。同樣的結(jié)果在利用廣義Bonferroni調(diào)和均值算子和廣義Einstein有序加權(quán)平均算子時出現(xiàn)。

不難看出，TrIFCBNWHM算子可以考慮屬性間相互關(guān)系和每個屬性的重要性，從而高效應(yīng)用信息，并且由Choquet積分得到的權(quán)重信息不嚴(yán)格要求個體間相互獨立，說明算子的可行性和優(yōu)越性。

7 結(jié)語

針對已有TrIFN排序方法有可能失效，本文提出整合隸屬度函數(shù)與非隸屬度函數(shù)的圖像質(zhì)心、均值以及模糊度建構(gòu)新的TrIFN排序模型。利用模糊測度求出屬性權(quán)重和專家權(quán)重，在屬性不滿足相互獨立時依然適用，結(jié)合BM算子，提出TrIFCBNWHM算子。該算子既能充分反映屬性間的關(guān)聯(lián)程度又能得到屬性權(quán)重和專家權(quán)重。加入?yún)?shù)來反映決策者的心態(tài)，當(dāng)參數(shù)變化時，不影響最佳供應(yīng)商選擇排序。通過實例分析并將本文提出的算子與其它算子[31]相比較，說明了該方法的可行性和有效性，相對其他的綜合評價中的決策方法應(yīng)用范圍更加廣泛。未來的研究可以關(guān)注基于模糊測度函數(shù)來解決屬性間及不同決策者間模糊測度未知的多屬性群決策等相關(guān)問題。