淺析開放性數學問題的設計

陳 璽

(甘肅省隴南市成縣城關中學 742500)

開放性數學問題的出現以及在近二十年來迅速普及，已被人們認為是最富有教育價值的一種數學題型.開放性數學問題的教學能真正地達到“教學是師生經驗的展現與交流對話；教師是學生學習的合作者、促進者、組織者及引導者”，本能地體現師生互動.同時，教學還能給學生更多自主思考的空間，讓學生多一份感悟，多一份理解，并提供更多的創新、發現新知識的機會.

開放性數學問題是相對于傳統的封閉問題而言的，是指構成問題的背境材料、結論、解題依據和解題方法四個要素中缺少某些要素的命題.若缺少的要素是假設，則為條件型開放題；若缺少的要素是判斷，則為結論型開放題；若缺少的要素是推理或解法等，則為策略型開放題.有的問題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結論都要求主體在情境中自行設定與尋找，多方面、多角度、多層次地探索，則稱為綜合型開放題.

例1為使下列各式可以因式分解(在整數范圍內)，a，p分別可以取哪些整數?

(1)x2+ax-18;(2)x2+7x+p.

分析第(1)小題中a的確定與-18的因數有關．

-18=1×(-18)=(-1)×18 =2×(-9)=(-2)×9 =3×(-6)=(-3)×6.

得到a可以取6種不同的數值，即±17，土7，±3．

第(2)小題中p的確定與7是哪兩個整數的和有關．

7=3+4=2+5=1+6=0+7=(-1)+8=(-2)+9=(-3)+10=…， 所以p可以取無窮多個整數值，如12，10，6，0，-8，-18，-30等等.

由上例可知，在講十字相乘法(新教材已刪除)時可歸納：

(1)p是已知整數，對x2+ax+p進行分解時，因p的質因數有限，故a也有限；(2)a是已知整數，對x2+ax+p進行分解時，因a表示為兩個整數的和的方法數是無窮的，故p也是無窮的.

仿照此類型，可設計出很多開放問題，旨在培養學生思維的靈活性和深刻性.

例2如圖，在圓內接四邊形ABCD中，AC=BD,AC、BD相交于P，根據這些條件，你能得出哪些結論?

解根據在同圓中等弧、等弦及圓內接四邊形的有關性質及三角形全等或相似等性質，立即可得：

(1)弧AC=弧BD,弧AD=弧BC;(2)△APD≌△BPC;(3)DC∥AB，△PCD∽△PAB;(4)四邊形ABCD是等腰梯形;(5)∠ADC+∠ABC=180°,∠DCB+∠DAB=180°.

例3今有一正方形土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，并把這塊土地分成形狀相同且面積相等的四部分.若道路的寬度忽略不計，請設計三種不同的修筑方案．(山東省中考題)

解(1)連結兩條對角線；(2)連結兩組對邊中點；(3)過正方形對稱中心任意作兩條互相垂直的直線．

分析這是一道策略開放題，(1)、(2)最易想到，(3)是創新畫法，顯然(1)、(2)是(3)的特殊情況.

如將本題“大小相等”去掉，設計的方案是極多的．

例4如圖，當△ABC≌△ADC時，顯然有∠BAC=∠DAC,AB=AD,BC=DC.

問題設計：在△ABC和△ADC中，有下列三個論斷：

①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC．

以其中兩個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：____.(陜西西安市中考題)

分析此題基本上是將例4中的條件與結論對調，進行設計的條件及結論均開放的題目，要求具有較高的分析能力.

三個論斷中任何兩個都可以作為條件，剩余一個論斷則是結論，顯然，可構造出3個命題：①、②?③；②、③?①；①、③?②．

其中2個是正確的，1個是錯誤的.考慮到“SSA”不能判定全等，故正確的命題是①、②?③或①、③?②．

由以上可看出，開放性數學問題的設計，必須在嚴格的邏輯性前提下，或是將原題條件抽象化，變通相應字母或項；或是在原題設上進行引伸；或是在原題結論上拓廣；或是將題設部分與結論互調等等.既要對開放性問題進行“開放度”的把握和引導，又要對封閉題進行改造，讓它適度開放.“開放”多少，“開放”多深，還要看學生的知識基礎思維能力以及教材的內容等.

因此，教師在數學教學過程中，精心設計，合理、恰當地引進開放式教學，能充分體現學生的主體地位，學生的思維被全面激活，學生的概括能力和遷移能力得到提高，更好地反映學生的高層次思維，從而更有效地培養學生的邏輯思維能力和創新思維能力.同時，開放性數學問題的設計對教師的業務能力、 綜合素質也是一個極大的挑戰.