獨立性檢驗的基本思想及其初步應用

王雨風

(廣西省全州高級中學 廣西桂林 541500)

一、獨立性檢驗的基本思想及其初步應用分析與反思

教學“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”這節內容之前，學生已經對統計和事件獨立性的概念，以及回歸分析的基本思想與應用有了認識與了解，為“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”教學奠定了基礎，但“獨立性檢驗”對學生來說還是全新的知識，這就需要教師選用合適的教學方式，為學生起到引導作用，使學生逐漸深入，主動發現問題、分析問題并解決問題。

完成“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”教學之后，有以下幾點需要反思：第一在講授新課階段，通過創設問題情境的方式，開展學生小組合作學習，有利于激發學生的探究欲，吸引學生注意力，提高學生合作意識，便于學生盡快將思緒拉回課堂，但在具體教學過程中，學生不能完整地表達自己的想法，之所以會出現這種問題，主要是因為在開展小組合作時，學生沒有積極參與，導致小組合作流于形式，教師自身也沒有起到很好的引導作用，導致學生無法主動融入課堂，為此，在今后教學中，教師一定要充分發揮自己引導者的作用，不管是學生自主學習還是小組合作探究，教師都要及時為學生提供指導，使學生的思緒能與課堂教學內容相一致；第二，列2×2聯表是本節課學生需要掌握的知識點，但關于變量的類別學生存在一定的疑點，不能對其進行正確的表述，在獨立性檢驗結論表達方面也存在不完整的現象，需要教師加強對學生的訓練，拓展延伸是一種有效的鍛煉方式，教師可以多為學生列舉關于獨立性檢驗的試題，讓學生不斷運用新知識解決問題，使學生的表達更加完整；第三，“獨立性檢驗”會涉及數字計算方面的內容，為了讓學生易于理解與掌握，在問題設置上，選擇的數據都是比較簡單的，有利于減少學生計算量，但有部分學生依然還會出錯，在今后的數學教學中，教師要針對學生計算能力弱這一問題要加強訓練，可以為學生創設關于數字計算方面的小游戲或小活動，讓學生在寓教于樂中提高自己的計算能力[1]。

二、獨立性檢驗的基本思想及其初步應用反思策略

（一）導入新課，創設情境

首先，教師通過多媒體向學生出示關于“分類變量”的定義——對于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量，它們的取值一般是離散的，且不同的取值僅表示個體所屬的類別。并以性別為例向學生解釋何為分類變量，例如，性別主要分為男跟女兩類，這便是性別變量，而取值則是男和女兩種，隨后以表示男、女符號圖片的形式向學生展示，使學生更加具體地了解分類變量的定義。其次，提出問題“吸煙與患肺癌有關系嗎？如何通過數學知識進行說明”，并根據這一問題列聯表。某醫療機構為了研究吸煙與患肺癌是否有關系這一問題進行了隨機抽查，抽查對象為9965人，其中不吸煙也沒有患肺癌的為7775人，不吸煙患肺癌的有42人，吸煙但沒有患肺癌的有2099人，吸煙患肺癌的有49人。根據以上調查結果列2×2聯表，如表1。最后，引導學生對以下問題進行思考與分析：根據圖表，是否可以判斷吸煙與患肺癌的關系，吸煙與不吸煙患肺癌的可能性大小是否存在差異？總結：通過圖表可以直觀看出：吸煙與不吸煙的群體患肺癌的可能性存在差異，吸煙群體患肺癌的可能性比較大。

表1

（二）小組合作，談論交流

根據以上圖進行討論：吸煙與患肺癌有直接的關系，但是這種判斷是否可靠？如何對這種結果進行檢驗？讓學生以小組合作的方式針對以上問題進行談論與交流，在此過程中，教師要發揮自身引導者的作用，及時為學生解疑答惑。

假設H0：吸煙與患肺癌之間沒有關系。A表示不吸煙，B表示沒有患肺癌，則吸煙與患肺癌沒有關系，說明吸煙與患肺癌是獨立的個體，即假設H0等價于P(AB)=P(A)·P(B)，以列聯表的方式得出表2。

表2

即(a+b+c+d)·a≈(a+b)·(c+a)

ad≈bc

探究問題1：｜ad-bc｜的大小說明了什么？

分析得出：｜ad-bc｜越小，吸煙與患肺癌的關系越弱；越小，吸煙與患肺癌的關系越大。為了確保不同樣本容量的數據有統一的判斷標準，根據以上得出的結果構造隨機變量。其中n=a+b+c+d為樣本容量。

探究問題2：K2的大小說明了什么？

結果：倘若H0成立，則說明吸煙與患肺癌之間沒有關系，得出：K2應該很小。

根據表1中的數據，利用公式（1）對K2的觀測值進行計算，得出：

在H0成立的情況下，P(K2≥6.635)≈0.01 （2）

根據（2）可以得出：在H0成立的情況下，K2的觀測值超過6.635的概率比較小，近似為0.01，屬于小概率事件。

公式（1）得出K2的觀測值K≈56.632，大于6.635，所以，H0不成立，由此可以得出：吸煙與患肺癌有關系。

（三）形成概念，重點精講

當學生對獨立性檢驗的相關知識有了初步認識與了解之后，則需要以此為基礎，使學生形成具體的概念，并對重點知識進行精講。

以上用到的方法為反證法，要想對兩個分類變量之間的關系進行判斷，其步驟為：首先，采用假設結果不成立的方式來解決問題，H0：兩個分類變量沒有關系（這種假設背景下的k應該很小）；其次，根據觀測數據計算K2的觀測值k，倘若k的值很大，則說明H0不成立，即兩個分類變量之間有關系；最后，以k的值來對兩個分類變量是否成立進行判斷。臨界值表，表3。

表3

倘若k＞2.706，則說明有把握證明“X與Y有關系”；

倘若k＜2.706，則說明沒有充分的證據顯示“X與Y有關系”。

利用公式（1）對K2的觀測值進行計算，得出：

總結：利用隨機變量K2來對兩個分類變量有關系進行判斷的方法稱之為獨立性檢驗。

（四）運用新知，擴展延伸

學生在對獨立性檢驗的方法與步驟了解與掌握之后，教師可以引導學生學以致用，讓學生利用獨立性檢驗解決實際問題，既可以起到鞏固知識的目的，又能夠提高學生對所學知識的應用能力。

例題：某社區為了調查老年人是否需要志愿者提供幫助，用隨機抽樣的方法對本社區500位老年人進行了調查，調查結果如下圖所示。

?

能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該社區的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關系嗎？

根據列聯表中的數據，得出K2的觀測值為：

三、結束語

總而言之，高中階段的學生具有較強的學習目的性，思維獨立和自覺性都比較高，為此，選擇與學生身心發展相適應的教學方式是促進學生自主探究能力與思維能力發展的關鍵點，并通過課例分析與反思的方式不斷改進教學水平與教學方式，以此提高教學質量。